“數(shù)射線上的分數(shù)”教學(xué)研究

繆敏珠 黃興豐

摘要：已有的很多研究表明，學(xué)生學(xué)習(xí)分數(shù)時，從關(guān)系到對象的認識，要經(jīng)歷一段曲折而艱辛的歷程。為了促進學(xué)生從關(guān)系到對象的發(fā)展，可以利用長度模型（如紙帶、刻度尺）過渡，最終讓學(xué)生在數(shù)射線（數(shù)軸的非負半軸）上找到表示分數(shù)的點。對此，從滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分數(shù)內(nèi)容出發(fā)，研究學(xué)生理解數(shù)射線上的分數(shù)有何基礎(chǔ)和困難，教師如何設(shè)計這一內(nèi)容的教學(xué)等。

關(guān)鍵詞：數(shù)射線;分數(shù);滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材;學(xué)情分析;教學(xué)設(shè)計

分數(shù)既可以表示部分與整體的關(guān)系，也可以作為一個對象表示現(xiàn)實世界中的量。已有的很多研究表明，學(xué)生學(xué)習(xí)分數(shù)時，從關(guān)系到對象的認識，要經(jīng)歷一段曲折而艱辛的歷程。為了促進學(xué)生理解分數(shù)從關(guān)系到對象的發(fā)展，可以利用長度模型（如紙帶、刻度尺）過渡，最終讓學(xué)生在數(shù)射線（數(shù)軸的非負半軸）上找到表示分數(shù)的點。而且，線上的點與數(shù)的關(guān)系，正是學(xué)生發(fā)展有理數(shù)概念和進一步領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想的重要載體。對此，我們從滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材出發(fā)展開了教學(xué)研究。

一、滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分數(shù)內(nèi)容：沒有把“數(shù)射線上的分數(shù)”作為重要的概念來設(shè)計

盡管《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》和《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標準（試行稿）》對“數(shù)射線上的分數(shù)”均無明確的要求，但是滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有相關(guān)的內(nèi)容——這大概是教材編者對課程標準的拓展延伸。

滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材把分數(shù)的學(xué)習(xí)大致劃分為兩個階段。

在三年級第二學(xué)期，教材設(shè)計“分蛋糕”“分紙帶”“分糖果”等平均分活動，借助實物和圖形，幫助學(xué)生具體而直觀地認識幾分之一（分數(shù)單位）和幾分之幾（一般分數(shù)）。由此可以推測，學(xué)生在平均分的基礎(chǔ)上建立起對分數(shù)概念的初步認識，通過具體、直觀的模型理解分數(shù)的含義。教材中常用的分數(shù)模型有兩類：一類是連續(xù)量模型，包括圓形（面積）模型（如蛋糕、比薩）和線形（長度）模型（如紙帶、刻度尺）;另一類是離散量模型，如一些糖果、一群鴨子。之后，教材還基于自然數(shù)與分數(shù)的比較，通過分數(shù)單位的疊加，引導(dǎo)學(xué)生認識“幾個幾分之一就是幾分之幾”;并借助分數(shù)單位的概念，幫助學(xué)生建立真分數(shù)大小序列的概念，逐漸開始用分數(shù)表示現(xiàn)實世界中的量。

在四年級第一學(xué)期，教材借助具體實物，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會比較同分母或同分子分數(shù)的大小，并且認識相等分數(shù);在涂一涂、畫一畫或利用分數(shù)單位推算的過程中，引導(dǎo)學(xué)生初步學(xué)會計算分母在20以內(nèi)的同分母分數(shù)的加減。在這個階段，教材在線形（長度）模型的基礎(chǔ)上引入“分數(shù)墻”（不同分數(shù)單位線形模型的疊加），由此對分數(shù)大小比較和加減計算進行整理，直觀建立起分數(shù)大小比較和加減計算的統(tǒng)一模型。不僅如此，教材還在最后的“整理和提高”單元中，把數(shù)射線作為工具，用來比較同分母或同分子分數(shù)的大小、計算同分母分數(shù)的加減。

從上述梳理中我們發(fā)現(xiàn)，教材利用具體、直觀的面積模型、長度模型和離散數(shù)量模型，幫助學(xué)生理解分數(shù)概念的兩個側(cè)面：從部分與整體的關(guān)系定義分數(shù)，由分數(shù)單位的計數(shù)表示作為對象的分數(shù)。但是，教材僅把由長度模型進一步抽象得到的數(shù)射線作為工具，用來比較同分母或同分子分數(shù)的大小、計算同分母分數(shù)的加減，并沒有把數(shù)射線上的分數(shù)作為重要的概念來設(shè)計。

二、學(xué)生理解“數(shù)射線上分數(shù)”的基礎(chǔ)

在文獻研究中我們發(fā)現(xiàn)，關(guān)于“數(shù)射線上的分數(shù)”，美國的州際核心數(shù)學(xué)課程標準（Common Core State Standards for Mathematics）有相關(guān)表述：（1）把數(shù)射線上從0到1的線段等分成若干份，取其中一份，將該線段的一個端點和原點對齊，另一個端點在數(shù)射線上對應(yīng)的點就表示幾分之一;（2）把數(shù)射線上從0到1的線段等分成若干份，取其中幾份，將該線段的一個端點和原點對齊，另一個端點在數(shù)射線上對應(yīng)的點就表示幾分之幾。而且，編寫組解讀在數(shù)射線上表示分數(shù)的學(xué)習(xí)進階時，強調(diào)了如下兩點：第一，長度模型可以看作數(shù)射線的直觀模型;第二，學(xué)生測量長度的經(jīng)驗是理解數(shù)射線上分數(shù)的基礎(chǔ)。

對此，滬教版教材事實上也已經(jīng)做好了準備：

第一，關(guān)于數(shù)射線。在一年級第一冊“10以內(nèi)的數(shù)”單元中，就已經(jīng)引入數(shù)射線，使用數(shù)射線表示整數(shù)的次序及大小的比較;在后面整數(shù)的加、減法以及乘法計算中，不斷使用數(shù)射線幫助學(xué)生直觀地理解計算過程。從這個視角來看，數(shù)射線作為一種工具或模型，四年級學(xué)生是比較熟悉的。

第二，關(guān)于長度測量。在一年級第二冊“幾何小實踐”單元中，就已經(jīng)引入長度測量：從學(xué)生在日常生活中積累的大量關(guān)于比較物體長短的感性經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生對熟悉的事物做長度的比較和測量，通過操作活動，發(fā)現(xiàn)對于同一物體，所用的測量工具（標準）不同，測出的結(jié)果也不一致，由此引起認知沖突，從而體會到統(tǒng)一度量單位的重要意義，知道長度單位的重要作用，認識長度單位米和厘米，認識米尺和厘米尺，學(xué)會用它們來測量……從這個視角來看，四年級學(xué)生已經(jīng)能夠運用正確的方法測量物體的長度，了解測量長度時需要注意的0、長度、刻度三要素：測量對象一端與0刻度對齊，另一端對應(yīng)的刻度就是其長度。

三、學(xué)生理解“數(shù)射線上分數(shù)”的困難

滬教版教材一年級就引入了數(shù)射線，用于認識整數(shù)及其次序，進行加減運算;而且介紹了長度測量的方法，為學(xué)生在數(shù)射線上找分數(shù)提供了可類比遷移的固著點。那么，學(xué)生在四年級學(xué)習(xí)了分數(shù)之后，在數(shù)射線上表示分數(shù)還會存在困難嗎？對此，我們設(shè)計了三個部分的教學(xué)前測試題：（1）用直觀模型（面積、長度、數(shù)量）表示分數(shù);（2）在數(shù)射線上表示整數(shù);（3）在數(shù)射線上表示分數(shù)。由此，我們對上海市靜安區(qū)一所小學(xué)四年級一個班的38名學(xué)生進行了測試。

結(jié)果表明，第一部分試題，學(xué)生的正確率幾乎是100%。特別是在標有17米長度的紙帶圖形上找37米的長度時，學(xué)生表現(xiàn)出對分數(shù)概念的兩種理解。第一，部分與整體的關(guān)系。恰好有一半學(xué)生先將紙帶7等分，再取其中的3份。第二，分數(shù)單位的計數(shù)。另一半學(xué)生直接利用17米重復(fù)測量三次，得到37米，即通過分數(shù)單位構(gòu)造同分母的其他分數(shù)。

第二部分試題，只有4位學(xué)生發(fā)生錯誤。

上述測試結(jié)果說明，學(xué)生已經(jīng)初步建立了良好的分數(shù)概念，同時比較熟悉數(shù)射線上的整數(shù)。

然而，第三部分試題出現(xiàn)了截然不同的測試結(jié)果：

首先，給定數(shù)射線的原點和1的位置，在數(shù)射線上找13的位置。13位學(xué)生找到了表示13的點，他們能夠在單位“1”的基礎(chǔ)上找到表示幾分之一的點;7位學(xué)生標出了從原點開始表示13的線段，他們能夠找到表示幾分之一的線段，但是沒有把它對應(yīng)到數(shù)射線上的一個點;3位學(xué)生標出了表示13的中間的那條線段，他們能夠找到表示幾分之一的線段，但是沒有讓它的一端從原點開始，另一端點落到對應(yīng)的點上;另外的15位學(xué)生發(fā)生了各種錯誤，其中有少數(shù)直接放棄?？梢?，盡管用直觀模型表示分數(shù)時，所有的學(xué)生都能找到對應(yīng)的量，在數(shù)射線上表示整數(shù)時，幾乎所有的學(xué)生都很自然地把數(shù)和點對應(yīng)了起來，但是在數(shù)射線上表示分數(shù)時，學(xué)生出現(xiàn)了困難。究其原因，可能是把長度模型中用分數(shù)表示長度（線段）關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)射線上用分數(shù)表示位置（點）對象，以及增加了平均分單位“1”這一步驟，給學(xué)生遷移測量長度時需要注意的關(guān)鍵要素0、長度、刻度之間的關(guān)系得到數(shù)射線上原點、線段與對應(yīng)點之間的關(guān)系帶來了干擾。

其次，給定數(shù)射線的原點和1、4的位置，在數(shù)射線上找34的位置。只有2位學(xué)生找到了表示34的點。24位學(xué)生把在這個點放在3和4之間。他們的誤解可能在于兩個方面。第一，表示單位“1”的量。在之前接觸的所有模型中，無論是面積、長度還是數(shù)量，總是把所有的作為一個整體，看作單位“1”。于是，學(xué)生很自然地把從原點到4這個點的長度看成單位“1”。事實上，哪個量作為單位“1”是分數(shù)表示的關(guān)鍵：即使是相同的量，在不同的單位“1”下，分數(shù)表示也是不相同的。然而，在這些模型中，并不一定要把整體作為單位“1”，我們可以任意規(guī)定單位“1”。比如，一個正方形等分成4個小正方形，如果整個大正方形作為單位“1”，則每個小正方形可以表示14;如果整個正方形的一半作為單位“1”，則每個小正方形可以表示12。這個和整數(shù)的表示在本質(zhì)上是完全一致的。一開始表示整數(shù)時，我們極其自然地把一當(dāng)作計數(shù)單位，甚至毫無察覺。后來，在十進制下，我們把10個一作為一個復(fù)合的單位十。以后還有更大的單位百、千、萬等。第二，分數(shù)的大小。估計很多人會十分驚訝：四年級學(xué)生學(xué)完了這么多分數(shù)的知識，怎么可能還不知道34比1小呢？然而，在新的情境中，學(xué)生對分數(shù)大小的認識和表示分子和分母的整數(shù)“無縫對接”了起來（也可以說是混用了“分數(shù)視角”和“整數(shù)視角”），得到了“34就在3和4之間”的結(jié)果。

再次，給定數(shù)射線的原點和13的位置，在數(shù)射線上找34的位置。沒有學(xué)生能找到表示34的點。這是我們預(yù)料之中的。解決這個問題，一種方法是，首先由13找到單位“1”，然后在單位“1”的基礎(chǔ)上構(gòu)造新的分數(shù)單位14;另外一種方法是，在相等分數(shù)的概念下，先找到這兩個分數(shù)13=412，34=912的共同單位112可以通過四等分13實現(xiàn)，再構(gòu)造新的分數(shù)單位14也可以不構(gòu)造14，直接利用112。無論采用哪種方法，學(xué)生都會遭遇極大的挑戰(zhàn)。

四、“數(shù)射線上的分數(shù)”教學(xué)設(shè)計

我們針對美國州際核心數(shù)學(xué)課程標準的內(nèi)容要求，基于滬教版教材的編排以及上海學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和困難，設(shè)計了“數(shù)射線上的分數(shù)”的教學(xué)。

（一）復(fù)習(xí)引入

在引入環(huán)節(jié)，首先出示四道辨析題（如圖1所示），幫助學(xué)生回憶數(shù)射線的三要素，即原點、方向和單位長度。這里，相對而言，第4條數(shù)射線是最合適的：第1條數(shù)射線可以用原點這個要素排除，第2條數(shù)射線可以用方向這個要素排除，第3條數(shù)射線可以用單位長度這個要素排除。

教學(xué)中最重要的一點，是讓學(xué)生意識到，在數(shù)射線上找自然數(shù)是從“0”出發(fā)向右、以“1”為基本單位的——1個“1”是1，2個“1”是2，3個“1”是3，以此類推。這時，需要注意的是，學(xué)生在數(shù)射線上找自然數(shù)時，常常關(guān)注對應(yīng)的線段（長度），比如說“從0開始向右數(shù)1段”“從0開始向右數(shù)3段”等，甚至有時手上指著的其實是對應(yīng)的點。對此，教師需要強調(diào)數(shù)射線上的點（位置）與數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系（可以聯(lián)系長度測量的方法）：每個數(shù)都有其特定的位置，一個點對應(yīng)一個數(shù)。教師可以用手指一指點的位置，并說一說這個點表示的數(shù)，如“這個點表示的是1”“這個點表示的是3”。這樣，才能為學(xué)生后續(xù)在數(shù)射線上找分數(shù)，理解分數(shù)是自然數(shù)的擴充做好準備。

（二）在數(shù)射線上找分數(shù)

探究1在數(shù)射線上可以用點表示1、2、3、4這些自然數(shù)，那么最近學(xué)習(xí)的分數(shù)能不能也在數(shù)射線上找到相對應(yīng)的點呢？比如12、14這兩個點在哪里？

基于上述第三部分試題第1題和第2題的測試結(jié)果（數(shù)射線上的分數(shù)表示的是一段長度還是一個點？從哪一個點開始向右數(shù)？究竟把哪一部分看作整體？分數(shù)與整數(shù)的大小關(guān)系如何？），我們設(shè)計了“探究1”，引導(dǎo)學(xué)生在知道數(shù)射線上包括單位“1”在內(nèi)的多個自然數(shù)的情況下，遷移找自然數(shù)的方法，找比較簡單的分數(shù)單位。教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)射線上的點（位置）與分數(shù)單位之間的對應(yīng)關(guān)系，而且要幫助學(xué)生理解在數(shù)射線上找分數(shù)與在長度模型中表示分數(shù)的另一個不同：數(shù)射線上表示單位“1”的量只能是從點0到點1的長度，即單位長度，否則表示某個分數(shù)的點（位置）就不是確定的，而且分數(shù)作為對象與整數(shù)的大小關(guān)系也是不確定的。以及在數(shù)射線上找分數(shù)與找整數(shù)的主要不同：平均分單位“1”，得到分數(shù)單位。這時，教師特別需要注意用多媒體技術(shù)動態(tài)演示找分數(shù)單位的過程，從而促進學(xué)生掌握在數(shù)射線上找分數(shù)單位的方法。

探究234這個點在哪里？

基于上述第三部分試題第2題的測試結(jié)果，我們設(shè)計了“探究2”，引導(dǎo)學(xué)生在知道數(shù)射線上包括單位“1”在內(nèi)的多個自然數(shù)的情況下，基于找分數(shù)單位的方法，找稍微復(fù)雜的一般分數(shù)。由于學(xué)生在“探究1”中，經(jīng)歷了找分數(shù)單位的過程，這里能夠比較容易地找到一般分數(shù)。這時，教師特別需要注意引導(dǎo)學(xué)生用比較規(guī)范的語言說清楚找一般分數(shù)的過程，進而充分理解分數(shù)序列的概念。

探究3有一條不完整的數(shù)射線，上面除了原點，只標出了12的位置，你能不能在這條數(shù)射線上找到23的位置？

基于上述第三部分試題第3題的測試結(jié)果，我們設(shè)計了“探究3”，引導(dǎo)學(xué)生在知道數(shù)射線上的一個分數(shù)的情況下，逆向思考，先找到單位“1”，再找另一個異分母的分數(shù)，從而幫助學(xué)生進一步認識單位“1”的重要性，并鞏固找分數(shù)的方法。這時，教師特別需要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)倍數(shù)與平均分的過程中，注意測量得到的具體長度與抽象表示的數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

探究4你能不能在這條數(shù)射線上找到54的位置？

“探究4”是拓展性的探究活動，意在引導(dǎo)學(xué)生基于找真分數(shù)的方法，找更復(fù)雜的假分數(shù)。教學(xué)中，教師要特別強調(diào)對“分數(shù)是分數(shù)單位的計數(shù)”的理解，從而幫助學(xué)生順利遷移找一般的真分數(shù)的方法。當(dāng)然，這里還可以增加一個變式——在數(shù)射線上除了原點，只標出2（或其他非單位“1”的整數(shù)）的位置，從而強化學(xué)生找單位“1”的意識。

（三）追問升華

在課尾，追問學(xué)生：“你能說一說自然數(shù)與分數(shù)之間的聯(lián)系嗎？”引導(dǎo)學(xué)生理解：1個1個地數(shù)就有了自然數(shù)，“1”是自然數(shù)的單位;不滿“1”時，就要把“1”平均分，得到分數(shù)單位，1個1個地數(shù)分數(shù)單位就有了分數(shù)。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生有效溝通自然數(shù)與分數(shù)之間的聯(lián)系，進一步認識數(shù)系的擴充。

五、“數(shù)射線上的分數(shù)”教學(xué)反饋

教學(xué)“數(shù)射線上的分數(shù)”兩周后，我們再次對學(xué)生進行了測試，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：（1）給定數(shù)射線的原點和1的位置，有92%的學(xué)生能找到14的位置;（2）給定數(shù)射線的原點和1、2、3、4的位置，有71%的學(xué)生能找到23的位置;（3）給定數(shù)射線的原點和13的位置，有92%的學(xué)生能找到23的位置;（4）給定數(shù)射線的原點和14的位置，只有16%的學(xué)生能找到45的位置。

這說明，經(jīng)過教學(xué)，學(xué)生對數(shù)射線上分數(shù)的理解已經(jīng)有了很大程度的提高，但是在知道數(shù)射線上一個分數(shù)的情況下找另一個異分母的分數(shù)，還是感到困難——即使他們已參與過類似的探究。這進一步啟發(fā)我們，只安排一課時，學(xué)生并不能充分掌握“數(shù)射線上的分數(shù)”這一內(nèi)容，還需要增加一課時，重點幫助學(xué)生鞏固在數(shù)射線上找分數(shù)的方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)射線比較分數(shù)的大小，計算同分母分數(shù)的加減。

參考文獻：

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