小學(xué)數(shù)學(xué)類比推理或然性及其對策探析

蔡靜

摘要：類比推理是合情推理，具有或然性。小學(xué)生以具體形象思維為主，容易忽視或然性，出現(xiàn)錯(cuò)誤。教師在引導(dǎo)學(xué)生感悟類比推理或然性的同時(shí)，更要抓核心問題、融演繹推理、引深度思考，促使學(xué)生的思維從表層到實(shí)質(zhì)、從形似到神似、從低階到高階。

關(guān)鍵詞：類比推理;或然性;核心問題;演繹推理;深度思考

一、緣起：真的可以這樣“以此類推”嗎？

筆者執(zhí)教六年級(jí)時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解答“甲比乙多14，則乙比甲少幾分之幾？”這樣的問題時(shí)，錯(cuò)誤率較高。大部分學(xué)生會(huì)認(rèn)為答案是14。學(xué)生的主要觀點(diǎn)是“甲比乙多多少就是乙比甲少多少”“兩個(gè)數(shù)相差的一樣多”。不少教師會(huì)從單位“1”的角度向?qū)W生解釋，強(qiáng)調(diào)這樣的分?jǐn)?shù)關(guān)系不能簡單地畫等號(hào)。學(xué)生當(dāng)堂能聽懂，但過幾天又會(huì)回到原來的想法，出現(xiàn)相同的錯(cuò)誤。一次，筆者采訪一位學(xué)生：“你是怎么知道甲比乙多14就是乙比甲少14的？”學(xué)生很自信地回答：“這很容易推理的。兩個(gè)數(shù)比較，相差的部分是不變的，那理所當(dāng)然，甲比乙多幾分之幾就是乙比甲少幾分之幾?！惫P者再追問：“真的是這樣嗎？”學(xué)生沒有陷入思考，脫口而出：“我們在一年級(jí)時(shí)就知道，甲比乙多4個(gè)就相當(dāng)于乙比甲少4個(gè)，這里不就是以此類推嗎？”

原來，學(xué)生在思考這類問題時(shí)，并沒有進(jìn)行嚴(yán)密的思考，而是不管三七二十一，將已有的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)類推到新的問題上來。真的可以這樣“以此類推”嗎？

二、思考：類比推理的或然性

這里的“以此類推”實(shí)際上就是類比推理，是根據(jù)兩個(gè)或兩類不同對象的某些方面（如特征、屬性、關(guān)系等）相同或相似，推導(dǎo)或猜出它們在其他方面可能相同或相似的思維形式。類比推理的客觀基礎(chǔ)就是事物系統(tǒng)之間各屬性的普遍聯(lián)系以及這些聯(lián)系之間存在的相似性和可比較性，只要兩個(gè)對象有某個(gè)方面的相似性（包括形式上的相似、結(jié)構(gòu)上的相似、內(nèi)容上的相似等），就可以類比。類比推理是小學(xué)階段常用的一種推理方法，它能幫助學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)、優(yōu)化問題解決、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用。但必須注意的是，類比推理是合情推理（也稱或然推理），有時(shí)候雖然看起來合情合理，結(jié)論好像（應(yīng)該）是對的，但本質(zhì)上條件和結(jié)論沒有必然的聯(lián)系，即類比推理具有或然性。

類比推理是一種生動(dòng)、活潑的思維方式，符合小學(xué)生的年齡與身心發(fā)展的特征。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂應(yīng)用類比推理開展教學(xué)，能夠幫助學(xué)生更好地掌握和理解知識(shí)，培養(yǎng)其推理能力，促進(jìn)其思維發(fā)展。但小學(xué)生的邏輯思維不夠嚴(yán)密、成熟，在由一般到一般、個(gè)別到個(gè)別的過程中很容易將屬性遷移，忽視或然性，造成錯(cuò)誤。

例如，有學(xué)生在學(xué)習(xí)了乘法分配律后會(huì)類推出除法也有這樣的運(yùn)算律，在看到100÷（20+30）時(shí)，會(huì)寫成100÷20+100÷30;在學(xué)習(xí)2和5的倍數(shù)特征時(shí)，發(fā)現(xiàn)關(guān)注的都是個(gè)位，從而類推出3的倍數(shù)特征是個(gè)位是3、6、9;在學(xué)習(xí)了“長方形的面積=長×寬”“正方形的面積=邊長×邊長”后，會(huì)推想“平行四邊形的面積=底×鄰邊”;等等。這些都是小學(xué)數(shù)學(xué)中類比推理或然性的體現(xiàn)，也是學(xué)生常常容易忽略和出錯(cuò)的點(diǎn)。它們就像纏繞住學(xué)生思維發(fā)展的藤蔓，阻礙了學(xué)生整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

三、實(shí)踐：突破樊籬，探尋出路

（一）從表層到實(shí)質(zhì)：抓核心問題

類比推理中的或然性常常出現(xiàn)在學(xué)生思維易混淆之處，特別是當(dāng)某些概念有多重屬性的時(shí)候，學(xué)生往往會(huì)被表層的現(xiàn)象迷惑，而忽略實(shí)質(zhì)的差異。如本文一開始的問題，就是學(xué)生將“兩個(gè)數(shù)量相差的量不變”錯(cuò)誤類推到“兩個(gè)數(shù)量相差的分率不變”所致。從表層看，是類推過程中偷換了概念，但究其本質(zhì)，核心問題是學(xué)生對分?jǐn)?shù)表示“率”與“量”這兩重屬性混淆不清。因此，要從表層錯(cuò)誤入手，抓住學(xué)生思維漏洞的實(shí)質(zhì)，依據(jù)核心問題展開教學(xué)。具體過程如下：

師（出示“甲比乙多14”“甲比乙多14元”）這兩個(gè)條件一樣嗎？

生不一樣。前一個(gè)14反映的是甲與乙相差的分率;后一個(gè)14反映的是甲比乙多的具體的數(shù)量。

生“甲比乙多14”這句話里，乙是單位“1”，可以將乙看成4份，甲比乙多1份，甲就是5份。

師很好！在低年級(jí)時(shí)我們學(xué)過，甲比乙多4個(gè)可以說成乙比甲少4個(gè)，你覺得這兩個(gè)條件都可以這樣反過來說嗎？

生第二個(gè)可以， “14元”是具體的數(shù)量，可以和以前一樣說成“乙比甲少14元”;但第一個(gè)是分率，應(yīng)該不能這樣類推。

生第二個(gè)不能這樣類推。根據(jù)前面同學(xué)的回答可以知道，乙是4份，甲是5份，“乙比甲少幾分之一”的單位“1”是甲，要去除以5，算式應(yīng)該是（5-4）÷5，結(jié)果是15。

生是的，不管是甲比乙多1份，還是乙比甲少1份，相差的份數(shù)沒變;但求分率時(shí)單位“1”發(fā)生了變化，所以相差的分率也不同，這就是相差的分率與相差的量的區(qū)別。

基于兒童認(rèn)知事物的特點(diǎn)，學(xué)生一年級(jí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，最先接觸的是數(shù)量。因?yàn)閿?shù)是抽象的，而數(shù)量與生活相關(guān)，更接近學(xué)生的實(shí)際體驗(yàn)。上述教學(xué)過程中，教師通過提問“這兩個(gè)條件一樣嗎？”調(diào)動(dòng)學(xué)生思考，并緊扣這一核心問題，從學(xué)生熟悉的整數(shù)相差關(guān)系入手，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)表示的相差的量也不變，再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)相差的分率和單位“1”有關(guān)，明確之前的經(jīng)驗(yàn)不能進(jìn)行簡單的類推。

（二）從形似到神似：融演繹推理

小學(xué)生以形象思維為主要思考方式，在類比推理時(shí)容易因?yàn)樽非笮问降南嗨贫雎詢?nèi)在的聯(lián)系，出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，教師應(yīng)適時(shí)融入演繹推理，通過演繹推理不斷修正結(jié)論，從“形似”到“神似”。

例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊《小數(shù)加法和減法》第一課時(shí)，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)末尾對齊的錯(cuò)誤算法，教師可以融合演繹推理開展教學(xué)：

師（出示圖1、圖2）同學(xué)們出現(xiàn)了兩種做法，左邊是末尾對齊，右邊是小數(shù)點(diǎn)對齊，請大家來說說對這兩種做法的思考。

生第一種做法是錯(cuò)誤的。4.75比4大，3.4比3大，結(jié)果一定比7大，所以5.09是錯(cuò)誤的。

生4.75元是4元7角5分，3.4元是3元4角，合起來是8元1角5分，也就是8.15元，所以第二種正確。

師聽了兩位同學(xué)的回答，剛才用第一種做法的同學(xué)知道錯(cuò)在哪了嗎？

（學(xué)生紛紛點(diǎn)頭。）

師那請一位用第一種做法的同學(xué)來說說，為什么想到末尾對齊呢？

生整數(shù)475+34的豎式計(jì)算是末尾對齊，所以這里我也覺得是末尾對齊。

師看來是以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)對你產(chǎn)生了影響。（出示圖3）我們一起來看，這里的兩個(gè)式子都是末尾對齊，形式上相似，但形似了做法就相同嗎？左邊的式子表示什么？

生475個(gè)一加34個(gè)一是509個(gè)一，也就是509。

師再看右邊，表示475個(gè)百分之一加34個(gè)十分之一，能直接加嗎？

生不能，只有計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加減，所以要將34個(gè)十分之一轉(zhuǎn)化成340個(gè)百分之一，475個(gè)百分之一加340個(gè)百分之一是815個(gè)百分之一，也就是8.15。

生將34個(gè)十分之一轉(zhuǎn)化成340個(gè)百分之一，計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加減，這樣就做到了數(shù)位對齊，數(shù)位對齊就是小數(shù)點(diǎn)對齊。

生從整數(shù)加減法到小數(shù)加減法雖然形式上發(fā)生了變化，但本質(zhì)上都是數(shù)位對齊，這才是它們真正相同的部分。

師（出示圖4）是啊，對齊的形式并不是它們真正相似的地方，數(shù)位對齊才是真正的神似。

從形似到神似，以演繹推理不斷修正類比推理，使學(xué)生真正尋找到同化新知識(shí)的上位概念或相似概念，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的正向遷移，從而深刻理解知識(shí)。

（三）從低階到高階：引深度思考

在幫助學(xué)生感知類比推理的或然性時(shí)，教師習(xí)慣用舉反例的方法。確實(shí)，舉反例能立刻擊破學(xué)生類比推理得到的錯(cuò)誤結(jié)論，但若僅僅如此，會(huì)讓學(xué)生的思維停留在比較低階的層次上。因此，還要在不斷的辯證討論中引發(fā)學(xué)生的深度思考，塑造學(xué)生的高階思維。

例如，當(dāng)學(xué)生根據(jù)長方形、正方形的面積公式推想到“平行四邊形的面積=底×鄰邊”這一錯(cuò)誤認(rèn)知時(shí)，有教師會(huì)通過引導(dǎo)學(xué)生在方格紙上畫平行四邊形，應(yīng)用數(shù)方格的方法，發(fā)現(xiàn)各種反例來明確錯(cuò)誤。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)看似簡單高效，實(shí)則單薄淺顯。可以開展如下的補(bǔ)充教學(xué)：

師同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方形、正方形的周長公式，你覺得平行四邊形的周長公式應(yīng)該是怎樣的？

生我覺得和長方形、正方形一樣，都是一組鄰邊的和再乘2。

生我贊同他的觀點(diǎn)?？梢宰鲆粋€(gè)活動(dòng)的平行四邊形框架，拉伸后就成了長方形（或正方形），這個(gè)過程中周長不變，所以平行四邊形和長方形的周長公式一樣，都是一組鄰邊的和再乘2。

師看來，對于周長這個(gè)概念我們是可以把之前學(xué)習(xí)的長方形、正方形的經(jīng)驗(yàn)直接遷移過來的。那平行四邊形的面積呢？剛才我們通過在方格紙上舉反例，明確了平行四邊形的面積不是“底×鄰邊”?，F(xiàn)在，你又有什么新的思考？可以結(jié)合剛才周長的研究過程小組探索一下。

（學(xué)生小組活動(dòng)。）

生（展示圖5）我們小組發(fā)現(xiàn)，將平行四邊形拉伸成長方形，圖中的涂色三角形可以平移到左邊，將空缺補(bǔ)齊，上面斜線部分就是多出來的面積。

師也就說，拉伸后的長方形的面積比原來平行四邊形的面積——

生（齊）大。

師這是因?yàn)椤?/p>

生原來平行四邊形的高變長了，所以面積變大了。

師如果將平行四邊形往下壓呢？

生面積會(huì)變小，因?yàn)樗母咦兌塘恕?/p>

生我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)平行四邊形的底和鄰邊固定后，向上拉或者往下壓就改變了高，面積也隨之改變。所以不能用“底×鄰邊”來計(jì)算平行四邊形的面積。

師周長可以類推，面積卻不可以。長方形、正方形、平行四邊形這三者之間的關(guān)系也太奇怪了！

生我覺得上面兩個(gè)問題還要結(jié)合這三者之間的關(guān)系來理解。我們知道，長方形是特殊的平行四邊形，正方形是特殊的長方形，（展示圖6）它們?nèi)叩年P(guān)系可以用這樣的圖來表示。正方形是特殊的長方形，所以長方形的周長和面積公式可以直接類推到正方形;而長方形是特殊的平行四邊形，所以它的周長和面積的公式不能簡單地類推到平行四邊形。

生我贊同他的觀點(diǎn)。周長研究的只是四條邊長度的和，可以類推;但通過剛才的研究我們知道，平行四邊形的面積與高有關(guān)，長方形和正方形一組鄰邊的夾角是90°，鄰邊就是高，而一般的平行四邊形夾角小于90°，高和鄰邊不相等，所以不能類推。

根據(jù)布魯姆認(rèn)知目標(biāo)分類，“回憶、理解、應(yīng)用”為低階思維，“分析、評價(jià)、創(chuàng)造”為高階思維。確定“用‘底×鄰邊計(jì)算平行四邊形的面積是錯(cuò)誤的”對應(yīng)學(xué)生的低階思維，而要想讓學(xué)生的思維向高階發(fā)展，就需要引導(dǎo)其關(guān)注平行四邊形一組鄰邊固定后高變化引起的面積變化，關(guān)注三類平面圖形的關(guān)系，從而深化對三類圖形周長和面積的認(rèn)知。

類比推理作為合情推理的重要形式之一，在小學(xué)階段有著廣泛的應(yīng)用，但其作為合情推理的或然性不容忽視。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重視其或然性并不斷糾正偏誤，養(yǎng)成有根有據(jù)的理性思維和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，錘煉良好的思維品質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 孫保華. 重視類比推理提升思維能力[J].教育科學(xué)論壇，2018（7）.