一個(gè)基于群作用的有趣例子

霍麗君， 程衛(wèi)東

(1.重慶理工大學(xué)理學(xué)院，重慶400054； 2. 重慶郵電大學(xué)理學(xué)院，重慶400065)

1 引 言

群作用[1-3]是抽象代數(shù)或者群論課程中的重要概念，群論的很多結(jié)論或應(yīng)用都是從這里起步，比如，在證明Sylow定理和Burnside定理的過(guò)程中，群作用的思想就起了關(guān)鍵性的作用.實(shí)際上，對(duì)各種群作用進(jìn)行考察是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的重要手段；同時(shí)，群作用還廣泛應(yīng)用于諸如物理、化學(xué)、力學(xué)等不同的科學(xué)領(lǐng)域.

群作用的概念對(duì)初學(xué)者往往較為抽象，教師在講授過(guò)程中采用一些較為具體的實(shí)例進(jìn)行講解是非常有必要的[4]，最好能選取學(xué)生較為熟悉且具有幾何直觀(guān)的例子.矩陣的合同關(guān)系是學(xué)生在線(xiàn)性代數(shù)課程中學(xué)習(xí)過(guò)的基本概念，本文運(yùn)用群作用的思想重新考察二階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的合同關(guān)系[5-6]，通過(guò)分析群作用的軌道在三維歐氏空間3中的圖像，可以發(fā)現(xiàn)這些圖像由某些二次曲面[7-8]張成.同時(shí)，根據(jù)群作用的軌道劃分理論[1]還可說(shuō)明這些二次曲面恰好可以將三維歐氏空間填滿(mǎn).本文給出了一個(gè)具有強(qiáng)烈?guī)缀沃庇^(guān)的群作用的例子，這個(gè)例子對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)抽象代數(shù)的興趣以及理解群作用思想的實(shí)質(zhì)均會(huì)產(chǎn)生積極影響.

回顧群在集合上作用的定義[1]：

設(shè)G是一個(gè)群，e是G的單位元，X是一個(gè)非空集合.如果給了一個(gè)映射f∶G×X→X， 且對(duì)所有的g1，g2∈G，x∈X， 滿(mǎn)足：

(i)f(e，x)=x;

(ii)f(g1g2，x)=f(g1，f(g2，x))，

就稱(chēng)f決定了群G在集合X上的一個(gè)作用.

2 一個(gè)例子：一般線(xiàn)性群在二階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣集合上的作用

考慮由所有二階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣構(gòu)成的集合X，根據(jù)線(xiàn)性代數(shù)理論，對(duì)任何A，B∈X，如果存在非奇異實(shí)矩陣P，使得PAPT=B，那么就稱(chēng)B與A合同(或相合).由實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的慣性定理[5]，任取二階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必與且僅與下面6個(gè)矩陣中的一個(gè)合同：

設(shè)GL2()是實(shí)數(shù)域上的一般線(xiàn)性群，即全體二階非奇異實(shí)矩陣構(gòu)成的乘法群.GL2()中任一元素P都可以定義集合X到其自身的一個(gè)映射：

σP∶X→X，APAPT， ?A∈X.

(1)

容易驗(yàn)證該映射給出了群GL2()在集合X上的一個(gè)作用.實(shí)際上，只需在前述群作用的定義中取映射f:GL2()×X→X， (P，A)PAPT即可.進(jìn)而在集合X上定義一等價(jià)關(guān)系“～”：稱(chēng)矩陣A和B等價(jià)，如果存在映射σP使得σP(A)=B，即A與B合同.在這一等價(jià)關(guān)系下，集合X被劃分成6個(gè)等價(jià)類(lèi)，每個(gè)等價(jià)類(lèi)稱(chēng)為由(1)式定義的群作用的一個(gè)軌道.于是X被劃分成了如下6個(gè)軌道

Oi={PFiPT|P∈GL2()}，i=1，2，…，6

其中O6是由2階零矩陣單獨(dú)構(gòu)成的一個(gè)軌道.

進(jìn)一步地，在全體二階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣集合X與三維歐氏空間3之間建立映射：

(2)

不難驗(yàn)證τ是X與3之間的一一對(duì)應(yīng).在該映射之下，群GL2()作用在X上生成的6個(gè)軌道在3中的像分別為

經(jīng)過(guò)計(jì)算可發(fā)現(xiàn)O′1和O′2中的點(diǎn)滿(mǎn)足方程

xy-z2=(ad-bc)2=t2，

(3)

其中t=ad-bc≠0.

O′3中的點(diǎn)滿(mǎn)足方程

z2-xy=(ad-bc)2=t2，

(4)

其中t=ad-bc≠0.

O′4和O′5中的點(diǎn)滿(mǎn)足方程

xy-z2=0.

(5)

顯然O′6中的點(diǎn)亦滿(mǎn)足方程(5).

這就說(shuō)明，全體二階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣在上述群作用下的6個(gè)軌道在三維歐氏空間中圖像(通過(guò)一一對(duì)應(yīng)τ)總落在由方程(3)-(5)所定義的二次曲面上.實(shí)際上，因?yàn)橛成洇邮且灰粚?duì)應(yīng)，對(duì)任意一點(diǎn)P∈3，總存在實(shí)數(shù)t，使得P滿(mǎn)足方程(3)-(5)中的某一個(gè).

為了更加直觀(guān)地看出方程(3)-(5)所表示的幾何圖形，做可逆變量替換[7-8]

代入將(3)-(5)分別化為

u2-v2-w2=t2，t≠0，

(6)

-u2+v2+u2=t2，t≠0，

(7)

u2-v2-w2=0.

(8)

從(6)-(8)立即看出，O′1和O′2由三維歐氏空間3中的一族共軸共中心的雙葉雙曲面構(gòu)成，這些雙葉雙曲面的方程由(3)(在(u，v，w)坐標(biāo)系下由(6))給出，其中O′1對(duì)應(yīng)于u>0的一葉，而O′2對(duì)應(yīng)于u<0的一葉.O′3由3中的一族共軸共中心的單葉雙曲面構(gòu)成，這些單葉雙曲面的方程由(4)(在(u，v，w)坐標(biāo)系下由(7))給出.O′4和O′5由3中的一個(gè)圓錐面去掉原點(diǎn)后構(gòu)成，其方程由(5)(在(u，v，w)坐標(biāo)系下由(8))給出，其中O′4對(duì)應(yīng)于u>0的一支，而O′5對(duì)應(yīng)于u<0的一支.最后，單點(diǎn)集O′6對(duì)應(yīng)于3的坐標(biāo)原點(diǎn).

實(shí)際上，當(dāng)非奇異矩陣P在群GL2()中變動(dòng)時(shí)，方程(3)和(4)(或者(6)和(7))中的參數(shù)t取遍全體非零實(shí)數(shù)，這是因?yàn)閷?duì)任意非零實(shí)數(shù)r，總存在二階可逆方陣()滿(mǎn)足其行列式等于r.當(dāng)這個(gè)參數(shù)t趨于0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的二次曲面分別趨于(5)(或者(8))所表示的圓錐面；而當(dāng)參數(shù)t趨于無(wú)窮時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的二次曲面分別逐漸遠(yuǎn)離(5)(或者(8))表示的圓錐面.實(shí)際上，(5)(或者(8))表示的圓錐面分別是(3)和(4)(或者(6)和(7))表示的雙曲面的漸近錐面.

特別地，在(u，v，w)坐標(biāo)系下，取定某個(gè)t后，(6)-(8)表示的三類(lèi)二次曲面之間的空間位置關(guān)系如圖1所示(注：圖1由Wolfram Mathematica?9軟件繪制).

圖1 雙葉雙曲面、圓錐面和 單葉雙曲面關(guān)系示意圖

3 結(jié) 論

本文考察了一般線(xiàn)性群GL2()在全體二階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣所構(gòu)成的集合X上的作用，給出該作用下的軌道在三維歐氏空間3中的幾何圖像(通過(guò)映射τ)，說(shuō)明這些軌道分別由雙葉雙曲面、單葉雙曲面以及圓錐面這三類(lèi)二次曲面張成.同時(shí)，結(jié)合二次曲面方程的連續(xù)演化以及群作用的軌道劃分理論[1]，說(shuō)明這三類(lèi)二次曲面填滿(mǎn)整個(gè)3.

本文將有助于對(duì)群作用這一基本概念產(chǎn)生直觀(guān)感性認(rèn)識(shí)，同時(shí)也能使學(xué)生加深對(duì)矩陣合同、二次曲面等知識(shí)點(diǎn)的理解，本文對(duì)線(xiàn)性代數(shù)和抽象代數(shù)等課程的教與學(xué)具有一定的啟發(fā)意義.

致謝作者非常感謝文獻(xiàn)[3]對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專(zhuān)家提出的寶貴意見(jiàn).