基于時間序列分析方法的 廣州市月降水量分析

莊燕璇

摘要：本文基于廣州市1998年1月—2019年12月月度降水量數(shù)據(jù)，對序列進(jìn)行建模分析和預(yù)測?；贏IC和BIC法則分別建立疏系數(shù)模型ARIMA（（4，5，6，7，8），1，1）和綜合分析模型Xt=StIt，兩種模型對2018年數(shù)據(jù)的擬合情況為：疏系數(shù)模的預(yù)測相對誤差小于50%的比例為33.33%;而綜合分析模型為58.33%。因此采用綜合分析模型對廣州市2020年降水量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測得出廣州市2020年1月的降水量為54.686 mm，但隨著預(yù)測期的延長，預(yù)測精度降低。

關(guān)鍵詞：廣州市降水量序列;AIC;BIC;ARIMA模型;綜合分析方法

降水量是衡量地區(qū)干旱程度的一個重要指標(biāo)，它直接反映了自然界的變化。降水量的多少直接影響農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，與現(xiàn)在農(nóng)作物的生長周期和產(chǎn)量更是聯(lián)系密切。同時，降水量的年際變化趨勢直接制約著區(qū)域社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展和生態(tài)生活環(huán)境，影響著區(qū)域水資源的調(diào)配管理。通過對數(shù)據(jù)擬合建立一個不錯的模型進(jìn)行短時間內(nèi)較精確的預(yù)測，有助于安排農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，注意防范洪澇災(zāi)害以及對水資源進(jìn)行調(diào)配，具有重大的現(xiàn)實(shí)意義。

張吉英[1]利用沈陽市2005年至2016年的降水量資料，建立了ARIMA（1，1，1）預(yù)測模型對沈陽市降水量進(jìn)行分析預(yù)測。張改紅[2]利用渭南市1953年至2013年的降水量資料，采用ARIMA模型對渭南市降水量趨勢進(jìn)行模擬分析，建立最優(yōu)降水量預(yù)測模型，該模型優(yōu)點(diǎn)為短期預(yù)測精度高。呂志濤[3]利用鄭州市1971年至2013年降水量資料，分別采用了二次多項(xiàng)式擬合、諧波分析法以及自回歸模型構(gòu)建了鄭州市降水量的預(yù)報(bào)模型，預(yù)報(bào)精度較高。

本文以廣州市為研究區(qū)域，利用1998年1月至2019年12月的廣州市降水量資料[4]，分別建立ARIMA模型和綜合分析模型對廣州降水趨勢進(jìn)行分析，最后選擇最優(yōu)模型進(jìn)行預(yù)測應(yīng)用。

首先基于AIC和BIC法則分別建立疏系數(shù)模型ARIMA（（4，5，6，7，8），1，1）和綜合分析模型Xt=StIt。接著根據(jù)模型對2018年的擬合結(jié)果選擇最優(yōu)模型，發(fā)現(xiàn)此背景下綜合分析方法優(yōu)于ARIMA模型。最后采用綜合分析模型對廣州市2020年的降水量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。

本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于分別選取了ARIMA模型和綜合分析模型對降水量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并通過對比預(yù)測效果挑選相對最優(yōu)模型對2020年降水量進(jìn)行預(yù)測。

1? ? 研究方法與理論分析

本章分為三節(jié)，第一、二節(jié)分別簡要介紹ARIMA和綜合分析方法的一般形式和建模步驟;第三節(jié)則給出模型精度評估方法。

1.1 ARIMA模型

1.1.1 ARIMA模型的一般形式

（1.1）

1.1.2 ARIMA模型建模的大體步驟

一、對初始時間序列進(jìn)行平穩(wěn)性分析，利用ADF檢驗(yàn)對序列的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)[5]。

若初始時間序列平穩(wěn)，則接著進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn);若初始時間序列不平穩(wěn)，則對初始時間序列差分平穩(wěn)化后進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)。

若檢驗(yàn)結(jié)果顯示為非白噪聲序列，則擬合ARMA模型。

對擬合后的殘差序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，若殘差序列為白噪聲，則說明初始時間序列的信息被充分提取，即模型較好;若殘差序列為非白噪聲，則需要重新進(jìn)行擬合。

若ARIMA（p，d，q）模型中有部分自相關(guān)函數(shù)或部分平滑系數(shù)為零，那么該模型成為疏系數(shù)模型，記為ARIMA（（p1，...，pm），d，（q1，...qn））。

1.2 綜合分析方法

1.2.1 將序列進(jìn)行混合模式分解

（1.2）

其中，Tt為趨勢效應(yīng)擬合，St為季節(jié)效應(yīng)擬合， It為隨機(jī)波動。

1.2.2 求出季節(jié)效應(yīng)擬合

假定時間序列 周期長度為m，則季節(jié)指數(shù)的計(jì)算公式如式（1.3）所示。

（1.3）

其中為每個周期內(nèi)的平均值，為總體均值。

1.2.3 對趨勢效應(yīng)Tt進(jìn)行擬合

對趨勢效應(yīng)常用以自變量為時間t的冪函數(shù)進(jìn)行擬合，即

（1.4）

1.2.4 對殘差序列擬合移動平均模型，以便充分提取相關(guān)信息

（1.5）

由（1.2）、（1.4）、（1.5）構(gòu)造模型如下：

（1.6）

1.3 精度評估

本文用兩個準(zhǔn)則來評估預(yù)報(bào)模型的精度。

一、相對誤差=，這是反映單個預(yù)測值精度的指標(biāo)。

二、平均絕對百分比誤差這是反映一組預(yù)測值精度的指標(biāo)。

其中，是時刻t的預(yù)測值，yi是時刻t的原始值，n是預(yù)測數(shù)。

2? ? 廣州月度降水量時序模型

2.1 ARIMA模型的應(yīng)用

2.1.1 序列觀察

本文對1998年1月—2019年12月264個廣州月度降水量進(jìn)行分析。本文用前240個數(shù)據(jù)參與建模，并用2018、2019年的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合效果，最后對2020年進(jìn)行預(yù)測。

首先作時序圖如圖1所示。

由圖1可以看出該序列具有以下特點(diǎn)：有明顯的非零均值，有一定的周期性，周期為12個月，說明該序列是非平穩(wěn)的。

因?yàn)榻邓繒r間序列是非平穩(wěn)時間序列，因此，我們先對初始時間序列進(jìn)行差分平穩(wěn)化后。

2.1.2 進(jìn)行1階差分

首先對原序列χt做1階差分，得到序列▽χt，接著進(jìn)行單位根檢驗(yàn)判斷序列▽χt的平穩(wěn)性。檢驗(yàn)結(jié)果見圖2。

由圖2可以看出，該序列單位根檢驗(yàn)的p值均小于0.0001。因此，在顯著性水平0.05下認(rèn)為序列▽χt是平穩(wěn)的。

2.1.3 擬合ARMA模型

根據(jù)2.1.2得出：序列▽χt是平穩(wěn)時間序列。因此可以采用ARMA模型來擬合序列▽χt。根據(jù)BIC準(zhǔn)則，本文選擇ARMA（8，1）模型來擬合序列▽χt。采用最小二乘法估計(jì)參數(shù)，因?yàn)槟Ｐ虯RMA（8，1）的一些參數(shù)不顯著，所以需要重新估計(jì)。接著，逐步剔除掉模型中不顯著的參數(shù)，直到模型剩下的參數(shù)均顯著為止。剔除的過程不在此處贅述，最后采用了無常數(shù)項(xiàng)的疏系數(shù)模型ARMA（（4，5，6，7，8），1）來擬合序列▽χt。參數(shù)估計(jì)見圖3。

由圖3可以看出，變量“MA1，1”、“AR1，1”、“AR1，2”、“AR1，3”和“AR1，4”的t檢驗(yàn)的p值均小于0.05。因此，在顯著性水平0.05下可以認(rèn)為這5個參數(shù)顯著非零。而變量“AR1，5”的t檢驗(yàn)的p值為0.0537。因此在顯著性水平0.05下認(rèn)為該參數(shù)不顯著而在顯著性水平0.01下是顯著的。權(quán)衡了擬合后殘差的白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果后決定將該參數(shù)加入模型中，即可用模型ARMA（（4，5，6，7，8），1）來擬合序列 。

2.1.4 模型的檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯π蛄?的擬合效果，我們首先對擬合后的殘差序列進(jìn)行白噪音檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果見圖4。

由圖4可以看出，白噪聲檢驗(yàn)的p值均大于0.05。因此，在顯著性水平0.05下認(rèn)為殘差序列為白噪聲，說明該模型的擬合效果好。

所以通過對1998年1月—2017年12月廣州降水量月度數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合并優(yōu)化得到的具體模型是：

（2.1）

接下來需要通過比較模型的生成數(shù)據(jù)與現(xiàn)實(shí)的測度數(shù)據(jù)來觀察模型對廣州降水量的擬合效果。利用模型對2018年及2019年的廣州降水量月度數(shù)據(jù)做外推預(yù)報(bào)并計(jì)算相對誤差見表1。

由表1可以看出廣州市2018年實(shí)際降水量與預(yù)測值的相對誤差的平均值為1.23，而2019年為14.07。2018年相對誤差在30%以內(nèi)的比例為33.33%，而2019年相對誤差在30%以內(nèi)的比例為25%。因此，可以看出該模型對2018年降水量的擬合效果比2019年的好，從而可以看出，該模型不適用于長期預(yù)測。

從預(yù)測結(jié)果可以得出以下結(jié)論：第一，疏系數(shù)模型模型作為廣州市降水量預(yù)測模型是可行的;第二，該模型適合短期預(yù)測，隨著預(yù)測的延長，預(yù)測的誤差將逐漸增大。

2.2 綜合分析方法的應(yīng)用

2.2.1 求出季節(jié)效應(yīng)擬合

一、計(jì)算季節(jié)指數(shù)

根據(jù)式（1.3）計(jì)算各月季節(jié)指數(shù)數(shù)據(jù)見表2。

由表2可看出，廣州降水量1月與2月較平穩(wěn)，且降水量較少，3月—5月急速上升，5月—6月較為平穩(wěn)，7月至12月呈現(xiàn)下降趨勢。其中1、2、3、10、11和12月的季節(jié)指數(shù)小于1，到12月時達(dá)到最低谷。4月—9月的季節(jié)指數(shù)均大于1，在六月達(dá)到最高峰。

3.2.2 對隨機(jī)波動It進(jìn)行擬合

2.2.1節(jié)已求出季節(jié)效應(yīng)擬合，下面以原時間序列值除以對應(yīng)的季節(jié)效應(yīng)擬合，得到的不包含季節(jié)效應(yīng)的隨機(jī)波動的綜合值，即：，圖5為序列{Xt/St}的時序圖。

由圖5可以看出，序列{Xt/St}基本消除了季節(jié)性，且不具有趨勢性，可以初步判定序列{Xt/St}是平穩(wěn)時間序列。

為了進(jìn)一步的判斷序列{Xt/St}的平穩(wěn)性，接著對其進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果為在顯著性水平0.05下認(rèn)為該序列是平穩(wěn)時間序列。

2.2.3 對隨機(jī)波動 擬合ARMA模型

將隨機(jī)波動作為一個新的序列，按照1.1.2節(jié)介紹的方法建立ARMA模型來進(jìn)行擬合，根據(jù)BIC準(zhǔn)則：本文選擇ARMA（1，1）模型進(jìn)行建模。

接著，我們采用無常數(shù)項(xiàng)ARMA（1，1）模型擬合隨機(jī)波動序列{Xt/St}，參數(shù)估計(jì)見圖6。

圖6? 隨機(jī)波動模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

由圖6可以看出，變量“MA1，1”和變量“AR1，1”的t檢驗(yàn)p值均小于0.0001。因此，在顯著性水平0.05下認(rèn)為該參數(shù)顯著非零。

隨機(jī)波動模型如下：

（2.2）

從而最終模型為：

（2.3）

2.2.4 模型檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停?.3）的擬合效果，首先對擬合后的殘差序列進(jìn)行白噪音檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果為在顯著性水平0.01下無法拒絕殘差序列為白噪聲。說明模型（2.3）提取信息充分，擬合效果較好。

為了對模型進(jìn)行檢驗(yàn)，下面利用模型對于2018年及2019年的廣州降水量月度數(shù)據(jù)做外推預(yù)報(bào)，得到的預(yù)報(bào)值見表3。

由表3可以看出廣州市2018年實(shí)際降水量與預(yù)測值的相對誤差的平均值為0.50，而2019年為7.00。2018年預(yù)測相對誤差在30%以內(nèi)的比例為33.33%，而2019年預(yù)測相對誤差在30%以內(nèi)的比例為25%。因此，可以看出該模型對廣州市2018年降水量的擬合效果比2019年的好，且該模型不適用于長期預(yù)測。

從預(yù)測結(jié)果可以得出以下結(jié)論：第一，綜合分析方法作為廣州市降水量預(yù)測模型是可行的;第二，該模型適合短期預(yù)測，隨著預(yù)測的延長，預(yù)測的誤差將逐漸增大。

2.3 兩種模型的對比與預(yù)測

根據(jù)2.1和2.2的分析，兩種模型均不適用于長期預(yù)測。因此，我們將根據(jù)兩種模型的短期預(yù)測效果即對2018年降水量的預(yù)測效果來判斷兩種模型的好壞，并用相對較好的模型來對廣州2020年的降水量進(jìn)行預(yù)測。

2.3.1 兩種模型的對比

本文通過兩個角度來對比兩種模型，其一是兩種模型預(yù)測精度的比較;其二是預(yù)測結(jié)果的整體規(guī)律比較。

2.3.1.1 預(yù)測精度比較

由表1和表3可以看出，采用ARIMA模型擬合的2018年降水量的相對誤差低于50%的占比33.33%;而采用綜合分析方法預(yù)測的相對誤差低于50%的占比為58.33%，比ARIMA模型高出25%。因此，從預(yù)測精度看，綜合分析方法要優(yōu)于ARIMA模型。

2.3.1.2 預(yù)測結(jié)果的整體規(guī)律比較

分別計(jì)算實(shí)際數(shù)據(jù)以及兩種模型擬合2018年降水量的平均數(shù)、中位數(shù)、極差，見表4。

由表4可得疏系數(shù)模型擬合值的平均數(shù)、中位數(shù)和極差與實(shí)測值的平均數(shù)、中位數(shù)和極差的差值分別均大于綜合分析方法。因此，從預(yù)測結(jié)果的整體規(guī)律看，綜合分析方法要優(yōu)于ARIMA模型。

綜上所述，我們認(rèn)為綜合分析方法更適用于擬合廣州市月降水量。

2.3.2 模型的預(yù)測

根據(jù)2018年1月—2019年12月觀測的實(shí)際值進(jìn)一步修正模型后，得到廣州市2020年1—12月降水量預(yù)測值及其置信區(qū)間，見表5。

從對2020年的預(yù)測結(jié)果上看，廣州市降水量仍然延續(xù)以往的發(fā)展規(guī)律。2020年1月—2月降水量小且平緩，3月—6月急速增長且在六月達(dá)到最高峰，然后6月—9月總體呈現(xiàn)急速下降的趨勢，但是7月—8月降水量增加，在10月—12月降水量較小且變化平緩。

3? ? 結(jié)論分析與建議

本文基于ARIMA（（4，5，6，7，8），1，1）模型擬合廣州市降水量序列，所得到的模型BIC值為3001.104，AIC值為2980.245，而綜合分析模型為3048.52和3041.559。根據(jù)模型對2018年和2019年降水量數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果得出兩種模型均只適用于短期預(yù)測。

最后根據(jù)模型對2018年的擬合結(jié)果選擇最優(yōu)模型。兩種模型對2018年數(shù)據(jù)的擬合情況為：疏系數(shù)模的預(yù)測相對誤差小于50%的比例為33.33%;而綜合分析模型為58.33%。疏系數(shù)模型擬合值的平均數(shù)、中位數(shù)和極差與實(shí)測值的差值均大于綜合分析模型。因此，采用綜合分析模型（2.3）對廣州市2020的降水量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果見表5。但隨著預(yù)測期的延長，預(yù)測精度降低。建議在使用綜合分析模型預(yù)測年降水量時，盡量保證數(shù)據(jù)序列足夠的情況下，采用逐年實(shí)時校正的預(yù)測方法。然后參考預(yù)測的結(jié)果做出相應(yīng)的水資源調(diào)配以及防洪措施。

參考文獻(xiàn)

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[5] 王燕.應(yīng)用時間序列分析[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2005.