培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想 增強(qiáng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

>>>董紀(jì)華

新高考承載著促進(jìn)立德樹人、考查學(xué)生關(guān)鍵能力和學(xué)科核心素養(yǎng)、助力人才選拔與培養(yǎng)等多重功能?？v觀近幾年高考數(shù)學(xué)試題，已經(jīng)從只對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行考查，轉(zhuǎn)向?qū)?shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查?！皵?shù)學(xué)建?！弊鳛樾抡n標(biāo)提出的六大核心素養(yǎng)之一，成為近幾年高考的考查熱點(diǎn)，我們有必要從課程標(biāo)準(zhǔn)出發(fā)研究高考試題，提升關(guān)鍵能力。

一、從新課標(biāo)看數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模就是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析;設(shè)置了函數(shù)、幾何與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)四條主線;提出了“三會(huì)”，即“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”，其中，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，就是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決客觀世界中現(xiàn)實(shí)問題的能力素養(yǎng)?？梢?，在學(xué)習(xí)的過程中，我們除了要重視“四基”“四能”，也要重視數(shù)學(xué)與客觀世界的聯(lián)系，通過數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)獲得數(shù)學(xué)建模思想，活學(xué)活用數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、從高考評(píng)價(jià)看數(shù)學(xué)建模

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說明》指出，高考評(píng)價(jià)應(yīng)基于學(xué)科核心素養(yǎng)確定考查的關(guān)鍵能力與必備知識(shí)。近年來，高考評(píng)價(jià)越來越注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用性，高考試題通過設(shè)置真實(shí)問題情境，創(chuàng)設(shè)開放性、可探究的問題，考查考生的數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線，不僅要求同學(xué)們掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，更要求同學(xué)們?cè)鰪?qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系。有邏輯地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)技能解決實(shí)際問題，成為近年高考考查的趨勢(shì)。高考試題將數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)融入考查之中，同學(xué)們雖然不能在考場(chǎng)上真正進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，但可以應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想解決問題，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，靈活運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)的方式解決實(shí)際問題。

三、例析高考中的數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)模型

例1.(2020年全國(guó)卷Ⅲ,理科4題)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一,可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I(t★)=0.95K時(shí),標(biāo)志著已初步遏制疫情,則 t★約為(ln19≈3)

A.60 B.63 C.66 D.69

模型分析：本題以新冠肺炎為實(shí)際背景，引入Logistic模型揭示某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)隨天數(shù)的變化規(guī)律，充分體現(xiàn)了函數(shù)是刻畫變量間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。同學(xué)們應(yīng)深入理解指數(shù)型函數(shù)模型蘊(yùn)含的規(guī)律特征，利用已有的函數(shù)知識(shí)，結(jié)合函數(shù)與方程的基本思想，通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的計(jì)算，預(yù)測(cè)疫情得以遏制的規(guī)律，解決實(shí)際問題，感悟函數(shù)的預(yù)測(cè)功能。

例2.(2020年全國(guó)卷Ⅲ,理科18題)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：

鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)［0,200］ (200,400］ (400,600］1(優(yōu)) 2 16 25 2(良) 5 10 12 3(輕度污染) 6 7 8 4(中度污染) 7 2 0

(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率;

(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);

(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表,判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?

人次≤400 人次＞400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好

P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828

解析：(1)由頻數(shù)分布表可知,該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1的概率為=0.43,等級(jí)為2的概率為=0.27,等級(jí)為 3的概率為=0.21,等級(jí)為4的概率為=0.09.

(2)由頻數(shù)分布表可知,一天中到該公園鍛煉的人次平均數(shù)為=350.

(3)2×2列聯(lián)表如下：

人次≤400 人次＞400空氣質(zhì)量不好 33 37空氣質(zhì)量好 22 8

因此，有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)。

模型分析：本題以空氣質(zhì)量問題和公園鍛煉人數(shù)的聯(lián)系為背景，考查了概率統(tǒng)計(jì)模型。在歷年高考試題中，概率統(tǒng)計(jì)問題通常都十分注重生產(chǎn)生活實(shí)際與數(shù)學(xué)知識(shí)方法的聯(lián)系?，F(xiàn)實(shí)世界中存在著很多隨機(jī)現(xiàn)象，不確定性中又蘊(yùn)含了一定的規(guī)律。我們須從大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中分析、識(shí)別這些規(guī)律.高考試題對(duì)概率統(tǒng)計(jì)模型的考查，需要考生從大量文字和數(shù)據(jù)中提取關(guān)鍵信息，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表(如列聯(lián)表、頻率統(tǒng)計(jì)表、直方圖、折線圖等)整理數(shù)據(jù)，并確定關(guān)鍵的數(shù)字特征，反映總體特征，有時(shí)還需要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ筒⒏倪M(jìn)模型。同學(xué)們應(yīng)該在復(fù)習(xí)中深入理解統(tǒng)計(jì)基本思想、熟練掌握統(tǒng)計(jì)基本模型，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)基本方法獲取、分析、整理數(shù)據(jù)，選擇或建立恰當(dāng)?shù)母怕式y(tǒng)計(jì)模型，通過計(jì)算解決實(shí)際問題。

四、提高數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的一些建議

1.夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握數(shù)學(xué)模型

在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)，我們需要對(duì)已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征有較為深刻的認(rèn)識(shí)，理解與掌握數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)。如函數(shù)是刻畫變量間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，統(tǒng)計(jì)模型和統(tǒng)計(jì)工具往往可以幫助我們理解和處理數(shù)據(jù)，并與概率相聯(lián)系研究不確定現(xiàn)象等，這樣才能將錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題與數(shù)學(xué)模型建立聯(lián)系。在求解數(shù)學(xué)模型時(shí)，我們須用數(shù)學(xué)的方法和基本思想，進(jìn)行邏輯推理與準(zhǔn)確計(jì)算，如對(duì)函數(shù)性質(zhì)的討論、對(duì)方程的求解、應(yīng)用數(shù)列的性質(zhì)解決問題等。在檢驗(yàn)和改進(jìn)數(shù)學(xué)模型時(shí)，往往需要我們對(duì)數(shù)學(xué)解釋有足夠的認(rèn)識(shí)，如用概率統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)決策，對(duì)人們的生產(chǎn)生活給出指導(dǎo)。如果模型與現(xiàn)實(shí)問題產(chǎn)生了較大的誤差，我們需要根據(jù)數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)檢驗(yàn)所得結(jié)果的科學(xué)性，并改進(jìn)模型。這些都需要我們夯實(shí)基礎(chǔ)，理解每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，弄清楚定理的來龍去脈，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

2.關(guān)注知識(shí)的聯(lián)系性與整體性

從高考試題的角度來看，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)建模思想有關(guān)的試題，考查的知識(shí)點(diǎn)往往并不固定，有時(shí)問題涉及的知識(shí)內(nèi)容也不是單一的，綜合性較強(qiáng)。另外，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度來看，我們要弄清楚構(gòu)成某一個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的要素之間的關(guān)系，以及不同研究對(duì)象之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)知識(shí)之間總是以數(shù)學(xué)的邏輯有機(jī)、連貫地聯(lián)系在一起，我們只有將數(shù)學(xué)看成一個(gè)整體，復(fù)習(xí)時(shí)注重知識(shí)間的聯(lián)系，如等式與不等式的關(guān)系、函數(shù)與方程的關(guān)系、幾何與代數(shù)的關(guān)系、結(jié)構(gòu)與形式的關(guān)系等等，才能在綜合性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)建模問題中提出問題、分析問題、解決問題。

3.重視對(duì)問題背景的分析

近幾年高考中與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的題目，都以真實(shí)情境為背景，具有科學(xué)性、時(shí)效性、廣泛性的特點(diǎn)，題目情境多種多樣。例如在2020年高考中，許多地方的高考試題都加入了以“新冠肺炎”為背景的問題，也有空氣質(zhì)量、信息熵等實(shí)際背景。這些試題往往有大量的文字描述，還會(huì)有一些科學(xué)性、時(shí)效性較強(qiáng)的術(shù)語，同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)中應(yīng)注意對(duì)該類問題的訓(xùn)練，通過對(duì)材料的閱讀、分析，感受問題的本質(zhì)，體驗(yàn)從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的思維，與此同時(shí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與應(yīng)用。