重構(gòu)混凝土導(dǎo)熱系數(shù)的反問(wèn)題

楊 濤, 溫鑫亮, 劉翻麗

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

水泥發(fā)生水化反應(yīng)后,釋放出的熱量對(duì)混凝土的使用年限產(chǎn)生了很大的影響,并且這一問(wèn)題越來(lái)越引起研究者的關(guān)注[1].混凝土的導(dǎo)熱系數(shù)較小,發(fā)生化學(xué)反應(yīng)之后,內(nèi)部產(chǎn)生的熱量不能迅速擴(kuò)散,導(dǎo)致其內(nèi)部和外部產(chǎn)生了較大的溫度差,在受限制的條件下極易出現(xiàn)裂紋,對(duì)混凝土結(jié)構(gòu)的耐久性產(chǎn)生了非常大的影響.

近年來(lái),實(shí)際工程對(duì)混凝土的強(qiáng)度、耐久性與體積穩(wěn)定性有較高的要求,使得大體積混凝土和低水膠比配制的混凝土的使用率逐年升高,但是混凝土導(dǎo)熱性能不佳,發(fā)生水化反應(yīng)時(shí),其內(nèi)部熱量不斷積聚，溫度不斷升高,導(dǎo)致混凝土結(jié)構(gòu)中膠凝材料產(chǎn)生的水化熱也更多,因此出現(xiàn)了很多溫度裂縫.溫度裂縫的產(chǎn)生,使工程技術(shù)人員越來(lái)越關(guān)注早期混凝土的熱學(xué)和力學(xué)性質(zhì),以便能夠進(jìn)一步預(yù)測(cè)混凝土結(jié)構(gòu)的溫度場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)和溫度裂縫.大體積混凝土開(kāi)裂的重要原因之一[2—3]是溫度應(yīng)力,而混凝土的溫度控制的一個(gè)重要因素是絕熱溫升[4].此外，在確定混凝土結(jié)構(gòu)早期溫度場(chǎng)的計(jì)算中,絕熱溫升是混凝土的重要物理指標(biāo)[5—8].在此過(guò)程中,導(dǎo)熱系數(shù)是一個(gè)非常關(guān)鍵的因素.

研究發(fā)現(xiàn),對(duì)混凝土導(dǎo)熱系數(shù)影響最大的是骨料類(lèi)型、孔隙率、干濕條件[9—13].而文獻(xiàn)[13]最早對(duì)混凝土熱學(xué)參數(shù)(包括導(dǎo)熱系數(shù))進(jìn)行了研究,并且給出了一種計(jì)算混凝土導(dǎo)熱系數(shù)和比熱的方法.但是,這些方法基本上都是以經(jīng)驗(yàn)作為依據(jù)的.本文研究一類(lèi)在給定條件下確定反應(yīng)擴(kuò)散方程中擴(kuò)散系數(shù)的反問(wèn)題,其中未知系數(shù)通常稱(chēng)為擴(kuò)散系數(shù),用于描述傳熱過(guò)程中的導(dǎo)熱系數(shù).該問(wèn)題出現(xiàn)在各種物理和工程環(huán)境中,如混凝土水化反應(yīng).從觀測(cè)資料中識(shí)別未知系數(shù)的反問(wèn)題出現(xiàn)在許多領(lǐng)域,包括熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散、油藏模擬.目前,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)混凝土中溫度場(chǎng)的計(jì)算和絕熱溫升試驗(yàn)的研究成果比較多.例如文獻(xiàn)[14]根據(jù)工程實(shí)測(cè)溫度反演混凝土的絕熱溫升,并且提出一套精度較好又比較實(shí)用的計(jì)算公式.混凝土絕熱溫升表示為

類(lèi)似地,文獻(xiàn)[15] 采用有限差分方法,建立了基于混凝土絕熱溫升試驗(yàn)的早齡期混凝土溫度場(chǎng)計(jì)算模型,在一維傳熱條件下(設(shè)傳熱方向?yàn)閤軸方向)混凝土板的熱傳導(dǎo)方程可表達(dá)為

混凝土內(nèi)部溫度分布問(wèn)題就是對(duì)上述方程的求解問(wèn)題.文獻(xiàn)[4,16]也對(duì)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行了研究,得到了相關(guān)的結(jié)果.文獻(xiàn)[17]給出了一種早齡期混凝土路面板非線性溫度場(chǎng)下溫度應(yīng)力的計(jì)算方法,其中將路面板厚度方向的非線性溫度分成平均溫度、線性溫度和非線性溫度3個(gè)分項(xiàng),分別計(jì)算每一分項(xiàng)溫度引起的應(yīng)力,最終總應(yīng)力為3部分應(yīng)力的疊加.

以往的研究中,人們常常將混凝土的導(dǎo)熱系數(shù)定為常數(shù).由于現(xiàn)代混凝土的水泥用量、外加劑(如大劑量粉煤灰和磨碎的顆粒渣等)、骨料尺寸(尺寸和破碎指數(shù))和施工工藝(大流動(dòng)性等)等與以前的混凝土有較大差異,這必然導(dǎo)致混凝土的熱力學(xué)性能不同于以往的混凝土.故先前的關(guān)于導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)的假設(shè)具有很大的局限性.因此,有必要對(duì)基于現(xiàn)代技術(shù)的混凝土導(dǎo)熱系數(shù)進(jìn)行研究.本文主要考慮如下問(wèn)題.

問(wèn)題P考慮二階非線性熱傳導(dǎo)方程的反演系數(shù)問(wèn)題：

(1)

這里φ和f是2個(gè)給定光滑函數(shù),a(x)是一個(gè)未知的導(dǎo)熱系數(shù),a(x)≥a0>0.

給定附加條件:

(u|t=T=g(x),x∈[0,l],

其中g(shù)是一個(gè)已知的函數(shù),它滿(mǎn)足齊次Dirichlet邊界條件.我們需要據(jù)此同時(shí)確定未知函數(shù)對(duì)(u,a).

1 控制問(wèn)題

在反問(wèn)題P中,假設(shè)函數(shù)f∈C2[0,Φ],并且f滿(mǎn)足Lipschitz條件:?L>0,|f(u1)-f(u2)|≤L|u1-u2|,以及f(0)=0,|f′|,|f″|≤M.對(duì)于一般輸入數(shù)據(jù)g(x),反問(wèn)題P可能沒(méi)有解,我們轉(zhuǎn)而考慮以下最優(yōu)控制問(wèn):

(2)

這里

(3)

(4)

α,β是2個(gè)給定的正常數(shù),H1通常是Sobolev空間(見(jiàn)文獻(xiàn)[1]),其范數(shù)定義為

u(x,t;a)是方程(1)對(duì)應(yīng)于給定系數(shù)a(x)∈A的解,N是正則化參數(shù).

假設(shè)終端觀測(cè)數(shù)據(jù)g(x)滿(mǎn)足條件

g(x)∈L2(0,l).

(5)

因此,正問(wèn)題是由已知的系數(shù)a(x)確定方程(1)的解u(x,t),這在Hadamard意義上是適定的,我們對(duì)u(x,t)有以下估計(jì).

引理1令u(x,t)為方程(1)的解,a(x)∈Α是給定函數(shù),對(duì)于u(x,t)有以下估計(jì)

其中C為一個(gè)常數(shù).

證明由方程(1)可得

通過(guò)積分可得

因此,由Gronwall不等式可得

引理1證完.

由引理1的證明過(guò)程易知將常數(shù)統(tǒng)一為C.

由(5)式和引理1可知控制泛函(3)對(duì)任意a(x)∈A是有意義的.

定理1的證明是標(biāo)準(zhǔn)的,此處略.

2 必要條件

定理2若a是最優(yōu)控制問(wèn)題(2)的解,則存在一個(gè)三元函數(shù)組(u,v;a)滿(mǎn)足下列系統(tǒng)

(6)

(7)

且

(8)

證明對(duì)于任意h∈A,0≤δ≤1,令aδ≡(1-δ)a+δh∈A,則

(9)

令uδ是方程(1)的解,其中a=aδ,則有

(10)

(11)

(12)

由(10)式可得

(13)

記Lξ=ξt-(aξx)x-ξf′(u),令v是下列問(wèn)題的解：

(14)

其中算子L*是L的共軛算子.于是利用Green公式和分部積分易得

(15)

由(13)式和(15)式可得

定理2證完.

3 局部唯一性和穩(wěn)定性

假設(shè)觀察終端數(shù)據(jù)g(x)滿(mǎn)足條件

g(x)∈H1(0,l).

(16)

一般地,當(dāng)最優(yōu)化問(wèn)題中控制泛函非凸的時(shí)候,很難得到它的全局唯一解,這給數(shù)值模擬也增加了難度.如果T足夠小,那么可以證明控制問(wèn)題(2)的解具有局部唯一性.如無(wú)特殊說(shuō)明,以下C表示與參數(shù)T和N無(wú)關(guān)的不同常數(shù).

引理2由(7)式可得如下估計(jì):

(17)

由(16)式可知{u,v}是對(duì)系統(tǒng)(6)～(7)進(jìn)一步估計(jì)的解.

引理3對(duì)方程(6) 有下列估計(jì):

(18)

引理4對(duì)方程(7)中有以下估計(jì)：

(19)

引理2至引理4的證明與引理1的證明類(lèi)似,此處略,其中引理2至引理4中的C與引理1中所得過(guò)程類(lèi)似.

令a1(x)是問(wèn)題P1對(duì)應(yīng)的g1(x)的極小值,a2(x)是問(wèn)題P1對(duì)應(yīng)的g2(x)的極小值,且{ui,vi}(i=1,2)分別是系統(tǒng)(6)～(7)的解,這里a=ai(i=1,2).

令u1-u2=U,v1-v2=V,a1-a2=A，并且U和V滿(mǎn)足

(20)

(21)

引理5對(duì)于有界連續(xù)函數(shù)g(x)∈C[0,l],有

引理5的證明是標(biāo)準(zhǔn)的.

引理6對(duì)方程(20),有以下估計(jì):

(22)

證明

(f(u1)-f(u2)=

f′(u2+θ(u1-u2))(u1-u2)=

f′(u2+θU)U, 0≤θ≤1.

(23)

由方程(20)可得

分部積分可得

由(23)式可得

因此,由Gronwall不等式和(4)式可得

引理6證完.

引理7對(duì)方程(7),由極值原理得到

引理7的證明是標(biāo)準(zhǔn)的.

引理8對(duì)方程(21),有以下估計(jì):

(24)

證明對(duì)(21)式,有

通過(guò)積分獲得

因此,

使用估計(jì)(22)可得

由f滿(mǎn)足條件可知

|f′(u1)-f′(u2)|=

|f″(u2+θ(u1-u2))(u1-u2)|≤

M|u1-u2|.

(25)

由(25)式得

根據(jù)(4)式且已知f是光滑函數(shù),可得

因此,由引理7和Cauchy不等式得

由Gronwall不等式可得

引理8證完.

定理3令a1(x),a2(x)是與g1(x),g2(x)分別對(duì)應(yīng)的最優(yōu)控制問(wèn)題P1的最小值,這里T?1,C是不依賴(lài)T和N的常數(shù),則有下列估計(jì)

證明在(8)式中,當(dāng)a=a1時(shí)h=a2,當(dāng)a=a2時(shí)h=a1,則有

(26)

(27)

這里{ui,vi}(i=1,2)是系統(tǒng)(6)～(7)的解,對(duì)應(yīng)a=ai(i=1,2).由(26)～(27)式可得

(28)

由引理5可得

(29)

由(28)～(29)式及Cauchy不等式,可得

(30)

由(16)式、引理4和引理5,可得

(31)

由(30)～(31)式可得

(32)

選擇T?1,則

(33)

結(jié)合(32)～(33)式易得

(34)

定理3證完.

注1極值的唯一性是估計(jì)(34)的直接推論.應(yīng)當(dāng)指出,在不適定問(wèn)題的數(shù)值模擬中,正則化參數(shù)N扮演著一個(gè)非常重要的角色.

注2需特別注意(32)式中的所有常數(shù)C均與T無(wú)關(guān),這一點(diǎn)從引理6,引理8的證明過(guò)程中容易看出.因而,仍總是可以選擇T適當(dāng)小,使得(33)式成立.要求T?1只是方便證明的需要,在實(shí)際問(wèn)題中對(duì)T的限制可大大放寬.