半群PTn(A;θ)的正則性及格林關(guān)系

秦美青

(菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 菏澤 274015)

1951年J.A.Green在文獻(xiàn)[1]中提出了半群S上的5種等價(jià)關(guān)系L,R,J,H,D的概念并進(jìn)行研究,后來這5種等價(jià)關(guān)系被統(tǒng)稱為半群S上的Green’s關(guān)系.格林關(guān)系在半群的代數(shù)理論的形成和發(fā)展中起著非常重要的作用,對(duì)于揭示半群的代數(shù)結(jié)構(gòu)有著重要的意義,多年來是半群的代數(shù)理論研究的熱點(diǎn)課題之一[2—8].

設(shè)X是一個(gè)非空集合,T(X)是X上的完全變換做成的半群.設(shè)A是X的非空子集,文獻(xiàn)[2]討論了T(X)的子半群T(X,A)={α∈T(X):imα?A}的自同構(gòu)問題.文獻(xiàn)[3]探究了半群T(X,A)上的正則性及元素間的格林關(guān)系.

取定θ∈PTn(A)且設(shè)domθ=Xn.定義半群PTn(A)上的一個(gè)新的運(yùn)算°:f°g=fθg,其中f,g∈PTn(A),乘積fθg為部分變換f,θ,g在通常意義下的合成.這樣,在運(yùn)算°下,PTn(A)構(gòu)成一個(gè)新的半群,稱為半群PTn(A)的變種半群,記為PTn(A;θ).顯然半群PTn(A)可視為半群PTn(A;θ)的一種特殊情形(當(dāng)θ為Xn上的恒等變換時(shí)PTn(A;θ)=PTn(A)).

1975年,Magill和Subbiah在文獻(xiàn)[5]中探討了一般變種半群上正則元的特征及正則元之間的格林關(guān)系.此后對(duì)變種半群的研究不斷深入,得到了許多豐富的結(jié)果.如文獻(xiàn)[6]在集合X(|X|≥3),PX是X上的部分變換半群,E是X上的等價(jià)關(guān)系的條件下,考察了PX由等價(jià)關(guān)系E確定的保等價(jià)關(guān)系的子半群

PE(X)={f∈PX:?x,y∈domf,(x,y)∈

E?(f(x),f(y))∈E}

的正則性及任意元素間的格林關(guān)系.文獻(xiàn)[7]刻畫了半群PE(X)的變種半群PE(X;θ)的正則元,給出了半群PE(X;θ)為正則半群的充要條件.文獻(xiàn)[8]刻畫了半群PE(X;θ)上任意元素間的格林關(guān)系.設(shè)X是非空集合,TX是X上的完全變換半群,對(duì)于X上的非平凡等價(jià)關(guān)系E,文獻(xiàn)[9]考察了保等價(jià)關(guān)系變換半群

TE(X)={f∈TX:(x,y)∈E?(f(x),f(y))∈E}

的變種半群TE(X;θ)上的自然偏序關(guān)系.給出了半群TE(X;θ)上偏序關(guān)系的定義,考察了半群中兩個(gè)元素何時(shí)存在此偏序關(guān)系,并探討了關(guān)于此偏序關(guān)系相容的元素.

下文中未說明的概念與符號(hào)請(qǐng)參考文獻(xiàn)[10—12].

1 正則性

E(PTn(A;θ))表示半群PTn(A;θ)中冪等元做成的集合.

定義1[1]設(shè)S是半群,對(duì)于S中每個(gè)元素a,若存在元素b∈S,使得aba=a,則稱a是S的正則元.若S中每個(gè)元素都是正則元,則稱S是正則半群.

定義2[13]設(shè)f∈PX和x∈imf,集合{y∈domf:(y)f=x}記為(x)f-1.

定義3[13]設(shè)f∈PX,集合{(x)f-1:x∈imf}記為π(f).

引理1[4]半群PTn(A)是正則半群的充要條件為|A|=1或A=Xn.

引理2[4]半群PTn(A)中所有正則元組成的集合RPTn(A)={α∈PTn(A):imα=((Dα(A))α}為半群PTn(A)的右理想(其中Dα(A)=A∩domα).

定理1設(shè)f∈PTn(A;θ),則f∈E(PTn(A;θ))當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)y∈imf?A,有yθ∈(y)f-1.

證明必要性.任取y∈imf?A,則存在x∈domf,使得y=(x)f.因?yàn)閒是冪等元,所以y=(x)f=(x)f°f=(x)fθf=(yθ)f.從而yθ∈(y)f-1.

充分性.任取y∈imf?A,則存在x∈domf,使得y=(x)f.因?yàn)閥θ∈(y)f-1,所以y=(yθ)f,從而有(x)f=y=(yθ)f=((x)f)θf=(x)f°f,即f=f°f,從而f是冪等元.

定理2設(shè)f∈PTn(A;θ),則f∈R(PTn(A;θ))當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)y∈imf有(y)f-1∩Aθ≠?且(θ|imf是單射(其中R(PTn(A;θ))表示PTn(A;θ)中所有正則元構(gòu)成的集合).

證明必要性.任取y∈imf?A,則存在x∈domf,使得y=(x)f.因?yàn)閒∈R(PTn(A;θ)),所以存在g∈PTn(A;θ),使得f=f°g°f,這樣

y=(x)f=(x)f°g°f=(xfθg)θf,

從而(xfθg)θ∈(y)f-1,顯然(xfθg)θ∈Aθ,從而(y)f-1∩Aθ≠?.

任取y1,y2∈imf且y1≠y2,則存在x1,x2∈domf,使得y1=(x1)f,y2=(x2)f.若y1θ=y2θ,則

y1=(x1)f=(x1)f°g°f=

(x1)fθgθf=(y1θ)gθf=(y2θ)gθf=

(x2)fθgθf=(x2)f=y2.

這與y1≠y2矛盾,從而(θ|imf是單射.

充分性.記imf={y1,y2,…,yt}.因?yàn)閷?duì)每個(gè)yi∈imf,有(yi)f-1∩Aθ≠?,所以存在a∈A,使得aθ∈(yi)f-1.取定ai∈{a∈A,aθ∈(yi)f-1}.定義g如下:domg=A.對(duì)任意a∈A,若a=yiθ,i=1,2,…,t-1,則令(a)g=ai.否則,令(a)g=at.因?yàn)?θ|imf是單射,所以g是良定義的.對(duì)任意x∈domf,存在yi∈imf,使得(x)f=yi,則有

(x)f°g°f=(x)fθgθf=

(yiθ)gθf=(aiθ)f=yi=(x)f,

即f=f°g°f,從而f是正則元.

定理3半群PTn(A;θ)是正則半群當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立:

(ⅰ)θ|A:A→Aθ為雙射;

(ⅱ)A=Xn或|A|=1.

證明必要性.任取f∈PTn(A;θ).由半群PTn(A;θ)是正則半群知,存在g∈PTn(A;θ),使得f=f°g°f=f(θgθ)f,從而f是PTn(A)中的正則元,故PTn(A)是正則半群,由引理1知條件(ⅱ)成立.1A∈PTn(A;θ)且是正則元,根據(jù)定理2知(θ|A是單射,顯然是滿射,從而(θ|A是雙射.

充分性.若|A|=1,則對(duì)任意f∈PTn(A;θ),f是冪等元,顯然是正則元.

2 格林關(guān)系

定義4[14]設(shè)A,B是X的兩個(gè)子集簇.若對(duì)每個(gè)A′∈A,都存在B′∈B,使得A′?B′,則稱A是B的細(xì)化.

引理3[3]設(shè)S為半群,a,b∈S,則

(ⅰ)aLb當(dāng)且僅當(dāng)存在x,y∈S1,使得a=xb,b=ya,

(ⅱ)aRb當(dāng)且僅當(dāng)存在x,y∈S1,使得a=bx,b=ay,

(ⅲ)aJb當(dāng)且僅當(dāng)存在x,y,u,v∈S1,使得a=xby,b=uav,

(ⅳ)H=L∩R,D=L°R.

定理4設(shè)f,g∈PTn(A;θ),則(f,g)∈L當(dāng)且僅當(dāng)f=g或

imf=(A∩domθg)θg=(A∩domθf)θf=img.

證明必要性.由(f,g)∈L知存在h,k∈PTn(A;θ),使得f=h°g=hθg,g=k°f=kθf.這樣

imf=imhθg?(A∩domθg)θg?

img=imkθf?(A∩domθf)θf?imf,

從而imf=(A∩domθg)θg=(A∩domθf)θf=img.

充分性.由imf=(A∩domθg)θg知,對(duì)任意y∈imf,存在x∈A∩domθg?A,使得y=(x)θg.取定xy∈{x∈A∩domθg:y=(x)θg}.構(gòu)造h如下:令domh=domf,對(duì)任意z∈domh,(z)h=x(z)f,顯然h∈PTn(A;θ)且對(duì)任意的z∈domh,(z)hθg=(x(z)f)θg=(z)f,即f=hθg=h°g.同理可構(gòu)造k∈PTn(A;θ),使得g=k°f,從而(f,g)∈L.

定理5設(shè)f∈PTn(A;θ),則(θ|imf是單射當(dāng)且僅當(dāng)π(f)=π(fθ).

證明必要性.任取y∈imfθ,則存在x1,x2∈(y)(fθ)-1?π(fθ),使得(x1)fθ=y=(x2)fθ.因?yàn)?θ|imf是單射,所以(x1)f=(x2)f,即存在z∈imf,使得x1,x2∈(z)f-1∈π(f),從而π(fθ)加細(xì)π(f).顯然π(f)加細(xì)π(fθ),故π(f)=π(fθ).

充分性.任取y1,y2∈imf且設(shè)y1≠y2,則存在x1,x2∈domf,使得y1=(x1)f,y2=(x2)f.若y1θ=y2θ,即(x1)fθ=(x2)fθ,則存在y∈imfθ,使得x1,x2∈(y)(fθ)-1?π(fθ)=π(f),故存在z∈imf,使得x1,x2∈(z)f-1,即y1=(x1)f=z=(x2)f=y2,這與y1≠y2矛盾,故(θ|imf是單射.

定理6設(shè)f,g∈PTn(A;θ),則(f,g)∈R當(dāng)且僅當(dāng)f=g或(θ|imf,(θ|img都是單射且π(f)=π(g).

證明必要性.由(f,g)∈R知存在h,k∈PTn(A;θ),使得f=g°h=gθh,g=f°k=fθk,這樣

domf=dom(gθh)=

(img∩dom(θh))g-1?domg=dom(fθk)=

(imf∩dom(θk))f-1?domf,

從而domf=domg.任取y∈imf?A,設(shè)x1,x2∈(y)f-1∈π(f),即(x1)f=y=(x2)f,這樣

(x1)g=(x1)fθk=(x2)fθk=(x2)g,

從而存在z∈img?A,使得x1,x2∈(z)g-1∈π(g),故π(f)是π(g)的細(xì)化.類似可證π(g)是π(f)的細(xì)化,從而有π(g)=π(f).

任取y1,y2∈imf?A且y1≠y2,則存在x1,x2∈domf=domg,使得y1=(x1)f,y2=(x2)f.若y1θ=y2θ,即(x1)fθ=(x2)fθ,這樣(x1)g=(x1)fθk=(x2)fθk=(x2)g,從而存在z∈img,使得x1,x2∈(z)g-1∈π(g)=π(f),故存在y0∈imf,使得x1,x2∈(y0)f-1,即y1=(x1)f=y0=(x2)f=y2,這與y1≠y2矛盾,從而y1θ≠y2θ,故(θ|imf是單射.類似可證(θ|img是單射.

充分性.(θ|imf,(θ|img都是單射且π(f)=π(g).需要構(gòu)造h,k∈PTn(A;θ),使得f=g°h,g=f°k.取定x0∈im(gθ)?A.定義h如下:令domh=A,

顯然h是良定義的且h∈PTn(A;θ).由

π(f)=π(g)可知domf=domg.

dom(g°h)=dom(gθh)=

(img∩dom(θh))g-1=

[img∩(imθ∩domh)θ-1]g-1=

[img∩(imθ)θ-1]g-1=domg=domf.

對(duì)任意x∈dom(gθh),

(x)g°h=(x)gθh=((x)gθ)h=

(((x)gθ)(gθ)-1)f=(x)f.

因此f=g°h.

類似可證存在k∈PTn(A;θ),使得g=f°k,從而有(f,g)∈R.

定理7設(shè)f,g∈PTn(A;θ),則(f,g)∈H當(dāng)且僅當(dāng)f=g或

imf=(A∩domθg)θg=

(A∩domθf)θf=img,

π(f)=π(g)且(θ|imf,(θ|img都是單射.

定理8設(shè)f,g∈PTn(A;θ),則(f,g)∈D當(dāng)且僅當(dāng)f=g或(θ|imf,(θ|img都是單射且

|imf|=|(A∩domθg)θg|=

|(A∩domθf)θf|=|img|.

證明必要性.因?yàn)?f,g)∈D,則存在h∈PTn(A;θ),使得fLh,hRg.由fLh知

imf=(A∩domθh)θh=(A∩domθf)θf=imh.再由hRg知(θ|imh,(θ|img都是單射且π(g)=π(h).因?yàn)閕mf=imh,所以(θ|imf也是單射.根據(jù)π(g)=π(h)與imf=(A∩domθh)θh知|imf|=|img|=|(A∩domθg)θg|,從而有

|imf|=|(A∩domθf)θf|=

|(A∩domθg)θg|=|img|.

|imf|=|(A∩domθf)θf|=

|(A∩domθg)θg|=|img|=

|imh|=|(A∩domθh)θh|

得imf=(A∩domθf)θf=(A∩domθh)θh=imh,從而fLh,綜上知(f,g)∈D.

定理9設(shè)f,g∈PTn(A;θ),若對(duì)某個(gè)h∈PTn(A;θ),k∈PTn(A;θ)1,有f=h°g°k,則|imf|≤|(A∩domθg)θg|.

證明已知f=h°g°k,其中h∈PTn(A;θ),k∈PTn(A;θ)1.若k=1,則f=h°g,imf=im(h°g)=im(hθg)?(A∩domθg)θg,從而有|imf|=|im(h°g)|≤|(A∩domθg)θg|.若k∈PTn(A;θ),則

|imf|=|im(h°g°f)|≤

|im(h°g)|≤|(A∩domθg)θg|.

綜上可知,若f=h°g°k,其中h∈PTn(A;θ),k∈PTn(A;θ)1,則一定有

|imf|≤|(A∩domθg)θg|.

定理10設(shè)f,g∈PTn(A;θ)且f≠g,則(f,g)∈J當(dāng)且僅當(dāng)π(f)=π(g)且(θ|imf,(θ|img都是單射或

|imf|=|(A∩domθf)θf|=

|(A∩domθg)θg|=|img|.

證明必要性.設(shè)fJg,則存在h,k,h′,k′∈PTn(A;θ)1,使f=h°g°k,g=h′°f°k′.若h=1=h′,則f=g°k,g=f°k′,從而fRg,故π(f)=π(g)且(θ|imf,(θ|img都是單射.

若h∈PTn(A;θ)或h′∈PTn(A;θ),則一定可找到s,s′∈PTn(A;θ),t,t′∈PTn(A;θ)1,使得f=s°g°t,g=s′°f°t′.不妨以h=1且h′∈PTn(A;θ)為例,當(dāng)h=1時(shí),f=g°k,g=h′°f°k′,從而f=g°k=h′°f°k′°k=h′°g°k°k′°k=h′°g°(k°k′°k),由定理9得

|(A∩domθg)θg|≥|imf|≥

|(A∩domθf)θf|≥|img|≥

|(A∩domθg)θg|,

從而有

|imf|=|(A∩domθf)θf|=

|(A∩domθg)θg|=|img|.

充分性.π(f)=π(g)且(θ|imf,(θ|img都是單射,fRg,從而fJg.若

|imf|=|(A∩domθf)θf|=

|(A∩domθg)θg|=|img|,

則定義γ,λ如下:令π(f)=π(γ),

imγ=(A∩domθg)θg?img,π(λ)=π(g),

imλ=(A∩domθf)θf?imf,

類似可證存在f′∈PTn(A;θ),使得λ=f′°f,從而f=g′°g°γ′,g=f′°f°λ′,故fJg.