無窮級數(shù)求和教學中思政案例設計

羅 琳

(上海第二工業(yè)大學 文理學部,上海201209)

0 引言

高等數(shù)學是大學數(shù)學的核心課程, 是許多專業(yè)后續(xù)課程的重要學習基礎,也是許多專業(yè)技術的重要知識工具[1]。學習高等數(shù)學如何在人才培養(yǎng)質量的提升中發(fā)揮積極作用是高校數(shù)學工作者需要研究和實踐的問題。隨著教育改革不斷深入, 許多數(shù)學工作者正在探討教學改革的有效措施,如提出分層教學、引進數(shù)學軟件輔助教學、線上線下混合式教學等措施[2-7], 這些都在某種意義上豐富了高等數(shù)學的教學方法,大大滿足了大學生個性化學習需求。

黨的十八大以來,習近平總書記站在國家繁榮、民族振興、教育發(fā)展的戰(zhàn)略高度,多次就高校落實立德樹人根本任務做出重要指示并強調 “要把立德樹人內化到大學建設和管理各領域、各方面、各環(huán)節(jié),做到以樹人為核心,以立德為根本” 。近日,教育部在《高等學校課程思政建設指導綱要》中指出,全面推進高校課程思政建設是深入貫徹習近平總書記關于教育的重要論述和全國教育大會精神、落實立德樹人根本任務的戰(zhàn)略舉措,高校要深化教育教學改革,充分挖掘各類課程思想政治資源,發(fā)揮好每門課程的育人作用,全面提高人才培養(yǎng)質量。

高等數(shù)學作為大一新生的核心課程,有責任率先履行好立德樹人的根本任務,將思政教育引入到課堂教學中,不知不覺培養(yǎng)學生社會主義核心價值觀, 正如習總書記說的 “扣好人生第一?？圩印?。為此,高等數(shù)學課堂教學中恰當引入思政元素,潛移默化培養(yǎng)學生以樹人為核心, 以立德為根本, 把個人價值和社會責任結合起來,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和使命擔當。近年來, 一些學者正在開展這方面的研究工作,探討課程思政在人才培養(yǎng)中的示范引領作用[8-11]。如姜愛國等[9]通過引入思政元素提高課堂教學的感染力,發(fā)揮育人功能。俞能福等[10]提出挖掘高等數(shù)學文化內涵,踐行課程思政,培養(yǎng)學生的科學精神和使命感。褚小婧[11]提出選擇合適的數(shù)學教學內容以恰當?shù)姆绞匠尸F(xiàn)課程思政,以達到立德樹人的目的。本文以高等數(shù)學中無窮級數(shù)求和作為教學案例,探討如何根據(jù)教學內容恰當引入思政元素,在教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和使命擔當,發(fā)揮課堂教學這一主渠道的作用。

1 無窮級數(shù)求和知識內容

無窮級數(shù)是高等數(shù)學課程的一個重要的知識點, 它是表示函數(shù)、研究函數(shù)以及數(shù)值計算的一種有效工具。歷史上, 無窮級數(shù)的求和問題曾經(jīng)困擾數(shù)學家長達幾個世紀。有時一個無窮級數(shù)的和是一個數(shù)、一個函數(shù)、一個無窮大; 有時一個無窮級數(shù)的和沒有確定的結果。19 世紀上半葉, 法國數(shù)學家柯西建立了嚴密的無窮級數(shù)理論, 使得無窮級數(shù)成為一個強有力的數(shù)學工具。例如,能把許多可微函數(shù)表示成無窮多項式, 如:sinx=-∞ ＜ x ＜+∞;ln(1 +x) =-1＜x≤1。并在誤差范圍內把它截斷成有限多項式,這些無窮多項式不僅提供了可微函數(shù)的有效多項式逼近,而且有許多實際應用。

如果一個無窮級數(shù)是收斂的,那么級數(shù)求和的思想,體現(xiàn)的是從無窮到有限的過程。在教學過程中,首先要從直觀上指導學生明白: 研究無窮級數(shù)貌似復雜(因為有無窮項相加), 但實際上是希望將無窮個函數(shù)的和或者無窮個數(shù)的和通過一個具體的函數(shù)或者數(shù)去表達。當然這一過程要求這個無窮級數(shù)滿足某些條件或者數(shù)學上具備某些性質才行。無窮級數(shù)和的概念如下:

從這個定義不難看出,如果無窮級數(shù)的部分和數(shù)列收斂, 那么這個無窮級數(shù)的和就一定存在。在計算一個無窮級數(shù)的和時可以直接應用這一定義求解。但能夠直接應用定義求解的問題畢竟不多, 尤其是當級數(shù)通項稍微復雜的時候,更是需要我們利用級數(shù)的相關性質來解決,如冪級數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、逐項積分、逐項求導等性質。

2 數(shù)項級數(shù)求和思政元素切入

問題1計算下列級數(shù)的和。

解題過程:

(1)直接法。由于

所以

(2)間接法。由于

(3)間接法。根據(jù)上題的啟發(fā),有:

思政元素切入:

第(1)題采用直接法,即直接利用級數(shù)收斂的定義求和。而第(2)、(3)題采用間接法,也就是利用了指數(shù)函數(shù)的泰勒展開式進行間接求和。兩種解法充分體現(xiàn)了直接法與間接法間相輔相成、相得益彰的美好效果,從而指導學生在工作和生活中也要做到發(fā)揮所長、相互配合、相互補臺,才能彼此促進、彼此成就。例如, 在大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新的偉大浪潮中, 許多大學生畢業(yè)后希望自己創(chuàng)業(yè)。但一個創(chuàng)業(yè)公司,想要快速成長起來,需要學會利用已有的技術和平臺, 解決自身企業(yè)產品的難題。眾所周知的小米科技公司成立于2010年,至今已走過10年創(chuàng)業(yè)之路,從最初10 人左右的小公司到如今世界知名的全球化移動互聯(lián)網(wǎng)企業(yè)。正如公司CEO 雷軍在小米10 周年慶典上的分享:在公司起步階段,沒有自己的手機做研發(fā),就先在別人家的手機上做;操作系統(tǒng)復雜,先找一套開源系統(tǒng),在開源系統(tǒng)的基礎上研發(fā)。正是利用了這些已有的技術平臺, 才有了小米公司從零開始乘風破浪、碩果累累的十年。通過這樣具體的實例引導學生學會不怕困難、解決困難的方法,培養(yǎng)他們的創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)精神。

3 函數(shù)項級數(shù)求和思政元素切入

問題2求下列級數(shù)的和。

解題過程:

(1)收斂域為-1 ≤x≤1。

設s(x) =, 則s(0) = 0, 且x·s(x)=。

則當0＜|x|＜1 時,兩邊求導2 次得：[x·s(x)]′=?[x·s(x)]′′=

兩邊積分2 次得:x·s(x)=x+(1-x)ln(1-x)。所以

由于冪級數(shù)在x=±1 處收斂,那么其和函數(shù)分別在x= 1,x=-1 處分別左、右連續(xù),即=1。因此其和函數(shù)為:

該結論可應用于問題1 中的第(1)題(只要選擇x=1 即可)。

(2)收斂域為-1＜x ＜1。

設s(x)=(n+1)2xn,則兩邊積分得

兩邊求導,即得所求和函數(shù)為:s(x) =(-1＜x ＜1)。

(3)收斂域為-∞＜x ＜+∞。

設s(x)=,則兩邊積分得

兩邊求導, 即得所求和函數(shù)為:s(x) =-∞＜x ＜+∞。

該結論可應用于問題1 中的第(3)題(只要選擇x=1 即可)。

思政元素切入:

函數(shù)項級數(shù)求和本身是個困難的知識點。以上兩個小題均為函數(shù)項級數(shù)中冪級數(shù)求和的典型問題。從這兩問題的解答過程不難看出,求冪級數(shù)的和函數(shù)離不開求導和積分的步驟。第(1)題利用先求導再積分的過程來求解,第(2)、(3)題利用先積分再求導的過程來求解,其目的都是為了去掉多項式的系數(shù), 實現(xiàn)等比級數(shù)求和目標。從解決問題的步驟來看,無論是先求導再積分還是先積分再求導,都是為了實現(xiàn)算法變換的平衡。從這個問題的解法可以很自然地指導學生:科學計算需要平衡,生活需要平衡, 大自然更需要平衡。隨著現(xiàn)代社會的飛速發(fā)展,人類獲得了很好的物質享受,但往往忽視了自然界的平衡。如:熱帶雨林遭受破壞、戶外動物被肆意獵殺等, 這些行為都是破壞大自然平衡的現(xiàn)象。這次新冠肺炎疫情也是人類破壞大自然平衡所遭受的慘痛教訓。通過這些實際事例, 指導學生充分認識到大自然就是人類賴以生存的家園,我們需要維護這個家園的平衡,以健康的方式共建和諧美好平衡的自然環(huán)境。這一思政元素引入的過程, 不僅訓練了學生的科學思維,也進行了科學倫理的教育,從而培養(yǎng)了學生探索未知、追求真理、勇攀科學高峰的責任感和使命感。

4 結語

級數(shù)求和是高等數(shù)學的一個重要知識,教師在教學過程中通過精心設計,根據(jù)教學內容非常自然地在講解知識的過程中引進課程思政,既傳授了級數(shù)求和的科學知識,也通過思政元素的切入,潤物細無聲地引導學生培養(yǎng)立德樹人的思想。正如前文在問題1 的講解過程中通過解題方法,教會學生如何有效利用直接法或間接法去解決問題,在問題2 的解答過程中指導學生如何在計算過程中實現(xiàn)變換平衡的思想。這些思政元素的自然切入, 不僅豐富了課堂,提高了趣味性和快樂感,更重要的是培養(yǎng)了學生思考問題的方式、不怕苦難的信心、解決問題的方法以及創(chuàng)新能力的提升。而且從教學問題中拓展出來的實際事例潛移默化地培養(yǎng)了學生的使命感和擔當意識,從而培養(yǎng)學生愛國、愛家、愛環(huán)境的責任擔當。

習近平總書記在北京大學師生座談會上強調 “教育興則國家興、教育強則國家強。高等教育是一個國家發(fā)展水平和發(fā)展?jié)摿Φ闹匾獦酥尽?。作為教書育人的實踐者,讓我們不懈努力,開拓進取,在教學中履行立德樹人的根本任務,培養(yǎng)具有使命感和擔當精神的創(chuàng)新型人才,為中華民族偉大復興的燦爛前景奠定堅實基礎。