基于主瓣保形的低旁瓣MIMO雷達(dá)發(fā)射方向圖優(yōu)化設(shè)計方法

黃俊生

（中國電子科技集團公司第二十研究所，西安 710068）

0 引言

多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）雷達(dá)是近幾年來研究比較多的一種新體制雷達(dá)，一經(jīng)提出便讓眾多學(xué)者為之著迷和振奮[1-5]。根據(jù)雷達(dá)天線位置分布方式的不同，MIMO 雷達(dá)可以劃分為集中式MIMO 雷達(dá)[6-7]和分布式MIMO 雷達(dá)[8-9]兩大類。對于分布式MIMO 雷達(dá)而言，其收發(fā)天線之間的間距相對較大，由于每根天線對目標(biāo)有著不同的觀測視角，因此可以有效地克服目標(biāo)閃爍效應(yīng)所帶來的影響，進而提高雷達(dá)系統(tǒng)對目標(biāo)的檢測以及跟蹤能力。對于集中式MIMO 雷達(dá)而言，其收發(fā)天線之間的間距相對較小，并且天線的分布方式與相控陣?yán)走_(dá)的天線分布方式很相似。但是相比于相控陣?yán)走_(dá)，集中式MIMO 雷達(dá)能夠獲得較高的角度估計精度[10]、較好的參數(shù)識別能力[11]以及較強的雜波抑制能力[12]等。此外，由于集中式MIMO雷達(dá)的每根發(fā)射天線所發(fā)射的波形不但可以是正交的，而且也可以是部分相關(guān)的，因此集中式MIMO 雷達(dá)的發(fā)射波形協(xié)方差矩陣的秩將大于等于1，使其擁有更多的發(fā)射自由度，從而可以通過對發(fā)射波形協(xié)方差矩陣進行優(yōu)化設(shè)計來靈活地綜合出各種滿足實際需求的發(fā)射方向圖，以提升雷達(dá)系統(tǒng)在雜波抑制、抗干擾以及多目標(biāo)跟蹤等方面的性能。本文將主要對集中式MIMO 雷達(dá)（以下簡稱MIMO 雷達(dá)）的發(fā)射方向圖優(yōu)化設(shè)計方法進行研究。

對于MIMO 雷達(dá)，發(fā)射寬波束可以在不進行掃描的情況下實現(xiàn)大范圍空域的監(jiān)視，能夠獲得更多的目標(biāo)信息，有助于實現(xiàn)多目標(biāo)的檢測或者跟蹤[13]。因此，在目標(biāo)檢測或者跟蹤過程中，加寬發(fā)射方向圖的3 dB 主瓣寬度可以有效地提高MIMO 雷達(dá)系統(tǒng)的性能。此外，在發(fā)射方向圖設(shè)計過程中，低旁瓣水平是一個非常重要的性能指標(biāo)[14]。降低發(fā)射方向圖的旁瓣水平不但可以將雷達(dá)系統(tǒng)的發(fā)射能量集中在主瓣區(qū)域，以提高雷達(dá)系統(tǒng)對目標(biāo)的檢測概率以及跟蹤精度，而且可以降低來自旁瓣區(qū)域中的雜波信號和虛假目標(biāo)信號的能量。

文獻[15]提出了一種基于MIMO 雷達(dá)的低旁瓣發(fā)射方向圖優(yōu)化設(shè)計方法，其在各個天線的發(fā)射能量相同等約束條件下，以最大化主瓣指向功率和旁瓣峰值功率的差異為準(zhǔn)則構(gòu)造優(yōu)化模型來對發(fā)射波形協(xié)方差矩陣進行優(yōu)化設(shè)計。雖然利用該方法綜合得到的發(fā)射方向圖具有較低的旁瓣水平，但是該方法對3 dB 主瓣寬度的選取較為敏感。如果選取的3 dB 主瓣較寬，那么綜合得到的發(fā)射方向圖就會出現(xiàn)主瓣分裂的現(xiàn)象，進而影響雷達(dá)系統(tǒng)對目標(biāo)的檢測以及跟蹤性能。由于降低發(fā)射方向圖的峰值旁瓣水平可以有效地降低在電子對抗過程中被敵方所截獲的或者被反輻射導(dǎo)彈所接收的信號能量，以及降低發(fā)射方向圖的積分旁瓣水平可以有效地抑制旁瓣區(qū)域中的雜波信號和假目標(biāo)干擾信號，因此，為了進一步提高雷達(dá)系統(tǒng)的性能，基于最小化峰值旁瓣水平/積分旁瓣水平的MIMO 雷達(dá)發(fā)射方向圖優(yōu)化設(shè)計方法以及由它們所衍生出來的方法被相繼提出[16-19]。然而，這些方法同樣對3 dB 主瓣寬度的選取較為敏感。因此，我們希望找到一種新的發(fā)射方向圖優(yōu)化設(shè)計方法，使綜合得到的發(fā)射方向圖不但具有較低的旁瓣水平，而且具有期望的主瓣形狀。

針對于此，為了有效地避免主瓣分裂現(xiàn)象并降低發(fā)射方向圖的峰值（積分）旁瓣水平，本文提出一種基于主瓣保形的低旁瓣MIMO 雷達(dá)發(fā)射方向圖優(yōu)化設(shè)計方法。首先，利用一組滿足共軛對稱性質(zhì)且相互之間不相關(guān)的基矩陣分別對發(fā)射波形協(xié)方差矩陣和更新矩陣進行線性表示。其次，通過約束主波束區(qū)域內(nèi)任意兩點之間的線段總是在主波束區(qū)域的內(nèi)部來有效地避免主瓣分裂現(xiàn)象，以及利用更新矩陣更新發(fā)射波形協(xié)方差矩陣的非對角線元素來有效地降低發(fā)射方向圖的旁瓣水平，并以最大化發(fā)射方向圖的峰值（積分）旁瓣功率與主瓣指向功率的比值和更新的發(fā)射方向圖的峰值（積分）旁瓣功率與主瓣指向功率的比值之和為準(zhǔn)則構(gòu)造優(yōu)化模型來同時對發(fā)射波形協(xié)方差矩陣和更新矩陣進行優(yōu)化設(shè)計。接下來，利用優(yōu)化得到的發(fā)射波形協(xié)方差矩陣和更新矩陣綜合出滿足實際需求的發(fā)射方向圖。最后，仿真實驗結(jié)果證實了本文所提方法的有效性。

1 MIMO 雷達(dá)發(fā)射信號模型

考慮一個如圖1所示的MIMO 雷達(dá)系統(tǒng)，其為包含M個天線陣元的均勻線陣（Uniform Linear Array，ULA），且陣元之間的間距為d。假設(shè)第m個發(fā)射陣元所發(fā)射的離散時間基帶波形為sm，且sm∈C1×L，其中，L為發(fā)射波形的長度，則所有發(fā)射陣元發(fā)射的波形到達(dá)空間角度為θ處的遠(yuǎn)場信號可以表示為：

圖1 MIMO 雷達(dá)發(fā)射陣列結(jié)構(gòu)

式中，（·）H為取共軛操作。

式（2）為發(fā)射波形矩陣，發(fā)射導(dǎo)向矢量a(θ) 可以表示為：

式中，（·）T為取轉(zhuǎn)置操作，λ為雷達(dá)系統(tǒng)的操作波長。

因此，空間角度θ處的信號功率可以進一步表示為：

式（5）為發(fā)射波形協(xié)方差矩陣。P（θ）即為MIMO 雷達(dá)的發(fā)射方向圖，可以根據(jù)不同的實際需求來進行優(yōu)化設(shè)計。

2 基于主瓣保形的低旁瓣MIMO 雷達(dá)發(fā)射方向圖優(yōu)化設(shè)計方法

當(dāng)發(fā)射天線陣列的結(jié)構(gòu)和數(shù)目固定時，發(fā)射方向圖固有的3 dB 主瓣寬度將被唯一確定。

其中，和為對應(yīng)于3 dB 主瓣寬度的3 dB角度。在目標(biāo)搜索或者跟蹤過程中，加寬發(fā)射方向圖的3 dB 主瓣寬度能夠有效地提高MIMO 雷達(dá)系統(tǒng)的性能，然而大多數(shù)現(xiàn)有的發(fā)射方向圖設(shè)計方法都對3 dB 主瓣寬度的選取很敏感。如果所選取的3 dB 主瓣寬度太寬于，則綜合得到的發(fā)射方向圖就會在3 dB角度和處產(chǎn)生兩個較深的零陷，造成主瓣分裂現(xiàn)象的產(chǎn)生，進而影響雷達(dá)系統(tǒng)對目標(biāo)的檢測或者跟蹤性能。盡管可以通過增加對3 dB角度和的約束來有效地避免主瓣分裂現(xiàn)象的產(chǎn)生，但是對應(yīng)于這兩個角度的增益值往往是很難確定的。此外，在發(fā)射方向圖設(shè)計過程中，低旁瓣水平同樣也是一個非常重要的指標(biāo)。因此，本文提出了一種基于主瓣保形的低旁瓣MIMO 雷達(dá)發(fā)射方向圖優(yōu)化設(shè)計方法，以有效地避免主瓣分裂現(xiàn)象的產(chǎn)生并降低發(fā)射方向圖的旁瓣水平。

2.1 基矩陣構(gòu)造

由于發(fā)射波形協(xié)方差矩陣R 具有共軛對稱性質(zhì)，也就是滿足 R =RH，因此可以利用一組相互之間不相關(guān)且滿足共軛對稱性質(zhì)的基矩陣來對發(fā)射波形協(xié)方差矩陣R 進行線性表示。同時，這些基矩陣可以分別表示為：

式中，r1是一個M維的單位矩陣，rmn用來表示基矩陣的第（m,n）個元素和第（n,m）個元素的值為1，且其它元素的值為0，gmn則用來表示基矩陣的第（m,n）個元素的值為j，第（n,m）個元素的值為-j，且其它元素的值為0，m= 2,3,…M，n= 1,2,…m。則發(fā)射波形協(xié)方差矩陣R 可以利用這些基矩陣線性表示為：

式中，r1是一個M維的單位矩陣，rmn用來表示基矩陣的第（m,n）個元素和第（n,m）個元素的值為1，且其它元素的值為0，gmn則用來表示基矩陣的第（m,n）個元素的值為j，第（n,m）個元素的值為-j，且其它元素的值為0，m= 2,3,…M，n= 1,2,…m。則發(fā)射波形協(xié)方差矩陣R 可以利用這些基矩陣線性表示為：

從式中能夠明顯地看出，可以通過優(yōu)化這些基矩陣的系數(shù)ζ、η 和γ 來代替直接對發(fā)射波形協(xié)方差矩陣R 進行優(yōu)化設(shè)計。

2.2 發(fā)射波形協(xié)方差矩陣優(yōu)化設(shè)計

由于發(fā)射方向圖的主瓣區(qū)域具有凸的形狀，因此可以通過確保發(fā)射方向圖主瓣區(qū)域內(nèi)任意兩點之間的線段總是在主瓣區(qū)域的內(nèi)部來有效地避免主瓣分裂現(xiàn)象的產(chǎn)生。由于發(fā)射波形協(xié)方差矩陣的對角線元素表示每根天線的發(fā)射能量，且這些對角線元素上的值在每根天線的發(fā)射能量相同的約束條件下是固定且相等的，因此可以利用一個對角線元素為0 且同樣具有共軛對稱性質(zhì)的更新矩陣來對發(fā)射波形協(xié)方差矩陣的非對角線元素上的值進行更新，以有效地降低發(fā)射方向圖的旁瓣水平。此外，如果想要降低在電子對抗中被敵方所截獲的或者被反輻射導(dǎo)彈所接收的信號能量，則可以通過構(gòu)造最小化發(fā)射方向圖的峰值旁瓣功率和主瓣指向功率的比值與更新的發(fā)射方向圖的峰值旁瓣功率和主瓣指向功率的比值之和的優(yōu)化模型來同時對發(fā)射波形協(xié)方差矩陣和更新矩陣進行優(yōu)化設(shè)計；如果想要有效地抑制旁瓣區(qū)域中的雜波信號和假目標(biāo)干擾信號，則可以通過構(gòu)造最小化發(fā)射方向圖的積分旁瓣功率和主瓣指向功率的比值與更新的發(fā)射方向圖的積分旁瓣功率和主瓣指向功率的比值之和的優(yōu)化模型來同時對發(fā)射波形協(xié)方差矩陣和更新矩陣進行優(yōu)化設(shè)計。在本文中，我們將以前者為例進行介紹，其相應(yīng)的優(yōu)化模型可以表示為：

式中，Up=aH（θp）Ra（θp）表示θp方向的功率，Ωm為發(fā)射方向圖的主瓣區(qū)域，Ωs為發(fā)射方向圖的旁瓣區(qū)域，θ0為主瓣指向方向，θ1和θ2為預(yù)設(shè)定的3 dB 角度，c為雷達(dá)系統(tǒng)總的發(fā)射能量，δ是一個非常小的值，0≤ρ≤ 1用來約束主瓣區(qū)域的形狀。第一行約束條件用來最小化發(fā)射方向圖的峰值旁瓣功率和主瓣指向功率的比值。第二行約束條件用來最小化更新的發(fā)射方向圖的峰值旁瓣功率和主瓣指向功率的比值。第三行約束條件用來表示發(fā)射波形協(xié)方差矩陣R 以及約束每個天線具有相同的發(fā)射能量。第四行約束條件則用來表示更新矩陣B以及更新矩陣的對角線元素全為0 且同樣具有共軛對稱性質(zhì)。第五行和第六行約束條件分別用來確保發(fā)射波形協(xié)方差矩陣和更新的發(fā)射波形協(xié)方差矩陣具有半正定性。第七行和第八行約束條件用來約束發(fā)射方向圖的3 dB 主瓣寬度。最后一行約束條件用來確保主瓣區(qū)域內(nèi)任意兩點之間的線段總是在主瓣區(qū)域的內(nèi)部。

由于第一行和第二行約束條件的存在，式（12）不是一個凸優(yōu)化問題，并不能直接利用現(xiàn)有的凸優(yōu)化工具包進行求解，為此，我們將分兩個步驟來對式（12）進行求解。第一步，將主瓣指向功率設(shè)置為1，則式（12）將轉(zhuǎn)化為最小化發(fā)射方向圖的峰值旁瓣功率與更新的發(fā)射方向圖的峰值旁瓣功率之和。同時，其相應(yīng)的優(yōu)化模型可以進一步表示為：

式中，約束條件 R =c/M T0+ ηTT1+γTT2被松弛為R =ωT0+ ηTT1+γTT2，也就是將每根天線的發(fā)射功率轉(zhuǎn)化成了一個待優(yōu)化變量。同時，式（13）是一個凸優(yōu)化問題，可以直接利用現(xiàn)有的凸優(yōu)化工具包進行求解，比如 CVX[20]，并得到最優(yōu)解為

在式（13）中，由于發(fā)射方向圖的主瓣指向功率被設(shè)置為1，因此其根本不滿足式（12）中雷達(dá)系統(tǒng)總的發(fā)射功率為c的約束條件。同時，由于式（12）中的第一行和第二行約束條件對發(fā)射波形協(xié)方差矩陣R 具有尺度不變性，因此，在第二步中，可以利用式（14）來獲得更新的發(fā)射波形協(xié)方差矩陣：

此外，上述所提出的發(fā)射波形協(xié)方差矩陣優(yōu)化設(shè)計方法同樣可以應(yīng)用到多波束的情況。具體來說，通過確保發(fā)射方向圖中每個主波束區(qū)域內(nèi)任意兩點之間的線段總是在該主波束區(qū)域的內(nèi)部來有效地避免主瓣分裂現(xiàn)象的產(chǎn)生，以及利用更新矩陣更新發(fā)射波形協(xié)方差矩陣的非對角線元素來有效地降低發(fā)射方向圖的旁瓣水平，并以最小化發(fā)射方向圖的峰值旁瓣功率和發(fā)射方向圖的最大功率的比值與更新的發(fā)射方向圖的峰值旁瓣功率和發(fā)射方向圖的最大功率的比值之和為準(zhǔn)則構(gòu)造優(yōu)化模型來同時對發(fā)射波形協(xié)方差矩陣和更新矩陣進行優(yōu)化設(shè)計。假設(shè)需要形成K個波束，則其相應(yīng)的優(yōu)化模型可以表示為：

式中，Ωmk為發(fā)射方向圖的第k個主波束區(qū)域，θ0k為第k個主波束的指向方向，θ1k和θ2k為對應(yīng)第k個主波束的預(yù)設(shè)定的3 dB 角度，k= 1,2, …,K。第一行約束條件用來最小化發(fā)射方向圖的峰值旁瓣功率和發(fā)射方向圖的最大功率的比值。第二行約束條件用來最小化修正的發(fā)射方向圖的峰值旁瓣功率和發(fā)射方向圖的最大功率的比值。第三行約束條件用來表示每個主波束指向方向的增益之比。第八行和第九行約束條件用來約束發(fā)射方向圖的第k個主波束的3 dB 主瓣寬度。最后一行約束條件則用來確保發(fā)射方向圖的第k個主波束區(qū)域內(nèi)任意兩點之間的線段總是在該主波束區(qū)域的內(nèi)部。此外，其余約束條件與式（12）中相應(yīng)的約束條件具有相同的含義。同時，該優(yōu)化問題同樣可以按照求解式（12）的方法進行求解。

3 仿真實驗

假設(shè)一個MIMO 雷達(dá)系統(tǒng)包含M=20 個發(fā)射天線陣元，且陣元之間的間距為半波長。整個雷達(dá)系統(tǒng)的發(fā)射能量為1，用于松弛3 dB 主瓣寬度的參數(shù)δ設(shè)置為0.1，且用來約束主瓣形狀的參數(shù)ρ設(shè)置為0.5。

為了證實本文方法的有效性，對最小化旁瓣發(fā)射方向圖設(shè)計方法、最小化峰值旁瓣發(fā)射方向圖設(shè)計方法以及最小化積分旁瓣發(fā)射方向圖設(shè)計方法也進行了相同的實驗。

3.1 較窄的3 dB 主瓣寬度

（1）單波束發(fā)射方向圖

在該實驗中，假設(shè)單波束發(fā)射方向圖的主瓣指向為θ0=0°，3 dB 角度為θ1=4-°和θ2=4°，旁瓣區(qū)域為Ωs=[-90 °,-8 °]∪[8 °,90 °]，圖2比較了利用上述所有方法綜合得到的發(fā)射方向圖。從圖2中可以看到，當(dāng) 3 dB 主瓣寬度較窄時，利用本文方法綜合得到的發(fā)射方向圖的主瓣形狀和其它方法的很相似。同時，在所有參與實驗的方法中，利用本文方法綜合得到的發(fā)射方向圖具有最低的峰值旁瓣水平或者積分旁瓣水平，從而證實了本文方法的有效性。

圖2 主瓣3 dB 寬度較窄時綜合得到的單波束發(fā)射方向圖

（2）多波束發(fā)射方向圖

當(dāng)需要同時形成多個波束對目標(biāo)信號進行檢測或跟蹤時。在此情況下，假設(shè)有三個波束，且指向分別為-40°、10°和50°，相應(yīng)的3 dB 角度依次為-44°、-36°、6°、14°、46°和 54°。旁瓣區(qū)域為Ωs=[-90°,-48°]∪[-32°,2°]∪[18°,42°]∪[58°,90°]。三個束波指向方向的增益比是1:1:1，圖3對比了利用本文方法和其它三種現(xiàn)有方法綜合得到的發(fā)射方向圖。從圖中可以看出，類似于單波束的發(fā)射方向圖，利用本文方法綜合得到的發(fā)射方向圖同樣也具有最低的峰值旁瓣水平或者積分旁瓣水平。

圖3 主瓣3 dB 寬度較窄時綜合得到的多波束發(fā)射方向圖

4.2 較寬的3 dB 主瓣寬度

由于在對目標(biāo)信號進行檢測或者跟蹤的過程中，加寬發(fā)射方向圖的3 dB 主瓣寬度能夠有效地提升雷達(dá)系統(tǒng)的整體性能，因此在以下的仿真實驗中，我們將驗證本文方法和其它現(xiàn)有方法在發(fā)射方向圖所需要的3 dB 主瓣寬度較寬時的性能。

（1）單波束發(fā)射方向圖

假設(shè)單波束發(fā)射方向圖的主瓣指向為θ0=0°，3 dB 角度為θ1=-8°和θ2=8°，旁瓣區(qū)域為Ωs=[-90°，-15°]∪[15°，90°]，圖4給出了利用上述所有方法在這種情況下綜合得到的發(fā)射方向圖。從圖4可以清晰地看到，利用其它現(xiàn)有方法綜合得到的發(fā)射方向圖的主瓣區(qū)域嚴(yán)重變形，而本文方法通過對主瓣形狀進行約束可以有效地確保綜合得到的發(fā)射方向圖具有期望的主瓣形狀。此外，利用本文方法綜合得到的發(fā)射方向圖同樣也具有較低的峰值旁瓣水平或者積分旁瓣水平，進而證實了本文方法的有效性。

圖4 主瓣3 dB 寬度較寬時綜合得到的單波束發(fā)射方向圖

（2）多波束發(fā)射方向圖

假設(shè)需要三個波束，每個波束需要的3 dB 主瓣寬度都寬于其固有的3 dB 主瓣寬度時，三個波束的指向分別為-40°、10°和50°，相應(yīng)的3 dB 角度為-48°、-32°、2°、18°、42° 和 58°，旁瓣區(qū)域為Ωs=[-90°,-56°]∪[-24°,6°]∪[26°,36°]∪[66°, 90°]。三個波束指向方向的增益比為1:1:1。在這種情況下，圖5對比了利用本文方法和其它三種現(xiàn)有方法綜合得到的發(fā)射方向圖。從圖中可以明顯地看出，相比于其它三種現(xiàn)有方法，本文方法通過約束每個主波束區(qū)域內(nèi)任意兩點之間的線段總是在該主波束區(qū)域的內(nèi)部可以有效地避免主瓣分裂現(xiàn)象的產(chǎn)生，有效地提高了雷達(dá)系統(tǒng)對目標(biāo)信號的檢測概率以及跟蹤精度。

圖5 主瓣3 dB 寬度較寬時綜合得到的多波束發(fā)射方向圖

5 結(jié)束語

為了有效地避免由較寬的3 dB 主瓣寬度所引起的主瓣分裂現(xiàn)象以及降低發(fā)射方向圖的旁瓣水平，本文提出了一種基于主瓣保形的低旁瓣MIMO雷達(dá)發(fā)射方向圖優(yōu)化設(shè)計方法。由于發(fā)射方向圖的主瓣區(qū)域具有凸的形狀，因此該方法通過確保主瓣區(qū)域內(nèi)任意兩點之間的線段總是在主瓣區(qū)域的內(nèi)部來有效地避免主瓣分裂現(xiàn)象。同時，由于在每個天線的發(fā)射能量相同的條件下發(fā)射波形協(xié)方差矩陣的對角線元素是固定且相等的，因此該方法利用一個對角線元素為0 的更新矩陣更新發(fā)射波形協(xié)方差矩陣的非對角線元素以有效地降低發(fā)射方向圖的旁瓣水平。仿真結(jié)果表明，利用該方法綜合得到的發(fā)射方向圖具有期望的主瓣形狀和較低的旁瓣水平，有效地提高了雷達(dá)系統(tǒng)對目標(biāo)信號的檢測概率以及跟蹤精度。