克里金算法在精密星歷插值中的應(yīng)用

晏新村，徐 良，周萬(wàn)里，李冬慶

（中國(guó)人民解放軍91650 部隊(duì)，廣州 510320）

0 引言

在高精度GNSS數(shù)據(jù)處理中，為了保證結(jié)果的可靠性和精確性，通常使用精密衛(wèi)星星歷進(jìn)行計(jì)算。由于實(shí)際作業(yè)時(shí)星歷時(shí)間間隔都大于觀測(cè)數(shù)據(jù)的采樣間隔，使用時(shí)需要對(duì)精密衛(wèi)星星歷進(jìn)行插值處理來(lái)滿足計(jì)算的需求，以得到觀測(cè)歷元時(shí)刻所需要的衛(wèi)星位置，提高精密單點(diǎn)定位的精度[1-4]。

常用的插值方法包括拉格朗日多項(xiàng)式插值法、內(nèi)維爾插值法、牛頓插值法等，在進(jìn)行插值時(shí)，為了達(dá)到較高的插值精度，插值時(shí)應(yīng)盡可能使內(nèi)插點(diǎn)位于插值弧段的中間，但是在實(shí)際的計(jì)算使用中，常需要兩端位置高精度的精密星歷，而隨著插值階數(shù)的增加，在靠近兩端位置很容易出現(xiàn)龍格現(xiàn)象[5-10]。針對(duì)這一問(wèn)題，本文在確保精密星歷插值精度的基礎(chǔ)上，提出利用克里金算法進(jìn)行精密星歷插值。

1 基于克里金算法的精密星歷插值

1.1 精密衛(wèi)星星歷

精密衛(wèi)星星歷是精密單點(diǎn)定位的基礎(chǔ)[11-12]。國(guó)際GNSS服務(wù)組織（IGS）生產(chǎn)的精密星歷的事后星歷精度優(yōu)于5 cm。IGS是一個(gè)國(guó)際協(xié)作組織，其開(kāi)放度也較高。因此，精密單點(diǎn)定位中通常采用IGS提供的精密星歷，給出15 min等時(shí)間間隔點(diǎn)上的衛(wèi)星坐標(biāo)數(shù)據(jù)，坐標(biāo)參考基準(zhǔn)屬于ITRF（國(guó)際地球參考框架）。表1為不同IGS精密星歷的精度指標(biāo)，它們?cè)诰取r(shí)延和更新方面是不同的。

表1 不同IGS精密星歷產(chǎn)品的精度指標(biāo)

1.2 基于克里金算法的精密星歷插值

克里金插值法也稱空間局部估計(jì)或空間局部插值，是由地質(zhì)學(xué)家克里金和統(tǒng)計(jì)學(xué)家西舍爾在20世紀(jì)50年代提出，并以法國(guó)科學(xué)家D.G.Krige的名字命名的一種空間自協(xié)方差最佳內(nèi)插法。該方法廣泛應(yīng)用于地質(zhì)礦產(chǎn)領(lǐng)域，是一種有效的統(tǒng)計(jì)分析方法[13]。

克里金插值算法利用區(qū)域化變量的原始數(shù)據(jù)和變異函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)未采樣點(diǎn)的區(qū)域化變量的值進(jìn)行最優(yōu)、線性和無(wú)偏估計(jì)。這種方法是在分析已測(cè)樣點(diǎn)的形狀、大小、空間位置的相互關(guān)系，已測(cè)樣點(diǎn)與待估樣點(diǎn)的空間位置關(guān)系，以及變異函數(shù)提供的結(jié)構(gòu)信息的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。它可最大限度地利用空間取樣所提供的各種信息，對(duì)待估點(diǎn)和已知點(diǎn)的位置關(guān)系，以及已知點(diǎn)之間的位置關(guān)系都進(jìn)行了考慮。精密星歷插值大多用于事后處理，不強(qiáng)調(diào)實(shí)時(shí)性，兩段位置的插值可用前后兩日的星歷進(jìn)行精確插值估計(jì)，研究的方法應(yīng)該在星歷預(yù)測(cè)或其他方面有意義，而克里金插值算法的特點(diǎn)正好可以提高精密星歷的預(yù)測(cè)精度[14-15]。

根據(jù)克里金插值算法的基本原理，基于克里金算法的精密星歷插值如下所示。

（1）首先，提取出需要插值的精密星歷數(shù)據(jù)，使提取的精密星歷數(shù)據(jù)是等間隔的。

（2）根據(jù)已知的精密星歷坐標(biāo)計(jì)算半變異函數(shù)值γ*（h）：

式中，h為滯后距，N（h）為距離為h的點(diǎn)對(duì)的個(gè)數(shù)，Z（xi,yi）和Z（x j,yj）分別為參考站點(diǎn)（xi,yi）和（x j,yj）處的插值數(shù)，對(duì)于不同的滯后距h，利用式（1）可以計(jì)算出相應(yīng)的半變異函數(shù)值γ*（h）。

（3）根據(jù)半變異函數(shù)值γ*（h）擬合理論變異函數(shù)模型中的系數(shù)，具體擬合方法可參考文獻(xiàn)[13-14]。

（4）根據(jù)擬合的理論變異函數(shù)模型構(gòu)建克里金方程組，計(jì)算參與插值的各點(diǎn)克里金插值權(quán)重。在式中，令：

則式（2）可寫(xiě)為：

式中，K，D中的γij為各點(diǎn)間的理論變異函數(shù)值。

（5）利用克里金算法求出待插值點(diǎn)的精密星歷數(shù)據(jù)：

2 計(jì)算分析

為了驗(yàn)證該方法的有效性和可行性，本文采用某日的精密星歷數(shù)據(jù)，通過(guò)提取出30 min 間隔的精密星歷數(shù)據(jù)，利用拉格朗日插值、內(nèi)維爾插值、牛頓插值和克里金插值四種方法將其插值成15 min間隔的星歷數(shù)據(jù)，再將插值結(jié)果與給出的真值數(shù)據(jù)比對(duì)，四種插值方法得到的插值誤差如圖1~圖4所示（圖中歷元間隔為30 min，歷元單位為個(gè)），對(duì)插值結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到結(jié)果如表2所示。

圖1 拉格朗日插值結(jié)果

由圖1~圖4和表2可以看出，采用克里金插值方法比拉格朗日插值、內(nèi)維爾插值、牛頓插值三種插值方法的插值精度更高，特別是能夠有效減弱精密星歷兩端的插值誤差，提高精密星歷的插值精度。

圖2 內(nèi)維爾插值結(jié)果

圖3 牛頓插值結(jié)果

圖4 克里金插值結(jié)果

表2 四種方法插值誤差統(tǒng)計(jì)/mm

通過(guò)比較分析拉格朗日插值、內(nèi)維爾插值、牛頓插值和克里金插值4 種精密星歷插值方法，可以得出如下結(jié)論：

（1）相比較拉格朗日插值，內(nèi)維爾插值、牛頓插值和克里金插值3 種方法可以有效地減弱和消除精密星歷兩端的插值誤差，提高精密星歷的插值精度，其中克里金插值的精度最高。

（2）相比較其它3 種插值方法，克里金插值不需要插值星歷前后一段時(shí)間的星歷，就能得到較高精度的精密星歷插值結(jié)果。

（3）克里金插值比拉格朗日插值、內(nèi)維爾插值和牛頓插值等精密星歷插值方法更加考慮了精密星歷的空間位置變化，因此克里金插值的結(jié)果更符合精密星歷實(shí)際，插值精度也更高。

3 結(jié)論

本文將克里金算法引入到精密星歷插值中，通過(guò)計(jì)算分析可知，克里金插值算法不僅考慮了精密星歷插值點(diǎn)與已知點(diǎn)的相對(duì)位置，而且還考慮了精密星歷各已知點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系，并且克里金模型具有無(wú)偏性、最優(yōu)性，在精密星歷兩端已知點(diǎn)少時(shí)插值精度比其它方法更好，能給出的精密星歷插值精度更高，也能提高精密星歷的預(yù)測(cè)精度，因此克里金插值算法能有效解決精密星歷兩端插值精度低的問(wèn)題，提高精密單點(diǎn)定位的精度。