全直線上四階方程的Laguerre-Laguerre復(fù)合譜逼近

蔡耀雄， 莊清渠

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州362021)

近三十年來，關(guān)于求解四階微分方程的譜方法的研究有很大進(jìn)展.Shen[1]采用Legendre-Galerkin譜方法求解二階和四階微分方程；Kwan等[2]考慮可分離橢圓型問題的并行譜元計(jì)算；Shen等[3]采用Legendre Petrov-Galerkin逼近法數(shù)值求解四階方程；文獻(xiàn)[4-5]分別研究一維和二維四階方程的譜元計(jì)算；莊清渠等[6]研究四階常微分方程的Birkhoff配點(diǎn)法；文獻(xiàn)[7-8]分別研究兩類四階積分微分方程的譜逼近；Chen[9]研究四階Cahn-Hilliard方程的Legendre-Galerkin譜逼近.上述文獻(xiàn)研究的是有界區(qū)域上的四階方程，對于無界區(qū)域上的四階方程也有一些研究工作.葉小華[10]研究一維半直線區(qū)域四階方程的Legendre-Laguerre復(fù)合譜方法；Zhuang等[11]研究一維半無界區(qū)域四階方程的Legendre-Laguerre耦合譜元計(jì)算；李敏等[12]研究半無界條狀區(qū)域四階方程的Laguerre-Legendre混合譜逼近；李珊等[13]研究半直線區(qū)域上四階橢圓型方程的有理Legendre函數(shù)全對角化譜方法；Yu等[14]研究全直線區(qū)域上的對角化Legendre有理譜方法.本文用Laguerre-Laguerre復(fù)合譜方法求解全直線上的四階方程，并與一類Hermite譜方法進(jìn)行對比，主要考慮方程的數(shù)值計(jì)算.

1 問題及復(fù)合逼近形式

記I:=(-∞,∞)，考慮如下的四階問題，即

(1)

d(u,v)=(f,v), ?v∈V,

(2)

式(2)中：d(u,v):=λ2(u,v)+λ1(ux,vx)+(uxx,vxx),?u,v∈V.

對問題(2)，用Laguerre-Laguerre復(fù)合譜方法進(jìn)行求解.首先，將(-∞,∞)剖分成I1=(-∞,0)，I2=(0,∞)兩部分.然后，在兩個(gè)區(qū)間上分別采用Laguerre譜方法進(jìn)行逼近.

記uI1:=u|I1，uI2:=u|I2，N=(N1,N2) ，令PN(Ω) 為Ω上次數(shù)不超過N的全體多項(xiàng)式組成的空間，并記

(3)

(4)

則問題(1)的Laguerre-Laguerre復(fù)合逼近形式如下：找uN∈VN，使得

d(uN,vN)=(f,vN), ?vN∈VN.

(5)

2 計(jì)算實(shí)施

Laguerre多項(xiàng)式Lm的基本性質(zhì)[15]如下，即

(6)

(7)

令

(8)

(9)

(10)

(11)

類似于文獻(xiàn)[11,16]求解高階方程的過程，Laguerre-Laguerre復(fù)合逼近問題(5)所對應(yīng)的線性系統(tǒng)可通過如下3個(gè)步驟進(jìn)行求解.

(12)

(13)

(14)

3) 結(jié)合.由式(13)，(14)可知，對任意的vN∈VN，有

(15)

因此，問題(5)的解為

(16)

問題(5)分解成了兩個(gè)相對獨(dú)立的子問題，子問題(12)和(13)分別由九對角問題和五對角問題組成，因而容易進(jìn)行求解.

(λ2C+λ1B+A)U2=F2.

(17)

由Laguerre函數(shù)的正交性可得

由此可知，矩陣都是對稱的，且最多是五對角陣，因而式(17)可以有效地求解.子問題(13)在I1上的代數(shù)方程組與其在I2上的代數(shù)方程組類似.

子問題(12)對應(yīng)的代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣與子問題(13)相同.子問題(12)對應(yīng)的代數(shù)方程組的右端項(xiàng)可通過對φ1(x),φ2(x)進(jìn)行求導(dǎo)，有

又因?yàn)?/p>

從而在區(qū)間I1上,有

以及

而在區(qū)間I2上,有

以及

因此,可得子問題(12)對應(yīng)代數(shù)方程組的右端項(xiàng).

對于子問題(14)，由于

圖1 最大誤差隨的變化情況Fig.1 Maximum errors change with

3 數(shù)值算例

算例1在問題(1)中,固定λ1=λ2=1，取精確解為

u(x)=sin(x)e-σx2.

其次,當(dāng)σ=0.01和σ=0.02時(shí)，分別利用Laguerre-Laguerre復(fù)合譜方法及Hermite譜方法進(jìn)行計(jì)算,得到的最大誤差,如表1所示.由表1可知：當(dāng)σ比較小時(shí)，用Laguerre-Laguerre復(fù)合譜方法進(jìn)行逼近的誤差比用Hermite譜方法進(jìn)行逼近的誤差要小得多.因此,Laguerre-Laguerre復(fù)合譜方法逼近更具優(yōu)越性.

表1 兩種方法在u(x)=sin(x)e-σx2時(shí)的最大誤差Tab.1 Maximum errors by two ways for u(x)=sin(x)e-σx2

表2 兩種方法在時(shí)的最大誤差Tab.2 Maximum errors by two ways for

4 結(jié)束語

將全直線區(qū)域剖分為兩部分，進(jìn)而構(gòu)造了求解全直線上四階方程的Laguerre-Laguerre復(fù)合譜方法.數(shù)值結(jié)果表明,復(fù)合方法具有譜收斂性.同時(shí)，通過與純Hermite譜方法的比較可以看出，復(fù)合譜方法對求解具有衰減緩慢解析解的問題具有優(yōu)越性.