數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案引導(dǎo)問題的類型及其設(shè)計(jì)*

程新展

摘? ?要? ?數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，具有較強(qiáng)生命力，實(shí)踐中也突顯出一些困境。導(dǎo)學(xué)案的內(nèi)容主要應(yīng)是引導(dǎo)學(xué)生思維的問題和提示語(yǔ)，從基于教學(xué)內(nèi)容處理的著力點(diǎn)、學(xué)生學(xué)習(xí)心理狀態(tài)和教學(xué)進(jìn)程具體情況三種類型中選擇和設(shè)計(jì)引導(dǎo)問題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，是學(xué)案導(dǎo)學(xué)保持旺盛生命力的正確方向。

關(guān)鍵詞? 學(xué)案導(dǎo)學(xué) 引導(dǎo)問題 數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案

隨著課改的不斷深入，不少學(xué)校推行了以學(xué)案導(dǎo)學(xué)為載體的教學(xué)改革，這場(chǎng)由下至上的探索，關(guān)注了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，具有較強(qiáng)的生命力，在國(guó)內(nèi)很快推開。導(dǎo)學(xué)案，即引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的方案。對(duì)此，章建躍先生明確指出：“編制導(dǎo)學(xué)案要把握的核心是提好問題，這里的‘導(dǎo)主要體現(xiàn)在思維的引導(dǎo)上，應(yīng)采用問題（提示語(yǔ)）引導(dǎo)思維的方式，以‘學(xué)習(xí)任務(wù)單的形式呈現(xiàn)?！币虼?，導(dǎo)學(xué)案的內(nèi)容主要包括兩個(gè)方面：一是能促進(jìn)數(shù)學(xué)原理發(fā)現(xiàn)、概念建構(gòu)、問題解決，有效啟發(fā)和促進(jìn)學(xué)生思考的數(shù)學(xué)思維問題;二是對(duì)容易疏漏方面或重難點(diǎn)的提示語(yǔ)[1]。好問題不僅要揭示數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)，激活思維、激發(fā)求知欲，使學(xué)生保持積極、適度的求知傾向，還要給學(xué)生以提問的示范，培養(yǎng)問題意識(shí)，孕育創(chuàng)新精神。因此，編制導(dǎo)學(xué)案時(shí)，教師要通曉核心教學(xué)內(nèi)容的構(gòu)成要素及其之間的邏輯關(guān)系，從明晰教學(xué)內(nèi)容處理的著力點(diǎn)、分析學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的心理狀態(tài)和預(yù)設(shè)教學(xué)進(jìn)程中學(xué)生可能出現(xiàn)的具體情況三種類型中，合理地選擇和設(shè)計(jì)引導(dǎo)問題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，是學(xué)案導(dǎo)學(xué)保持旺盛生命力的正確方向。

一、基于教學(xué)內(nèi)容處理著力點(diǎn)的引導(dǎo)問題

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)用心捕促并著力于知識(shí)內(nèi)容在發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中起核心作用的“發(fā)生點(diǎn)”，并努力將其做深做透。基于教學(xué)內(nèi)容處理著力點(diǎn)的引導(dǎo)問題，能引發(fā)學(xué)生的深度思考，增強(qiáng)學(xué)生的探究意識(shí)，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想和推理等理性思維的基本過(guò)程，獲得對(duì)知識(shí)的正確理解，切實(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。

1.設(shè)在教材關(guān)鍵點(diǎn)的問題

教材的關(guān)鍵點(diǎn)突出反映了學(xué)生在新知學(xué)習(xí)過(guò)程中認(rèn)知上的矛盾，體現(xiàn)了教材新舊內(nèi)容的銜接與聯(lián)系，展示了學(xué)生由感知向理解的認(rèn)知過(guò)程，設(shè)在教材關(guān)鍵點(diǎn)的引導(dǎo)問題，能很好促進(jìn)學(xué)生把握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。

如反比例函數(shù)圖像性質(zhì)的教學(xué)，以往的研究經(jīng)驗(yàn)都是先作圖，然后再利用圖像得出性質(zhì)。因?yàn)榉幢壤瘮?shù)圖像的趨勢(shì)、對(duì)稱性等的不明確性，致使作圖較難。因此，本課的教學(xué)既要體現(xiàn)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，又要注意利用函數(shù)的特性，“以數(shù)想形”“由形助數(shù)”，通過(guò)適當(dāng)?shù)膯栴}激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

（1）畫函數(shù)圖像的一般步驟是什么？

（2）一次函數(shù)的圖像是如何畫的？反比例函數(shù)的圖像也可以這樣畫嗎？為什么？

（3）結(jié)合y=■自變量x和函數(shù)y的特征，你認(rèn)為列表時(shí)自變量x如何取值才合理美觀？

（4）自變量x≠0說(shuō)明函數(shù)圖像有什么特征？

（5）函數(shù)值y能否為0？若y≠0說(shuō)明函數(shù)圖像有何特征？

（6）自變量x與函數(shù)值y的積是正值，表明x、y的符號(hào)有何特征？對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像呢？

通過(guò)以上引導(dǎo)問題，讓學(xué)生畫圖之前對(duì)圖像有一個(gè)大致的輪廓形象，學(xué)生經(jīng)歷了親身實(shí)踐、自主思考、合作交流的過(guò)程，深刻體會(huì)了函數(shù)解析式與圖像之間的密切關(guān)系，初步形成了如何研究一個(gè)新函數(shù)的方法。這種邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S訓(xùn)練、追根溯源的思維習(xí)慣也提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2.設(shè)在教材疑難點(diǎn)的問題

當(dāng)新知與學(xué)生已有的認(rèn)知水平之間差距較大時(shí)，學(xué)生便會(huì)感到疑難。在深入分析差距形成原因的基礎(chǔ)上，通過(guò)從不同層面、不同角度設(shè)立的引導(dǎo)問題，搭建了認(rèn)知臺(tái)階，可縮小或消除這種差距。

例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)（a±b）2=a2±2ab+b2時(shí)，對(duì)公式中“和”“差”符號(hào)的區(qū)分及字母a、b的理解會(huì)有障礙，為了避免學(xué)生混淆公式、死記公式，可設(shè)計(jì)問題：

（1）你能結(jié)合圖形解釋公式嗎？

（2）你能用語(yǔ)言表述它們的結(jié)構(gòu)特征嗎？

（3）這兩個(gè)公式有何異同？它們與平方差公式有何區(qū)別？

（4）公式中字母a、b表示什么？

（5）這兩個(gè)公式可以用來(lái)解決什么問題？

通過(guò)上述問題，引導(dǎo)學(xué)生不斷修正、反思、完善概念的理解，洞析公式的本質(zhì)，發(fā)展了學(xué)生的辨別力、判斷力和洞察力，培養(yǎng)了學(xué)生思維的批判性與深刻性。

3.設(shè)在教材模糊點(diǎn)的問題

教材上常有一些貌似模糊不清的內(nèi)容，表面上看似“細(xì)枝末節(jié)”，實(shí)際上卻彰顯著數(shù)學(xué)不可或缺的“嚴(yán)謹(jǐn)性”與“科學(xué)性”，適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)問題，對(duì)提升課堂教學(xué)的質(zhì)量具有重要作用。

例如，學(xué)生在初學(xué)垂直概念時(shí)，常將“90°”“直角”“垂直”不加區(qū)分，混為一談。實(shí)際上，“90°”表示角的大小，是一種數(shù)量;“直角”表示兩條相交直線所成的角，是一種圖形;而“垂直”則反映線與線的一種位置關(guān)系。幾何推理時(shí)，對(duì)這三者的認(rèn)識(shí)程度直接關(guān)系到圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和文字語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化，而這三種語(yǔ)言也正是數(shù)學(xué)思維的有力工具，具有相當(dāng)?shù)闹匾??？勺魅缦绿崾荆?/p>

（1）“90°”“直角”表明了什么關(guān)系？

（2）“垂直”表示兩條直線間的什么關(guān)系？

上述提示既讓學(xué)生辨析了三者之間的關(guān)系，又為后續(xù)學(xué)習(xí)其他幾何概念時(shí)提供了經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了學(xué)生的辯證思維能力。

二、基于學(xué)生學(xué)習(xí)心理狀態(tài)的引導(dǎo)問題

學(xué)案導(dǎo)學(xué)的實(shí)質(zhì)是一種沒有痕跡的教，把教師想要教給學(xué)生的知識(shí)轉(zhuǎn)化為問題，蘊(yùn)含于問題之中，變教師的“明講”為“暗導(dǎo)”。因此，導(dǎo)學(xué)案在某種程度上應(yīng)成為一個(gè)書面的“老師”，當(dāng)學(xué)生遇有困難時(shí)，給予適切的幫助;通過(guò)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)心理狀態(tài)的分析，在導(dǎo)學(xué)案中嵌入一些引導(dǎo)性的問題（提示語(yǔ)），可以代替教師實(shí)現(xiàn)“面對(duì)面”的幫助。

1.設(shè)在學(xué)生思維受阻、難以順利突破時(shí)的問題

學(xué)生解題時(shí)，常常會(huì)遇到無(wú)從下手或進(jìn)行了一半又無(wú)法繼續(xù)下去的現(xiàn)象，這并非題目太難所致， 而是其思維形式或結(jié)果與具體問題的解決存有差異，致使思維受到阻礙，適時(shí)、適度的引導(dǎo)問題，可以幫助學(xué)生很好地實(shí)現(xiàn)突破。

例如，已知：直線 CD∥AB，求證：∠E=∠B+∠D（見圖1）。

對(duì)此，學(xué)生容易想到利用兩直線平行的性質(zhì)，但找不到相關(guān)的角，思維受到阻礙。此時(shí)教師可提供如下幫助：

（1）由兩直線平行可以得出什么結(jié)論？怎樣運(yùn)用這個(gè)條件呢？

（2）能否將要求證的∠E分成兩個(gè)角，使之分別等于∠B、∠D？你學(xué)過(guò)的哪個(gè)定理涉及到了一個(gè)角等于另外兩個(gè)角的和？嘗試運(yùn)用這個(gè)定理看看。

為了幫助學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的主動(dòng)性和自覺性，完善思維方式，教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生作如下反思：

（1）說(shuō)說(shuō)你解決本題的困難是什么，你是如何突破的？

（2）本題還有哪些方法？

通過(guò)以上問題反思，引導(dǎo)學(xué)生外化解題經(jīng)驗(yàn)，從不同角度分析問題，激發(fā)學(xué)生的多向思維。作為導(dǎo)學(xué)案，需要更清晰地外顯這樣的過(guò)程，促使學(xué)生感受學(xué)習(xí)方法，形成習(xí)慣和能力[2]。

2.設(shè)在學(xué)生知識(shí)斷檔、難以實(shí)現(xiàn)遷移時(shí)的問題

遷移是知識(shí)點(diǎn)之間的靈活轉(zhuǎn)換與應(yīng)用，當(dāng)學(xué)生的知識(shí)出現(xiàn)斷檔、結(jié)構(gòu)尚未形成時(shí)，通過(guò)引導(dǎo)問題營(yíng)造知識(shí)點(diǎn)之間貫通理解、靈活轉(zhuǎn)換的條件，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效遷移，是教學(xué)成功的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

例如，在學(xué)習(xí)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用存有斷檔，難以實(shí)現(xiàn)遷移。此時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生先從特殊情況入手，通過(guò)歸納、總結(jié)，進(jìn)一步探求n邊形的內(nèi)角和公式。

（1）四邊形的內(nèi)角和是多少？你是如何得出的？

（2）如何把四邊形分割成三角形？你有哪些方法？

（3）你能用類比的方法求出五邊形、六邊形的內(nèi)角和嗎？

（4）你能求出n邊形的內(nèi)角和嗎？

學(xué)生利用導(dǎo)學(xué)案在先行思考的基礎(chǔ)上，靈活應(yīng)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從多個(gè)角度分析并大膽嘗試，課上再通過(guò)小組合作、探討交流，最后小組匯報(bào)展示探究方法，不僅有利于學(xué)生發(fā)散性思維能力的培養(yǎng)，還能促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新思維習(xí)慣的養(yǎng)成。

3.設(shè)在學(xué)生疑惑不解、難以正確理解時(shí)的問題

學(xué)生疑惑不解、難以正確理解的知識(shí)點(diǎn)，常常是學(xué)生認(rèn)知矛盾的焦點(diǎn)，通過(guò)引導(dǎo)問題，減緩問題坡度，化解矛盾，解除疑惑，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，是教學(xué)過(guò)程順暢有效的重要保證。

例如，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，經(jīng)常遇到這樣一道經(jīng)典題：若函數(shù)f（x）=log3（x2-3x+m）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生的答案與“定義域是R”的答案相同，而教師通常是用換元的方法理解該問題：要使函數(shù)的值域?yàn)镽，則k=x2-3x+m要取遍所有的正數(shù)，故其圖像與x軸必須有交點(diǎn)，即△≥0。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生對(duì)此都心存疑惑：“若有交點(diǎn)，k就能取到負(fù)數(shù)和0，但對(duì)數(shù)的真數(shù)只能為正呀！”很顯然，這種常規(guī)生硬的講解，只能帶來(lái)學(xué)生的費(fèi)解。實(shí)踐證明，通過(guò)設(shè)計(jì)引導(dǎo)問題作為鋪墊，引發(fā)學(xué)生思考，可很好促進(jìn)學(xué)生對(duì)本題的理解。分別求出函數(shù)（1）f（x）=log3（x2-3x+4）、（2）f（x）=log3（x2-3x+2）的值域和定義域。學(xué)生完成這兩小題后，再經(jīng)教師的嚴(yán)密解題分析，對(duì)本題的理解應(yīng)該容易多了。

三、基于教學(xué)進(jìn)程具體情況預(yù)設(shè)的引導(dǎo)問題

導(dǎo)學(xué)案問題的設(shè)計(jì)應(yīng)重視“預(yù)設(shè)”，只有合理的“預(yù)設(shè)”，才能帶來(lái)可貴的“生成”。通過(guò)預(yù)設(shè)教學(xué)進(jìn)程中基于學(xué)生認(rèn)知水平的答案、錯(cuò)誤、疑惑、需求、感悟……讓他們?cè)凇跋葘W(xué)”的過(guò)程中充分體驗(yàn)并獲得足夠的感性和理性認(rèn)識(shí)，真正參與“后教”過(guò)程中的思辨與推理，更好地進(jìn)行歸納、總結(jié)，把“先學(xué)”過(guò)程中的猜想與結(jié)論內(nèi)化為知識(shí)和能力[3]。

如等差數(shù)列復(fù)習(xí)中，教師給出了：若An、Bn分別是等差數(shù)列{an}、{bn}前n項(xiàng)的和，已知■=■，求■=？這是一道訓(xùn)練學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列知識(shí)解決問題能力的題目，頗具典型性，經(jīng)常被教師作為例題選用。本題更適合通過(guò)導(dǎo)學(xué)案的引導(dǎo)與提示，課上采用合作學(xué)習(xí)方式完成，可設(shè)計(jì)問題：

（1）看到本題條件An、Bn，你首先想到了什么？代入條件后你能將其轉(zhuǎn)變?yōu)橐蟮摹鰡幔?/p>

（2）看到這種以比例形式給出的條件，你還能想到什么方法？

對(duì)于問題1，經(jīng)過(guò)小組激烈的交流討論，在師生、生生的思維碰撞中，通過(guò)對(duì)學(xué)生原有想法的完善和補(bǔ)充，小組內(nèi)順利產(chǎn)生了兩種解法。在反思這兩種解法的基礎(chǔ)上，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生給出上述常用的方法，以簡(jiǎn)馭繁，便是水到渠成，自然而然的事了。

對(duì)于問題2，小組內(nèi)常常會(huì)得出兩個(gè)截然不同的結(jié)果，但教師并沒有輕易地表態(tài)，而是組織學(xué)生進(jìn)行了一次大討論，學(xué)生的思維被激起，課堂頓時(shí)活躍起來(lái)，經(jīng)過(guò)激烈討論，學(xué)生很快對(duì)這種解法進(jìn)行了完善。

由此可見，運(yùn)用學(xué)案導(dǎo)學(xué)，在學(xué)生自主先學(xué)的基礎(chǔ)上，師生在課堂上能有充分的時(shí)間討論交流問題，有效進(jìn)行思維的診斷、糾偏，對(duì)提高課堂教學(xué)的質(zhì)量、提升學(xué)生的思維能力非常有益。這是動(dòng)態(tài)思考教學(xué)、發(fā)揮教學(xué)智慧作用的最好體現(xiàn)，也是學(xué)案導(dǎo)學(xué)的一大明顯優(yōu)勢(shì)。

總之，學(xué)案導(dǎo)學(xué)的根本目的是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和自主學(xué)習(xí)的能力，使之成為具有創(chuàng)造性和批判性的學(xué)習(xí)者。根據(jù)課程理論家斯騰豪斯的理論，能有效達(dá)成這一教育目的主要方式是“引導(dǎo)”而非“訓(xùn)練”。那么，這種引導(dǎo)式教學(xué)應(yīng)是一種什么樣態(tài)呢？對(duì)此，艾斯納有過(guò)這樣一段描述：它是向師生發(fā)出的一份“請(qǐng)?zhí)?，邀?qǐng)其共同探索、追隨、集中爭(zhēng)論特別重要或感興趣的問題，它應(yīng)是一種喚醒而非規(guī)定。由此可見，要真正發(fā)揮好 “學(xué)案”的“導(dǎo)學(xué)”功能，關(guān)鍵是要在引導(dǎo)問題的類型選擇和設(shè)計(jì)上下工夫，而不是打“海量練習(xí)”的主意。

參考文獻(xiàn)

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[3] 于浩，魏曉東，于海波.“學(xué)案導(dǎo)學(xué)”教學(xué)模式的反思與重構(gòu)[J].教學(xué)與管理，2018（03）：100.