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    數(shù)學(xué)之美
    ——淺談數(shù)學(xué)模型

    2021-04-14 21:30:02趙中鑫
    卷宗 2021年9期
    關(guān)鍵詞:托里斯坦納對(duì)角線

    趙中鑫

    (山東省濟(jì)南市章丘雙語學(xué)校,山東 濟(jì)南 250200)

    1 什么是數(shù)學(xué)模型

    數(shù)學(xué)模型,一般是指用數(shù)學(xué)語言、符號(hào)或圖形等形式來刻畫,描述反映特定的問題或具體事物之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。黃仁宇先生曾在《萬歷十五年中》這樣寫道:“公元1587年,是平平淡淡的一年,這平平淡淡的一年中發(fā)生了許多事件。這些事件,表面看來呈似末端小節(jié),但事實(shí)上卻是以前發(fā)生大事的癥結(jié),也是將在以后掀起波瀾的機(jī)緣。其間的關(guān)系因果恰為歷史的重點(diǎn)。”數(shù)學(xué)的綜合題,從歷史角度看,因果在其中,另有平時(shí)的末端小節(jié),才能引起最后的波瀾。因此建立數(shù)學(xué)模型是必要的,數(shù)學(xué)模型的一般化、典型化和精確化的特點(diǎn),正是綜合題的癥結(jié)。

    2 數(shù)學(xué)模型的意義

    2.1 對(duì)于美的感受

    某國的一堂公開課上的題目是在一塊矩形場(chǎng)地上筑一花壇,使其面積為場(chǎng)地的一半。上海進(jìn)才中學(xué)提倡用二次曲線畫“米老鼠”或其他畫作,發(fā)揮學(xué)生用幾何曲線創(chuàng)作美術(shù)的想象力。幾何,往往給人以美的感受,而幾何中的模型,更是花之牡丹,令人心曠神怡。

    2.2 對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科能力的作用

    《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010—2020年)》提出的四大戰(zhàn)略主題之一,即為“堅(jiān)持能力為重”,指出“提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力”。數(shù)學(xué)學(xué)科能力是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展中經(jīng)長期積淀而形成的,蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)中,它脫離不了具體數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)活動(dòng),數(shù)學(xué)學(xué)科能力存在于數(shù)學(xué)活動(dòng)之中,而數(shù)學(xué)學(xué)科主要活動(dòng)包括:數(shù)學(xué)計(jì)算,數(shù)學(xué)證明,數(shù)學(xué)建模。

    3 數(shù)學(xué)模型的來源

    1)從同類型的題目中總結(jié)出通法通解,總結(jié)出模型,模型的名稱根據(jù)模型的特點(diǎn)進(jìn)行命名。例如手拉手模型,瓜豆原理,蝴蝶模 型等。

    (1)手拉手模型。

    兩個(gè)頂角相等且共頂點(diǎn)的等腰三角形構(gòu)成等腰三角形

    模型 手拉手

    (2)瓜豆原理。

    一般情況下,在某些多動(dòng)點(diǎn)問題中,動(dòng)點(diǎn)之間往往存在著某種關(guān)聯(lián)性,這就導(dǎo)致了其運(yùn)動(dòng)具有關(guān)聯(lián)性。我們依然可以從圖形變換的角度去分析兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性:從動(dòng)點(diǎn)從動(dòng)點(diǎn)Q隨著主動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)、確定而確定.這里定點(diǎn)A可視為旋轉(zhuǎn)中心,由∠A=90°及AP=AQ可以將點(diǎn)Q看成是由主動(dòng)點(diǎn)P以定點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°而來。

    2)從歷史背景和歷史故事中總結(jié)出符合初中階段的模型,例如弦圖模型,費(fèi)馬點(diǎn),胡不歸模型,婆羅摩羯多模型

    (1)弦圖模型。

    “弦圖”是由八個(gè)形狀相同、大小相等的直角三角形,拼成的四個(gè)長方形而圍成的中空也為正方形的正方形。早在一千七百多年前,三國時(shí)期的吳國數(shù)學(xué)家趙爽,在為我國數(shù)學(xué)巨著《周髀算經(jīng)》作注釋時(shí),就利用它對(duì)勾股定理作出了嚴(yán)格而又簡捷的證明。

    (2)費(fèi)馬點(diǎn)。

    費(fèi)馬點(diǎn)問題最早是由法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家埃萬杰利斯塔·托里拆利(氣壓計(jì)的發(fā)明者)的信中提出的。托里拆利最早解決了這個(gè)問題,而19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家斯坦納重新發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問題,并系統(tǒng)地進(jìn)行了推廣,因此這個(gè)點(diǎn)也稱為 托里拆利點(diǎn)或斯坦納點(diǎn),相關(guān)的問題也被稱作費(fèi)馬-托里拆利-斯坦納問題。這一問題的解決極大推動(dòng)了聯(lián)合數(shù)學(xué)的發(fā)展,在近代數(shù)學(xué)史上具有里程碑式的意義。

    (3)胡不歸模型。

    話說,從前有一小伙子外出務(wù)工,某天不幸得知老父親病危的消息,便立即趕路回家.小伙子略懂?dāng)?shù)學(xué)常識(shí),考慮到“兩點(diǎn)之間線段最短”的知識(shí),就走布滿沙石的路直線路徑,而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實(shí)際情況,當(dāng)趕到家時(shí),老人剛咽了氣,小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說,老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸?胡不歸?…”這個(gè)問題引起了人們的思索,小伙子能否節(jié)省路上時(shí)間提前到家?如果可以,他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線呢?這就是流傳千百年的“胡不歸問題.

    (4)婆羅魔羯多模型。

    若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直,則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊。如圖,圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD,垂足為M。EF⊥BC,且M在EF上。那么F是AD的中點(diǎn)。

    推廣過圓內(nèi)接四邊形兩對(duì)角線交點(diǎn)作任一邊的垂線,必過以其對(duì)邊為一邊,以交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的外心

    3)由圖形的性質(zhì)總結(jié)出的模型,例如角平分線模型,中點(diǎn)四大模型,造橋選址模型,旋轉(zhuǎn)最值模型

    4 至善至美的人生態(tài)度

    數(shù)學(xué)總是做到至善至美,完美無缺,這是數(shù)學(xué)最高的品質(zhì)和最高的精神境界,從大的方面說,歐氏幾何公理體系的構(gòu)建,數(shù)學(xué)家通過300余年的努力來證明費(fèi)馬定理,陳景潤對(duì)哥德巴赫猜想的苦苦追求,都是追求數(shù)學(xué)“完美”的典型事例。從小的方面說,二次函數(shù)方程的曲線,既有曲線的優(yōu)美,又有數(shù)形結(jié)合的風(fēng)采。有的模型我用數(shù)學(xué)軟件做出來之后,通過展示他們的變化過程,學(xué)生們都表示非常的震撼。數(shù)學(xué)的美學(xué)風(fēng)格和藝術(shù)風(fēng)格是一脈相承的,正如埃舍爾的畫,正是數(shù)學(xué)與美學(xué)的有機(jī)統(tǒng)一,統(tǒng)一中又透露著哲學(xué)思想。把數(shù)學(xué)美真正落實(shí)到課堂上還有許多工作要做,今后我要讓更多的孩子體會(huì)數(shù)學(xué)美,從模型中讓同學(xué)們回味自己美的體驗(yàn),表達(dá)自己對(duì)數(shù)學(xué)美的感受,弘揚(yáng)數(shù)學(xué)美的價(jià)值。

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