例談函數(shù)極限的求法

陳小燕

(海南省海口市瓊臺師范學院 571100)

一、求極限的常用方法

1.無窮小量及其性質(zhì)

性質(zhì)1 有限個無窮小的和也是無窮小

性質(zhì)2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

性質(zhì)3 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

性質(zhì)4 有限個無窮小的乘積也是無窮小.

2.利用等價無窮小

3.極限的運算法則

如果limf(x)=A,,limg(x)=B,那么

(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;

(2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B;

說明：只有兩個函數(shù)都有極限時才能用運算法則，特別是用商的法則時分母的極限不能是零.

解x→1時,分子、分母的極限都是零,不能直接用法則.

但分子和分母有公因子x-1，先約去為零的因子x-1,然后再求極限.

4.利用夾逼準則

準則：如果

說明：此方法的關鍵是找出前后兩個函數(shù)，且這兩個函數(shù)的極限相同.

5.利用重要極限

說明在求極限過程中，要對函數(shù)進行適當變形，使其變成重要極限的形式，再用重要極限求解.

6.洛必達法則

定理設(1)當x→a時，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零;

(2)在點a的某鄰域內(nèi)(點a可以除外)f′(x),F′(x)都存在且F′(x)≠0

說明(1)把定理中的x→a換成x→∞，把(2)換成當|x|>N時，f(x),F(x)都可導且F′(x)≠0，結論仍然成立.

(2)洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但最好能與其他求極限的方法結合使用.例如要求的極限函數(shù)是冪指函數(shù)的形式u(x)v(x)(u(x)>0,u(x)≠1時，通常先把函數(shù)轉化成指數(shù)函數(shù)u(x)v(x)=elnu(x)v(x)=ev(x)lnu(x)，再求極限.

解這是未定式00,設y=xsinx，取對數(shù)得lny=sinxlnx，又

因為y=elny，

而limy=limelny=elimlny(x→0+)，故

(3)本節(jié)定理給出的是求未定式的一種方法· 當定理條件滿足時'所求的極限當然存在(或為∞)'但定理條件不滿足時'所求極限卻不一定不存在.

二、結論

函數(shù)極限的求法是多樣的，除了本文的這幾種方法，還有其他的求解方法，因此在解題過程中要根據(jù)函數(shù)本身的特點來選擇合適的方法，以簡便計算.