三種途徑引領(lǐng)學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)小論文

■鄭 立

如果說(shuō)“書讀百遍而義自見”是讀書的最高境界，“眼過(guò)千遍不如手過(guò)一遍”是鞏固的最高境界，那么“寫作”則是思維的最高境界，是學(xué)習(xí)的最高層次。語(yǔ)文有“閱讀與寫作”，英語(yǔ)有“聽、說(shuō)、讀、寫”，無(wú)不突出“寫”的重要性。而數(shù)學(xué)中的“寫”往往被忽略，或被狹義地理解為“寫題目”“寫練習(xí)”“寫解答過(guò)程”，其實(shí)數(shù)學(xué)也可以有寫作。下面筆者總結(jié)實(shí)踐中引領(lǐng)學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)小論文的三種途徑。

一、“出錯(cuò)與糾錯(cuò)”是引領(lǐng)學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)小論文的源泉

“錯(cuò)”有三種情況：一是出題錯(cuò)誤，二是解題錯(cuò)誤，三是選項(xiàng)錯(cuò)誤。出題錯(cuò)誤在各種教輔資料和教師自編的練習(xí)中偶爾出現(xiàn)。對(duì)學(xué)生而言，這是一種客觀錯(cuò)誤。遇到題目有錯(cuò)，學(xué)生常常避而遠(yuǎn)之，不審題，更不會(huì)研究題目。這時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極糾“錯(cuò)”，使“錯(cuò)題”趨于合理，便于解答。在糾錯(cuò)中，學(xué)生思維活躍，會(huì)出現(xiàn)各種奇思妙想，這時(shí)如把思考過(guò)程完整記錄，稍作加工，便是一篇很有意思的數(shù)學(xué)小論文。

選項(xiàng)錯(cuò)誤，有兩種情況：一種是選項(xiàng)自身錯(cuò)誤，對(duì)學(xué)生而言，是客觀的；還有一種是學(xué)生選擇有誤，這是主觀的。初中數(shù)學(xué)選擇題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，教師要引導(dǎo)學(xué)生了解命題人的意圖，注意避坑。對(duì)主觀上做錯(cuò)的學(xué)生，要讓其找明錯(cuò)因，及時(shí)糾正，并陳述原因。

解題錯(cuò)誤也是學(xué)生經(jīng)常發(fā)生的主觀錯(cuò)誤。解題中犯了哪些錯(cuò)誤？為什么會(huì)犯錯(cuò)？出現(xiàn)錯(cuò)誤怎樣解決？以后怎樣避免？一連串的問(wèn)題都可能引起學(xué)生思考，從而找到解決問(wèn)題的途徑和方法。因此，找錯(cuò)糾錯(cuò)、辨析真?zhèn)蔚倪^(guò)程，為學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)小論文提供了源泉，而數(shù)學(xué)教師則是不可或缺的挖井人。如，已知，求的值。在解題中需將原方程兩邊同時(shí)平方，得到但在接下來(lái)的計(jì)算中，少數(shù)學(xué)生會(huì)寫成誤把兩數(shù)和的平方當(dāng)作平方和，漏掉一項(xiàng)。為什么會(huì)發(fā)生這種情況？怎樣預(yù)防？歸根結(jié)底，是完全平方公式?jīng)]有掌握。教師可引導(dǎo)學(xué)生回憶完全平方公式的特點(diǎn)，進(jìn)一步明確兩數(shù)和的平方不等于兩數(shù)的平方和，兩數(shù)差的平方也不等于兩數(shù)的平方差。此時(shí)，教師要把握機(jī)會(huì)，及時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生把自己的錯(cuò)因?qū)懗蓴?shù)學(xué)小論文，讓學(xué)生在錯(cuò)誤中尋找真知，從而弄清數(shù)學(xué)公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，牢固掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

二、“多解與變式”是引領(lǐng)學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)小論文的主陣地

同一題目往往可以用多種方法解決。在教學(xué)中，對(duì)一些典型題目，教師要積極引導(dǎo)，讓學(xué)生嘗試用多種方法解決?！耙活}多解、舉一反三”反映了學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和水平，既能激發(fā)、拓展、鍛煉學(xué)生思維，也能讓學(xué)生把多種解法整理出來(lái)，寫成數(shù)學(xué)小論文。

變式訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的一種有效方法，既可以讓學(xué)生鞏固已學(xué)知識(shí)，也可以提高學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的深度和應(yīng)變能力。變式，不變的是基礎(chǔ)，變的是應(yīng)用能力的提升。由此可見，“多解與變式”是學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)小論文的主戰(zhàn)場(chǎng)與主陣地。

如：某電腦公司2020年一月份的營(yíng)業(yè)額為200萬(wàn)元，三月份的營(yíng)業(yè)額為450萬(wàn)元，如果平均每個(gè)月的營(yíng)業(yè)額增長(zhǎng)率相同，求這個(gè)增長(zhǎng)率。這題可以設(shè)平均每個(gè)月營(yíng)業(yè)額的增長(zhǎng)率為x，學(xué)生很容易列出方程200（1+x）2=450，然后用直接開方法求解即可。等學(xué)生解答完，教師再進(jìn)行變式：某農(nóng)機(jī)廠四月份生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，第二季度共生產(chǎn)零件182萬(wàn)個(gè)。求該廠五、六月份平均每個(gè)月的增長(zhǎng)率。教師出示題目后，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審題，提問(wèn)：此題與前題是否一樣？有何區(qū)別？區(qū)別在哪里？相等關(guān)系是什么？應(yīng)如何列式？經(jīng)過(guò)分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩題同樣涉及月平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，區(qū)別卻很大。找到了等量關(guān)系，就可以設(shè)五、六月份平均每個(gè)月的增長(zhǎng)率為x，列出方程50+50（1+x）+50（1+x）2=182，然后解這個(gè)一元二次方程即可。從原題到變式題，學(xué)生經(jīng)歷了比較、分析、探索、嘗試、整合的過(guò)程。這時(shí)，教師如果及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生把自己的思路歷程有條理地寫出來(lái)，就會(huì)形成特色鮮明、具有個(gè)性化的數(shù)學(xué)小論文。

三、“百思與頓悟”是引領(lǐng)學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)小論文的磨刀石

“難題”往往使學(xué)生陷入“百思”而不得其解。但在“百思”中，學(xué)生會(huì)進(jìn)行各種嘗試，多個(gè)知識(shí)點(diǎn)在腦海中交織碰撞，產(chǎn)生一個(gè)個(gè)火花。學(xué)生在大量的推理或演算中，一層一層抽絲剝繭，最終見到“廬山真面目”。即便解答不出來(lái)，也是無(wú)限接近真知，或離真知還有最后“一公里”。就算反其道而行，學(xué)生也經(jīng)歷了知識(shí)回顧、思考探究、推理演算的過(guò)程?？梢姡鞍偎肌笔菍W(xué)生攻克難題的利刃，是學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)小論文的磨刀石和試金石。

“頓悟”與“百思”密不可分，是學(xué)生在思考、解決難題過(guò)程中所表現(xiàn)出來(lái)的一種應(yīng)急機(jī)智，是瞬間爆發(fā)的靈感?！邦D悟”往往能幫助學(xué)生順利答題，使難題迎刃而解?；蛟S有些“頓悟”無(wú)助于答題，但在學(xué)生腦海里埋下了“善思”的火種。因此，有選擇地將“頓悟”進(jìn)行整理加工，也會(huì)形成質(zhì)量不錯(cuò)的數(shù)學(xué)小論文。

如：已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，分別以A、B、C為圓心，為半徑的圓 兩 兩 相 切 于 點(diǎn)O1、O2、O3。求弧O1O2、弧O2O3、弧O1O3圍成的圖形面積S（圖中陰影部分）。

遇到這種題目，乍一看無(wú)法下手，很多學(xué)生會(huì)陷入思考中，短時(shí)間內(nèi)很難有結(jié)果。隨著思考的持久深入，有的學(xué)生會(huì)將圖中陰影部分面積想方設(shè)法轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形來(lái)求；有的學(xué)生會(huì)用△ABC的面積減去三個(gè)扇形的面積；有的學(xué)生會(huì)將三個(gè)扇形拼成半圓，再用△ABC的面積減去半圓面積。諸如此類的“頓悟”都是積極可行的，值得學(xué)生去嘗試。教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生將解題時(shí)的“頓悟”付諸筆端，一篇數(shù)學(xué)小論文也就水到渠成了。

總之，通過(guò)“出錯(cuò)與糾錯(cuò)”“多解與變式”“百思與頓悟”三種途徑，教師因勢(shì)利導(dǎo)，學(xué)生才會(huì)多多練習(xí)，積極嘗試撰寫數(shù)學(xué)小論文。在撰寫數(shù)學(xué)小論文的過(guò)程中，學(xué)生的思維得到提升，知識(shí)得到升華，條理更加清晰，思路更加開闊，從而達(dá)到以學(xué)促寫、以寫促學(xué)的目的。