基于隨機(jī)激勵響應(yīng)的參數(shù)識別相關(guān)函數(shù)法

傅 立 磊

(廈門市市政建設(shè)開發(fā)有限公司，福建 廈門 361000)

0 引 言

氣動導(dǎo)數(shù)識別屬于動力學(xué)中第一類反問題，也是空氣動力學(xué)研究的基礎(chǔ)問題之一。20世紀(jì)70年代，氣動導(dǎo)數(shù)開始被橋梁工程師運(yùn)用到橋梁結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)穩(wěn)定性分析，此后橋梁斷面的氣動導(dǎo)數(shù)識別，成為了大跨度橋梁結(jié)構(gòu)顫振分析中最重要的研究方向[1]。國內(nèi)外對橋梁斷面氣動識別方法進(jìn)行了大量的研究，提出了各種識別方法，識別結(jié)果的精確性也已經(jīng)在試驗(yàn)中得到驗(yàn)證[2,3]。

根據(jù)識別方法中數(shù)據(jù)采用的不同，系統(tǒng)參數(shù)識別方法可分為頻域識別法和時域識別法[4]，根據(jù)參數(shù)識別過程中獲取的信號數(shù)據(jù)不同，可分為自由振動法、強(qiáng)迫振動法。因此，目前主要的識別方法包括自由振動時域識別法、自由振動頻域識別法、強(qiáng)迫振動時域識別法和強(qiáng)迫振動頻域識別法等[4]。

自由振動時域識別法，通常假定實(shí)測時域位移信號為耦合的自由振動對數(shù)衰減信號，具有足夠弱的噪聲和足夠精確的求導(dǎo)算法是保證計算精度的前提，否則構(gòu)造得到的狀態(tài)矩陣誤差很大，甚至完全錯誤[5]。隨著風(fēng)速提高，模型系統(tǒng)的豎向氣動阻尼增大，使得系統(tǒng)振動衰減速度加快，可記錄的可用時程迅速減少，從而影響結(jié)構(gòu)振動參數(shù)的識別精度，并進(jìn)一步影響氣動導(dǎo)數(shù)識別的質(zhì)量[6]。另一方面，紊流風(fēng)場中采用瞬態(tài)激勵時域算法進(jìn)行氣動導(dǎo)數(shù)識別時，將因風(fēng)場中的脈動成分引起的抖振響應(yīng)看作試驗(yàn)中的噪聲干擾。隨著風(fēng)速的提高，結(jié)構(gòu)抖振響應(yīng)幅度加大，噪聲干擾水平增強(qiáng)，使得所識別的高風(fēng)速下氣動導(dǎo)數(shù)精度下降[7]。

強(qiáng)迫振動法可以直接獲得自激力，進(jìn)而研究自激力本身特性。M.FALCO[8]設(shè)計了一種強(qiáng)迫振動裝置，對節(jié)段模型氣動力各參數(shù)的非線性進(jìn)行了詳細(xì)研究；M.MATSUMOTO[9]采用強(qiáng)迫振動法識別了扁平和鈍體斷面氣動導(dǎo)數(shù)，獲得了一些定性規(guī)律；陳政清等[10]設(shè)計了一套2自由度強(qiáng)迫振動裝置，進(jìn)行氣動導(dǎo)數(shù)識別，并取得較好的識別結(jié)果。綜上，強(qiáng)迫振動法識別結(jié)果重復(fù)性好，可測量折算風(fēng)速范圍寬，但需要設(shè)計振動頻率和振幅均可調(diào)的多自由強(qiáng)迫振動裝置，結(jié)構(gòu)復(fù)雜龐大設(shè)計制作成本高。

無論是自由振動識別方法，還是強(qiáng)迫振動法，參數(shù)識別算法非常重要[11]。許福友等[12]提出了橋梁斷面顫振導(dǎo)數(shù)識別的隨機(jī)搜索方法；林陽等[13]提出了基于橋梁自由振動響應(yīng)數(shù)據(jù)，對橋梁斷面顫振導(dǎo)數(shù)進(jìn)行識別的人工蜂群算法，提高了識別效率。筆者利用隨機(jī)振動理論[14]，推導(dǎo)了隨機(jī)激勵下兩自由度振動響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)方程，利用最小二乘法構(gòu)造參數(shù)識別方程，期望該方法識別結(jié)果具有較高精度。

1 顫振導(dǎo)數(shù)識別模型及算法

在風(fēng)洞試驗(yàn)中，橋梁的豎彎和扭轉(zhuǎn)耦合振動可由2自由度剛性節(jié)段模型模擬。在僅考慮氣動自激力作用的情況，其運(yùn)動方程可表示為：

(1)

(2)

式中：m和I分別是模型單位長度的質(zhì)量和質(zhì)量慣性矩；h和α分別是模型的豎向位移和扭轉(zhuǎn)角；Lse和Mse分別是物體運(yùn)動與氣流相互作用產(chǎn)生的升力和力矩。

根據(jù)Scanlan的顫振分析理論[13,15]，升力和力矩可寫為如下形式：

(3)

(4)

采用參數(shù)代換如式(5)，(6)：

(5)

(6)

將式(3)、(4)中參數(shù)用式(5)、(6)代換，然后將(3)、(4)式代入(1)、(2)式中，則式(1)、(2)可重寫為：

(7)

(8)

式(9)、(10)可寫成矩陣形式：

(9)

式中：

Y={h(t)α(t)}T；

由式(9)可以看出，當(dāng)初始位移和初始速度為零時，無論風(fēng)速如何，模型振動響應(yīng)為零。然而風(fēng)洞試驗(yàn)中，在氣動力作用下，無論有無初始條件，模型均有振動響應(yīng)，說明Scanlan氣動力假設(shè)所推導(dǎo)的方程與風(fēng)洞試驗(yàn)中的實(shí)際情況不相符。究其原因，Scanlan氣動力假設(shè)僅考慮了平均風(fēng)速的氣動力作用，忽略了脈動風(fēng)速的影響。事實(shí)上，無論是風(fēng)洞中的風(fēng)還是自然界的風(fēng)，風(fēng)速均是隨機(jī)過程，產(chǎn)生的氣動力也會是一個隨機(jī)過程。因此，在Scanlan氣動力的基礎(chǔ)上增加一個隨機(jī)氣動力或隨機(jī)氣動力矩是合理，令：

(10)

(11)

則代入式(1)、(2)，可簡化一般的兩自由度振動系統(tǒng)如式(12)：

(12)

考慮隨機(jī)激勵X(t)作用下系統(tǒng)響應(yīng)Y(t)滿足式(8)，則t+τ時刻的響應(yīng)Y(t+τ)滿足：

(13)

將上式右乘YT(t)，再求期望可得：

KE[Y(t+τ)YT(t)]=E[X(t+τ)YT(t)]

(14)

假設(shè)X(t)為白噪聲，則相應(yīng)Y(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，由隨機(jī)振動理論中相關(guān)函數(shù)的定義可知：

(15)

由于X(t)為白噪聲，則X(t+τ)與Y(t)不相關(guān)，將式(15)代入式(14)可表示為：

(16)

或

(17)

這些函數(shù)都可以由測量所得位移、速度和加速度數(shù)據(jù)計算得到。研究表明，若能同步測量位移、速度、加速度數(shù)據(jù)，則利用式(16)可以很好的識別，若僅測量到位移數(shù)據(jù)，則可由式(17)識別。

2 參數(shù)識別算法

考慮對于任意延遲τi式(17)均滿足，即：

(18)

利用最小二乘法可以構(gòu)造出關(guān)于系統(tǒng)參數(shù)C和K的函數(shù)∏：

(19)

在參數(shù)識別問題中，系統(tǒng)參數(shù)C和K是為未知量。理論上，當(dāng)C和K為真值時，∏=0。由于上式中，∏≥0，所以較優(yōu)的識別結(jié)果應(yīng)滿足函數(shù)∏取得最小值。函數(shù)∏對C和K求導(dǎo)得：

(20)

(21)

化簡方程(16)、(17)可得：

(22)

(23)

由方程(22)、(23)可求解參數(shù)C和K。

值得指出，理論上講利用幾個有限點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)值，即可求解出所要識別的系統(tǒng)參數(shù)。但實(shí)際上，為了提高識別精度，可以通過較多的數(shù)據(jù)進(jìn)一步優(yōu)化識別結(jié)果。筆者采用多段數(shù)據(jù)識別并求平均值的方法，識別的效果較好。

3 仿真算例

為了驗(yàn)證筆者方法的有效性，利用數(shù)值仿真獲得某2自由度動力系統(tǒng)在隨機(jī)激勵作用下的響應(yīng)數(shù)據(jù)。然后將響應(yīng)數(shù)據(jù)通過筆者方法求解動力系統(tǒng)的物理參數(shù)。

某2自由度結(jié)構(gòu)振動平衡方程為：

(24)

考慮動力方程(24)中，初始位移和初始速度均為零，X1和X2為隨機(jī)生成的均值為零的隨機(jī)過程，數(shù)值計算采用4階龍格-庫塔方法求解，時間步長取0.001 s，計算時長100 s。圖1顯示了振動系統(tǒng)在某一組隨機(jī)激勵作用下的動力響應(yīng)，圖1中橫坐標(biāo)為時間，豎坐標(biāo)分別為無量綱位移和無量綱速度。由于激勵的隨機(jī)性，隨機(jī)響應(yīng)的具體數(shù)值并沒有太多意義，由圖1可以看出，無論是響應(yīng)位移和響應(yīng)速度，均具有窄帶隨機(jī)過程特征，即具有窄帶頻率特性。識別目標(biāo)參數(shù)為式(25)中動力系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)。

(25)

圖1 隨機(jī)激勵作用下響應(yīng)樣本

利用初始條件為零(即完全依靠隨機(jī)激勵)時，式(24)所示動力系統(tǒng)的響應(yīng)數(shù)據(jù)，獲得的識別參數(shù)結(jié)果如表1。表中C11、C12、C21、C22為阻尼系數(shù)，K11、K12、K21、K22為剛度系數(shù)。在連續(xù)10次的參數(shù)識別中，每次采用的激勵是不同的隨機(jī)樣本。由表1可知，因?yàn)閰?shù)激勵的不同，各參數(shù)的識別結(jié)果是一個隨機(jī)變量，但其平均值與目標(biāo)結(jié)果吻合度較高。

表1 連續(xù)10次阻尼系數(shù)識別結(jié)果

4 人行橋梁主梁斷面顫振導(dǎo)數(shù)識別

橋梁氣動導(dǎo)數(shù)識別方法的驗(yàn)證利用的是廈門市某步道橋梁的節(jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，橋梁橫斷面如圖2。風(fēng)洞試驗(yàn)在廈門理工學(xué)院XMUT-WT風(fēng)洞試驗(yàn)室進(jìn)行，風(fēng)洞為串聯(lián)雙試驗(yàn)段風(fēng)洞，節(jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)在高速試驗(yàn)段進(jìn)行，模型采用外支架4個彈簧懸掛安裝，利用激光位移計、加速度傳感器和力傳感器分別采集振動位移、加速度及彈簧力，經(jīng)比較后識別過程采用的是位移數(shù)據(jù)和加速度數(shù)據(jù)。

圖2 實(shí)際橋梁斷面尺寸(單位：cm)

在風(fēng)洞試驗(yàn)中，橋梁主梁節(jié)段模型的幾何縮尺比取為λL=1∶15，計算得到主梁模型寬度為B=0.293m，模型高度為H=0.053m。風(fēng)洞高速段寬2.6m，模型長度為2.5m，模型長寬比為8.532 4，遠(yuǎn)大于2.5，節(jié)段模型端部三維流動的影響可忽略。橋梁主梁節(jié)段模型骨架采用鋁合金方管制作而成，外衣采用優(yōu)質(zhì)木材制作，以保證幾何外形的相似。主梁上人行道欄桿采用亞克力板制作，并模擬了欄桿的形狀與透風(fēng)率。風(fēng)洞試驗(yàn)中橋梁節(jié)段模型的參數(shù)如表2。

表2 橋梁節(jié)段試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)

(續(xù)表2)

試驗(yàn)風(fēng)速2～21 m/s，識別中橋梁節(jié)段模型為2自由度動力系統(tǒng)，識別出的參數(shù)為無量綱阻尼系數(shù)和無量綱剛度系數(shù)，無量綱參數(shù)定義見式(5)～(8)，結(jié)果與利用節(jié)段模型自由振動響應(yīng)直接識別系統(tǒng)矩陣的間接最小二乘法[16](indirect least squares，ILS)相比較，如圖3。其中圖3(a)和圖3(b)為不同風(fēng)速下阻尼系數(shù)的識別結(jié)果，圖3(c)和圖3(d)為不同風(fēng)速下剛度系數(shù)的識別結(jié)果。結(jié)果顯示，在較低風(fēng)速下，采用筆者提出的相關(guān)函數(shù)法(correlation function method, CFM)與直接識別方法具有較好的吻合度；而在較高風(fēng)速下，結(jié)果相差較大，但整體趨勢基本一致。主要原因是目前并沒有較好的可利用自由振動響應(yīng)數(shù)據(jù)識別方法，ILS方法識別結(jié)果并不可靠。

圖3 某二自由度節(jié)段橋梁模型動力參數(shù)識別結(jié)構(gòu)比較

5 結(jié) 語

利用隨機(jī)振動了理論，推導(dǎo)出利用隨機(jī)響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)識別橋梁氣動參數(shù)的方程。數(shù)值算例證明，利用本方法，隨機(jī)激勵2自由度運(yùn)動系統(tǒng)的識別結(jié)果可以達(dá)到相當(dāng)高的精度。利用廈門理工學(xué)院風(fēng)洞試驗(yàn)室所得數(shù)據(jù)，比較了筆者方法與自由振動時域識別法，結(jié)果表明，在低風(fēng)速條件下，筆者方法所得結(jié)果與自由振動時域識別法獲得的結(jié)果接近。