包含廣義Euler函數(shù)φ2(m)的一方程的正整數(shù)解

張四保，姜蓮霞

(喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 新疆 喀什 844008)

0 引言

Euler函數(shù)φ(m)是數(shù)論中的一個極為重要的函數(shù)，對于Euler函數(shù)φ(m)的性質(zhì)以及包含Euler函數(shù)φ(m)的方程是內(nèi)容極為豐富的研究課題，其有著大量的研究成果。文獻(xiàn)[1]討論了方程φ(n)=2ω(n)3ω(n)5ω(n)的可解性，給出了其正整數(shù)解的情況；文獻(xiàn)[2]討論了方程φ[φ(x)]=2t的可解性；文獻(xiàn)[3]討論了方程φ(m)=2Ω(m)+ω(m)3Ω(m)+ω(m)與φ(m)=2Ω(m)-ω(m)3Ω(m)-ω(m)的可解性，給出這兩個方程的正整數(shù)解的情況；文獻(xiàn)[4]利用初等方法給出方程φ[φ(n)]=2Ω(n)的所有正整數(shù)解；文獻(xiàn)[5]基于整數(shù)的分解給出了方程φ(n)=2Ω(n)3Ω(n)的正整數(shù)解；文獻(xiàn)[6]給出了方程φ{(diào)φ[φ(n)]}=2ω(n)的所有正整數(shù)解。

為將Lehmer同余式的模從素數(shù)的平方推廣到任意正整數(shù)的平方，CAI等[7]引入了廣義Euler函數(shù)φe(n)，其中e為正整數(shù)。對于包含廣義Euler函數(shù)φe(n)的方程的可解性問題也有著豐富的研究內(nèi)容。文獻(xiàn)[8]討論了方程φe(n)=2tω(n)的可解性，給出了其部分正整數(shù)解，其中e=2,3,4,6；文獻(xiàn)[9]討論了方程φ2(n)=2ω(n)與方程φ2[φ2(n)]=2ω(n)的可解性，獲得了這2個方程的所有正整數(shù)解；文獻(xiàn)[10]利用初等方法及廣義Euler函數(shù)φ2(m)的性質(zhì)給出了方程φ2(m)=2ω(m)3ω(m)的一切正整數(shù)解。筆者將利用函數(shù)φ2(m)的性質(zhì)以及分類分段的討論方式來討論方程式(1)的可解性問題，給出該方程的正整數(shù)解的情況。

φ2(m)=2ω(m)3Ω(m)，

(1)

式中函數(shù)Ω(m)均為正整數(shù)m的質(zhì)因子個數(shù)函數(shù)，函數(shù)ω(m)均為正整數(shù)m的互異質(zhì)因子個數(shù)函數(shù)。

1 主要結(jié)論及其證明

定理1方程式(1)有正整數(shù)解m=13, 91, 95, 111, 146, 436, 665, 741, 777, 962, 1 022, 1 090, 1 304, 2 812, 3 052, 3 260, 5 187, 6 734, 7 030, 7 630, 8 322, 8 502, 9 128, 11 688, 19 684, 22 820, 24 852,25 428,29 220, 49 210, 62 130, 63 570, 74 328, 81 816, 177 996, 185 820, 204 540, 520 296, 434 910, 1 300 740, 3α×37, 3α×247, 3α×259, 3α×1 729, 3α×2 834, 3α×3 896, 3α×8 284, 3α×8 476, 3α×9 740, 3α×19 418, 3α×19 838, 3α×20 710, 3α×21 190, 3α×24 776, 3α×27 272, 3α×59 332, 3α×61 940, 3α×68 180, 3α×144 970, 3α×173 432, 3α×433 580,其中α≥2,為整數(shù)。證明顯然m=1,2不是方程式(1)的正整數(shù)解，則m≥3，可分m為單數(shù)與m為雙數(shù)的情況進(jìn)行討論。

情況1當(dāng)m為單數(shù)，此時設(shè)m=q1α1q2a2…qtαt≥3是m的標(biāo)準(zhǔn)分解式，其中q1

(2)

即有

q1α1-1(q1-1)q2α2-1(q2-1)…qtαt-1(qt-1)=2t+1×3α1+α2+…+αt。

(3)

在式(3)的右端只有唯一的單因數(shù)3，則指數(shù)α1,α2,…,αt中只能有1個可以滿足αi≥2，1≤i≤t。因q1

(q1-1)(q2-1)…(qt-1)=2t+1×3t，

(4)

而當(dāng)t≥2，且α=α1≥2時，由式(3)有

(q2-1)…(qt-1)=2t×3t。

(5)

① 當(dāng)t=1時，有：

當(dāng)α1=1時，由式(4)有q1-1=22×3，則q1=13，因而此時m=13是方程(1)的1個解。當(dāng)α1≥2時，由式(3)有q1α1-1(q1-1)=22×3α1，此時無單質(zhì)數(shù)解。

② 當(dāng)t=2時,有：

當(dāng)α1=α2=1時，由式(4)有(q1-1)(q2-1)=23×32，因而有q1=3，q2=37或q1=5，q2=19或q1=7，q2=13，因而此時方程(1)有3個解m=3×37=111，m=5×19=95，m=7×13=91。

當(dāng)α=α1≥2時，由式(5)有q2-1=22×32，則q2=22×32+1=37，則此時方程(1)有解m=3α×37，其中α≥2為整數(shù)。

③ 當(dāng)t=3時,有：當(dāng)α1=α2=α3=1時，由式(4)有(q1-1)(q2-1)(q3-1)=24×33，因而有q1=3，q2=7，q3=37或q1=3，q2=13，q3=19或q1=5，q2=7，q3=19,因而此時方程(1)有3個解m=3×7×37=777，m=3×13×19=741，m=5×7×19=665。

當(dāng)α=α1≥2時，由式(5)有(q2-1)(q3-1)=23×33，則有q2=7，q3=37或q2=13，q3=19，因而此時方程(1)有2個解m=3α×7×37=3α×259，m=3α×13×19=3α×247，其中α≥2為整數(shù)。

④ 當(dāng)t=4時,有：

當(dāng)α1=α2=α3=α4=1時，由式(4)有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)=25×34，因而有q1=3，q2=7，q3=13，q4=19，因而此時方程(1)有解m=3×7×13×19=5 187。

當(dāng)α=α1≥2時，由式(5)有(q2-1)(q3-1)(q4-1)=24×34，則有q2=7，q3=13，q4=19，因而此時方程(1)有解m=3α×7×13×19=3α×1 729，其中α≥2為整數(shù)。

⑤ 當(dāng)t≥5時,有：

情況2當(dāng)m為雙數(shù)，此時設(shè)m=2βq1α1q2a2…qtαt>3是m的標(biāo)準(zhǔn)分解式，其中q1

(6)

即有2β-1q1α1-1(q1-1)q2α2-1(q2-1)…qtαt-1(qt-1)=2t+2×3β+α1+α2+…+αt。同m為單數(shù)時的討論可知，只可能有α=α1≥2，而αj=1;j=2,3,…,t，并且此時有q1=3。因而當(dāng)α1=α2=…=αt=1時，有

(q1-1)(q2-1)…(qt-1)=2t+3-β×3β+t，

(7)

而當(dāng)t≥2，且α=α1≥2時，則有

(q2-1)…(qt-1)=2t+2-β×3β+t。

(8)

① 當(dāng)t=1時，有：

當(dāng)α1=1時，由式(7)有q1-1=24-β×3β+1。當(dāng)β=1時，有q1-1=23×32，則q1=73，則此時方程(1)有解m=2×73=146；當(dāng)β=2時，有q1-1=22×33，則q1=109，則此時方程(1)有解m=22×109=436；當(dāng)β=3時，有q1-1=2×34，則q1=163，則此時方程(1)有解m=23×163=1 304；當(dāng)β≥4時，方程(1)無解。當(dāng)α=α1≥2時，有2β×3α-1=23×3β+α，不可能，故此時方程(1)無解。

② 當(dāng)t=2時,有：

當(dāng)α1=α2=1時，由式(7)有(q1-1)(q2-1)=25-β×3β+2。當(dāng)β=1時，有(q1-1)(q2-1)=24×33，則q1=5，q2=109或q1=7，q2=73或q1=13，q2=37，則此時方程(1)有3個解m=2×5×109=1 090，m=2×7×73=1 022，m=2×13×37=962；當(dāng)β=2時，有(q1-1)(q2-1)=23×34，則q1=5，q2=163或q1=7，q2=109或q1=19，q2=37，則此時方程(1)有3個解m=22×5×163=3 260，m=22×7×109=3 052，m=22×19×37=2 812；當(dāng)β=3時，有(q1-1)(q2-1)=22×35，則q1=3，q2=487或q1=7，q2=163，則此時方程(1)有2個解m=23×3×487=11 688，m=23×7×163=9 128；當(dāng)β≥4時，方程(1)無解。

當(dāng)α=α1≥2時，由式(8)有q2-1=24-β×3β+2，則當(dāng)β=1時，有q2=217非質(zhì)數(shù)，此時方程(1)無解；當(dāng)β=2，有q2=325非質(zhì)數(shù)，此時方程(1)無解；當(dāng)β=3，有q2=487，此時方程(1)有解m=23×3α×487=3α×3 896，其中α≥2為整數(shù)；當(dāng)β≥4時，方程(1)無解。

③ 當(dāng)t=3時，有：

當(dāng)α1=α2=α3=1時，由式(7)有(q1-1)(q2-1)(q3-1)=26-β×3β+3。當(dāng)β=1時，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)=25×34，則q1=3，q2=13，q3=109或q1=3，q2=19，q3=73或q1=5，q2=7，q3=109或q1=5，q2=19，q3=37或q1=7，q2=13，q3=37，則此時方程(1)有5個解m=2×3×13×109=8 502，m=2×3×19×73=8 322，m=2×5×7×109=7 630，m=2×5×19×37=7 030，m=2×7×13×37=6 734；當(dāng)β=2時，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)=24×35，則q1=3，q2=5，q3=487或q1=3，q2=13，q3=163或q1=3，q2=19，q3=109或q1=5，q2=7，q3=163或q1=7，q2=19，q3=37，則此時方程(1)有5個解m=22×3×5×487=29 220，m=22×3×13×163=25 428，m=22×3×19×109=24 852，m=22×5×7×163=22 820，m=22×7×19×37=19 684；當(dāng)β=3時，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)=23×36，則q1=3，q2=7，q3=487或q1=3，q2=19，q3=163，則此時方程(1)有2個解m=23×3×7×487=81 816，m=23×3×19×163=74 328；當(dāng)β≥4時，方程(1)無解。

當(dāng)α=α1≥2時，由式(8)有(q2-1)(q3-1)=25-β×3β+3，則當(dāng)β=1時，有q2=13，q3=109，此時方程(1)有解m=2×3α×13×109=3α×2 834，其中α≥2為整數(shù)；當(dāng)β=2時，有q2=5，q3=487或q2=13，q3=163或q2=19，q3=109，此時方程(1)有3個解m=22×3α×5×487=3α×9 740，m=22×3α×13×163=3α×8 476，m=22×3α×19×109=3α×8 284，其中α≥2為整數(shù)；當(dāng)β=3時，有q2=7，q3=487或q2=19，q3=163，此時方程(1)有2個解m=23×3α×7×487=3α×27 272，m=23×3α×19×163=3α×24 776，其中α≥2為整數(shù)；當(dāng)β≥4時，方程(1)無解。

④ 當(dāng)t=4時，有：

當(dāng)α1=α2=α3=α4=1時，由式(7)有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)=27-β×3β+4。當(dāng)β=1時，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)=26×35，則q1=3，q2=5，q3=13，q4=163或q1=3，q2=5，q3=19，q4=109或q1=5，q2=7，q3=19，q4=37，則此時方程(1)有3個解m=2×3×5×13×163=63 570，m=2×3×5×19×109=62 130，m=2×5×7×19×37=49 210；當(dāng)β=2時，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)=25×36，則q1=3，q2=5，q3=7，q4=487或q1=3，q2=5，q3=19，q4=163或q1=3，q2=7，q3=13，q4=163，則此時方程(1)有3個解m=22×3×5×7×487=204 540，m=22×3×5×19×163=185 820，m=22×3×7×13×163=177 996；當(dāng)β=3時，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)=24×37，則q1=3，q2=7，q3=19，q4=163，方程(1)有1個解m=23×3×7×19×163=520 296；當(dāng)β≥4時，方程(1)無解。

當(dāng)α=α1≥2時，由式(8)有(q2-1)(q3-1)(q4-1)=26-β×3β+4，則當(dāng)β=1時，有q2=5，q3=13，q4=163或q2=5，q3=19，q4=109或q2=7，q3=13，q4=109或q2=7，q3=19，q4=73，此時方程(1)有4個解m=2×3α×5×13×163=3α×21 190，m=2×3α×5×19×109=3α×20 710，m=2×3α×7×13×109=3α×19 838，m=2×3α×7×19×73=3α×19 418，其中α≥2為整數(shù)；當(dāng)β=2時，有q2=5，q3=7，q4=487或q2=5，q3=19，q4=163或q2=7，q3=13，q4=163，此時方程(1)有3個解m=22×3α×5×7×487=3α×68 180，m=22×3α×5×19×163=3α×61 940，m=22×3α×7×13×163=3α×59 332，其中α≥2為整數(shù)；當(dāng)β=3時，有q2=7，q3=19，q4=163，此時方程(1)有解m=23×3α×7×19×163=3α×173 432，其中α≥2為整數(shù)；當(dāng)β≥4時，方程(1)無解。

⑤ 當(dāng)t=5時，有：

當(dāng)α1=α2=α3=α4=α5=1時，由式(7)有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)(q5-1)=28-β×3β+5。當(dāng)β=1時，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)(q5-1)=27×36，則q1=3，q2=5，q3=7，q4=19，q5=109，則此時方程(1)有解m=2×3×5×7×19×109=434 910；當(dāng)β=2時，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)(q5-1)=26×37，則q1=3，q2=5，q3=7，q4=19，q5=163，則此時方程(1)有解m=22×3×5×7×19×163=1 300 740；當(dāng)β=3時，有(q1-1)(q2-1)(q3-1)(q4-1)(q5-1)=25×38無互異的單質(zhì)數(shù)解，則此時方程(1)無解；當(dāng)β≥4時，方程(1)無解。

當(dāng)α=α1≥2時，由式(8)有(q2-1)(q3-1)(q4-1)(q5-1)=27-β×3β+5，則當(dāng)β=1時，有q2=5，q3=7，q4=19，q5=109，則此時方程(1)有解m=2×3α×5×7×19×109=3α×144 970，其中α≥2為整數(shù)；當(dāng)β=2時，有q2=5，q3=7，q4=19，q5=163，則此時方程(1)有解m=22×3α×5×7×19×163=3α×433 580，其中α≥2為整數(shù)；當(dāng)β=3時，此時方程(1)無解；當(dāng)β≥4時，方程(1)無解。

⑥ 當(dāng)t≥6時，有：

綜合以上討論，可得本文定理1的結(jié)論。證畢。