單無源傳感器平臺非線性濾波技術(shù)

李彬彬 楊揚 劉爽

1.解放軍66061 部隊北京100144

信息化條件下戰(zhàn)場態(tài)勢信息的實時獲取是聯(lián)合作戰(zhàn)中快速決策、有序指揮、穩(wěn)步行動的關(guān)鍵,是作戰(zhàn)規(guī)劃實現(xiàn)“快變” 的重要基礎(chǔ)和前提[1?2].無源傳感器平臺通過被動接收來自目標(biāo)的輻射信息,實現(xiàn)對目標(biāo)的定位和跟蹤,能夠作為無源傳感器平臺的有效補充,是戰(zhàn)場態(tài)勢信息獲取的重要手段之一.純方位單無源傳感器目標(biāo)定位與跟蹤是無源傳感器應(yīng)用中的一類典型問題,由于只能獲得目標(biāo)的角度信息而無法獲得距離信息,單無源傳感器具有可觀測性弱、量測方程高度非線性且濾波不穩(wěn)定等特點.因此,研究穩(wěn)定高效的純方位單無源傳感器平臺非線性濾波技術(shù)具有十分重要的意義.

1 無源傳感器目標(biāo)跟蹤技術(shù)概述

采用無源方式工作的傳感器探測系統(tǒng)本身不向外輻射電磁波,而是通過天線接收來自目標(biāo)輻射的直射波,或外部輻射源照射目標(biāo)后形成的反射波,或散射波所攜帶的信息,經(jīng)過數(shù)據(jù)處理完成對目標(biāo)的定位和跟蹤[3].基于無源探測的定位跟蹤系統(tǒng)能夠利用未知位置輻射源的輻射信息,確定出該輻射源的類型及其空間或地理位置;或利用已知地理位置的輻射源確定航行中物體的空間或地理位置,進(jìn)而進(jìn)行跟蹤.

與有源傳感器探測系統(tǒng)相比,無源傳感器探測系統(tǒng)具有作用距離遠(yuǎn)、接收隱蔽、不易被對方察覺的優(yōu)點,因而無源傳感器探測系統(tǒng)具有極強的生存能力和反隱身能力,是現(xiàn)代一體化防空系統(tǒng)、機載對地、對海攻擊,以及對付隱身目標(biāo)的遠(yuǎn)程預(yù)警系統(tǒng)的重要組成部分,對于提高系統(tǒng)在電子戰(zhàn)環(huán)境下的生存能力和作戰(zhàn)能力具有重要作用,同時在航海、航空、宇航、偵察、測控、救援等研究中也扮演著重要的角色[4?5].

1.1 無源傳感器目標(biāo)跟蹤技術(shù)主要特點

無源傳感器的量測類型主要包括角度、角度變化率、時間差、多普勒頻率差和變化率等,基于不同形式的量測產(chǎn)生了多種不同的定位跟蹤方法.而其中采用角度量測的純方位無源傳感器定位跟蹤是一類典型問題,國內(nèi)外大量學(xué)者對此展開了深入的研究.對于只能獲得角度量測的純方位無源傳感器系統(tǒng),具有以下兩個主要特點.

1.1.1 量測模型高度非線性

在直角坐標(biāo)系中,純方位無源傳感器系統(tǒng)的量測模型為非線性映射,即目標(biāo)狀態(tài)變量與量測之間的關(guān)系為反正切變換,利用純方位無源傳感器對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時無法應(yīng)用經(jīng)典的卡爾曼濾波,因此,獲得穩(wěn)定且高效的非線性濾波方法是解決無源傳感器目標(biāo)跟蹤問題的關(guān)鍵.

1.1.2 不完全可測性

根據(jù)可觀測性的定義[6],對于目標(biāo)跟蹤系統(tǒng),若k時刻目標(biāo)狀態(tài)可由[k,k+t0]時間間隔內(nèi)的量測唯一地確定,則稱該系統(tǒng)是可觀測的;如果對于任意時刻系統(tǒng)都是可觀測的,那么該系統(tǒng)是完全可觀測的.由可觀測性的定義可知,純方位單無源傳感器在某一時刻只能獲得目標(biāo)的角度信息,無法獲得位置信息,因此,往往無法得到狀態(tài)估計的唯一解.

1.2 無源傳感器目標(biāo)跟蹤技術(shù)研究現(xiàn)狀

對于純方位無源傳感器,由于其所獲得的量測形式為目標(biāo)的方位角或俯仰角,呈現(xiàn)了高度的非線性,因此,無法應(yīng)用經(jīng)典的卡爾曼濾波(Kalman Filter,KF)算法得到最小均方誤差估計(Minimum Mean Square Error Estimation,MMSE).在導(dǎo)航系統(tǒng)、雷達(dá)跟蹤、聲納搜索以及衛(wèi)星和飛行器軌道估計等實際系統(tǒng)中,非線性問題普遍存在,因此,非線性估計得到越來越廣泛的關(guān)注[7?8].

嚴(yán)格的非線性系統(tǒng)估計是十分困難的,最優(yōu)非線性估計需要條件概率密度的完整表述.隨著時間的推移,完整地描述條件概率密度所需的維數(shù)急劇膨脹,迅速增長的運算量和存儲量導(dǎo)致無法獲得其精確的解析解.因此,人們提出大量的次優(yōu)近似算法解決這一問題.

應(yīng)用較為廣泛的次優(yōu)近似濾波算法為擴展卡爾曼濾波(Extened Kalman Filter,EKF).該方法利用泰勒級數(shù)將非線性狀態(tài)模型在當(dāng)前狀態(tài)估計,或?qū)⒘繙y模型在狀態(tài)一步預(yù)測處展開并取一階近似進(jìn)行線性化,然后套用線性濾波理論求解原非線性濾波問題.EKF 的突出優(yōu)點是計算量小,實時性高,因此,廣泛地應(yīng)用于眾多非線性濾波問題中.與此同時,EKF也存在著不可避免的缺陷.由于在線性化時需要計算雅克比矩陣,所以當(dāng)存在不可微的情況時,無法進(jìn)行有效的濾波;此外,在模型非線性程度較強時,EKF的濾波精度嚴(yán)重降低;而當(dāng)狀態(tài)及協(xié)方差的初始值無法準(zhǔn)確確定時,也容易導(dǎo)致濾波的發(fā)散.

由于近似狀態(tài)變量的概率密度分布比近似非線性函數(shù)更為容易[9],使用加權(quán)采樣近似狀態(tài)概率密度分布的非線性濾波方法得到了普遍關(guān)注.

這種方法的特點是選取一組加權(quán)樣本,通過其演化與傳播遞推近似狀態(tài)的概率密度函數(shù),因此,不需要計算雅克比矩陣.根據(jù)采樣方式的不同,可分為隨機采樣非線性濾波和確定性采樣非線性濾波.

粒子濾波(Particle Filter,PF)是基于隨機采樣的非線性濾波算法[10?11].它采用一系列滿足狀態(tài)概率密度函數(shù)的獨立同分布粒子近似該密度函數(shù),利用隨機仿真處理非線性遞推估計,是一種統(tǒng)計濾波方法.PF 不受線性化誤差或高斯噪聲假定的限制,適用于任何非高斯非線性動態(tài)系統(tǒng).PF 同樣存在一些有待解決的問題:由于PF 采用隨機采樣,其產(chǎn)生的誤差累計可能導(dǎo)致濾波發(fā)散;為了保證濾波的精度和收斂,并且避免粒子退化,在濾波過程中需要使用大量粒子,因此,其計算量較大,計算負(fù)擔(dān)較重[12?13].

確定性采樣通過某種確定性變換,選取確定的而非隨機的采樣點近似狀態(tài)的概率密度函數(shù).采樣點通過非線性映射傳遞狀態(tài)變量的統(tǒng)計特性,然后對其加權(quán)獲得變換后狀態(tài)變量的均值和協(xié)方差估計.確定性采樣的使用避免了PF 計算量大、粒子退化等問題.典型的基于確定性采樣的非線性濾波方法包括無跡變換卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter,UKF)和高斯-厄密特濾波(Gauss-Hermite Filter,GHF)等.

UKF[14?15]運用無跡變換(Unscented Transformation,UT)估計經(jīng)過非線性變換后狀態(tài)變量的均值和協(xié)方差.與EKF 中基于泰勒級數(shù)展開的線性化方法相比,UT 具有更高的精度,并且對系統(tǒng)的非線性強度不敏感.GHF[16]是另一種基于確定性采樣的非線性濾波方法,其對狀態(tài)變量的概率密度函數(shù)進(jìn)行了高斯近似,通過一組Hermite 多項式構(gòu)造對稱矩陣,利用該對稱矩陣獲得確定的積分點及相應(yīng)的權(quán)值,并根據(jù)Gauss-Hermite 積分規(guī)則獲得遞推非線性濾波公式.GHF 能夠通過選取不同數(shù)量的積分點和相應(yīng)權(quán)值提高均值和協(xié)方差估計的精度.當(dāng)假設(shè)系統(tǒng)變量服從高斯分布時,UT 可以看作是Gauss-Hermite 積分的簡化形式或特例[16?17].本文基于GHF 對純方位單無源傳感器目標(biāo)跟蹤問題進(jìn)行了研究[18?19].

2 基于GHF 的目標(biāo)跟蹤方法

GHF 通過對狀態(tài)概率密度函數(shù)的近似,避免了雅可比矩陣的求解問題,并且可以通過選取積分點和相應(yīng)的權(quán)值,提高目標(biāo)狀態(tài)估計的精度.

GHF 是基于確定性采樣的遞推貝葉斯濾波方法,通過時間預(yù)測和量測更新獲得基于當(dāng)前時刻量測值的狀態(tài)后驗概率密度函數(shù).首先討論在時間預(yù)測和量測更新過程中概率密度函數(shù)的近似方法.

2.1 概率密度函數(shù)的高斯近似

使用狀態(tài)方程和量測方程表示具有加性噪聲的非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型:

其中,X(k)∈Rn為n維狀態(tài)向量,Z(k)∈Rm為m維量測向量,f:Rn→Rn是系統(tǒng)狀態(tài)演化映射,h:Rn→Rm是量測映射,W(k)是n維過程噪聲,V(k)是m維量測噪聲,假設(shè)過程噪聲和量測噪聲為相互獨立的零均值高斯白噪聲,其方差分別為Q(k)和R(k).

最優(yōu)非線性濾波就是在給定量測{Z(j)}j=1:k的條件下獲得狀態(tài)向量X(k)的條件期望,為描述簡便,將其概率密度函數(shù)記為pk|k(X).假設(shè)pk|k(X)服從高斯分布,根據(jù)貝葉斯公式,pk|k(X)可由式(3)和式(4)獲得.

其中,c為標(biāo)準(zhǔn)化常量,pk|k?1(X)為在給定量測{Z(j)}j=1:k?1的條件下狀態(tài)向量一步預(yù)測的概率密度函數(shù).遞推式(3)和式(4)分別表示了時間預(yù)測和量測更新過程,為實現(xiàn)遞推濾波對其構(gòu)造高斯近似.

首先在時間預(yù)測過程中,用與pk|k?1(X)有著相同均值和協(xié)方差的高斯分布近似pk|k?1(X).根據(jù)富比尼理論,pk|k?1(X)的均值和協(xié)方差分別定義為

和

由此,假設(shè)pk?1|k?1(X)是一個均值為(k?1|k?1),協(xié)方差為P(k?1|k?1)的高斯分布,那么對均值為(k|k?1)、協(xié)方差為P(k|k?1)的概率密度函數(shù)pk|k?1(X)進(jìn)行高斯近似時可將其定義為

在量測更新過程中,用式(7)和式(8)定義的高斯近似表示pk|k?1(X),定義更新過程

依然在{Z(j)}j=1:k?1的量測條件下,對(X(k),h(X(k)))的條件分布進(jìn)行高斯近似,即用高斯分布Y對Ek|k?1[h(X)]進(jìn)行近似,而Y的概率密度函數(shù)由均值為,協(xié)方差為PXY的高斯分布給出定義

至此,能夠?qū)Ω怕拭芏群瘮?shù)pk|k(X)進(jìn)行高斯近似,將其均值(k|k)和協(xié)方差P(k|k)分別定義為

式中,L(k)為濾波增益,PXY為狀態(tài)向量與量測向量間的互協(xié)方差,將其分別定義為

由此可以通過式(12)～式(15)在量測{Z(j)}j=1:k條件下,對狀態(tài)向量X(k)進(jìn)行非線性估計.

2.2 高斯-厄密特積分規(guī)則

對于上述遞推過程中的積分形式,由于很難獲得其精確的解析解,因此,考慮對其進(jìn)行近似獲得次優(yōu)解.通過高斯-厄密特積分規(guī)則對上述積分進(jìn)行近似,從而得到高斯-厄密特遞推濾波方程.

2.2.1 一維高斯-厄密特積分規(guī)則

對于一維標(biāo)量隨機變量x,假設(shè)其服從高斯分布,并且其概率密度函數(shù)為N(x;0,1),則有

采用文獻(xiàn)[14,16]中的方法,通過構(gòu)造對稱矩陣獲得積分點ξl和相應(yīng)的權(quán)重ωl.假設(shè)J是一個對稱矩陣,其對角線元素為零,并且

用εl表示矩陣J的第l個特征值,則積分點其相應(yīng)的權(quán)重為其中,(υl)1為矩陣J的第l個標(biāo)準(zhǔn)化特征向量的第一個元素.

以m=3 為例,采用上述方法可以求得積分點分別為其相應(yīng)的權(quán)重分別為ω1=1/6,ω2=2/3,ω3=1/6.

2.2.2n維高斯-厄密特積分規(guī)則

當(dāng)X為向量隨機變量時,假設(shè)X的概率密度函數(shù)為N(X;0,In).其中,In是n×n單位陣.若X的各元素之間不相關(guān),則一維高斯-厄密特積分規(guī)則可以擴展為多維高斯-厄密特積分規(guī)則[15]:

式中,ξl=

若X的概率密度函數(shù)為時,為獲得對積分的近似,首先將Σ 進(jìn)行矩陣分解,矩陣分解可以采用多種形式,如喬里斯基分解(Cholesky Decomposition,CD)、奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)和特征值分解(Eigenvector Decomposition,ED)等.將分解后的協(xié)方差矩陣平方根寫為即

則對于式

可以看出,式(20)的形式與式(18)相同,利用n維高斯-厄密特積分規(guī)則,對式(20)進(jìn)行近似可得

2.3 高斯-厄密特濾波步驟

通過上述高斯-厄密特積分規(guī)則得到高斯-厄密特濾波的遞推公式.

2.3.1 預(yù)測過程

設(shè)k?1 時刻,系統(tǒng)的狀態(tài)及協(xié)方差估計分別為(k?1|k?1),P(k?1|k?1).將P(k?1|k?1)進(jìn)行矩陣分解,為了避免非正定的影響,選用奇異值分解.

則狀態(tài)預(yù)測值為

預(yù)測誤差協(xié)方差為

2.3.2 更新過程

分解協(xié)方差矩陣P(k|k?1),仍然利用采樣點計算

狀態(tài)和量測的互協(xié)方差為

量測預(yù)測協(xié)方差PZZ為

濾波增益L(k)為

最后可獲得k時刻系統(tǒng)的狀態(tài)估計(k|k)及誤差協(xié)方差P(k|k):

由上述遞推過程可以看出,高斯-厄密特濾波通過非線性系統(tǒng)狀態(tài)向量的概率密度函數(shù)的近似避免了計算雅克比矩陣,克服了EKF 中存在不可微時的缺陷.

3 結(jié)論

本文全面介紹了單無源傳感器目標(biāo)跟蹤中的非線性濾波.由于量測模型的高度非線性和不完全可觀測性給非線性估計帶來較大困難,在對比分析現(xiàn)有非線性濾波技術(shù)的特點和弊端的基礎(chǔ)上,詳細(xì)討論了如何通過高斯-厄密特濾波,實現(xiàn)單無源傳感器平臺目標(biāo)跟蹤方法.基于定性分析表明,高斯-厄密特濾波能夠?qū)崿F(xiàn)有效可行的單無源傳感器平臺目標(biāo)跟蹤.