試論初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想和方法的滲透

陳穎強(qiáng)

【摘要】數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)方法是指利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述與解釋事物狀態(tài)、關(guān)系及過(guò)程，并加以推導(dǎo)、演算從而形成判斷、預(yù)測(cè)及解決的方法。數(shù)學(xué)思想是映射在數(shù)學(xué)頭腦中的空間與數(shù)量意識(shí)，而數(shù)學(xué)方法則是數(shù)學(xué)思想的外在表現(xiàn)。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想和方法，將使學(xué)生由對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的表象認(rèn)知轉(zhuǎn)化為理性、客觀且直達(dá)本質(zhì)的認(rèn)知?；诖?，文章結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、圍繞具體教學(xué)案例，從多維度探究初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想和方法的滲透策略。

【關(guān)鍵詞】初中? 數(shù)學(xué)教學(xué)? 數(shù)學(xué)思想? 數(shù)學(xué)方法

【中圖分類號(hào)】G633.6 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2021）40-0085-02

一、滲透數(shù)學(xué)方法，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)思想

初中生雖然積累了一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，但抽象思維能力、對(duì)比分析及邏輯推理能力較為薄弱，單純從數(shù)學(xué)思想和方法出發(fā)指導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本程序、空間及數(shù)量關(guān)系規(guī)律等難度較大。這就需要教師以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，在教學(xué)中切忌直接揭示數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則、數(shù)學(xué)定理等，而是要開展數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷于生活及社會(huì)實(shí)際中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，借助數(shù)學(xué)知識(shí)及技巧分析與解釋問(wèn)題，依靠自身生活及學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的過(guò)程，并通過(guò)過(guò)程及學(xué)習(xí)結(jié)果回溯掌握多種多樣的數(shù)學(xué)方法，初步了解數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵及其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用價(jià)值[1]。

以“三角形全等的判定（SAS ）”教學(xué)為例，教師以實(shí)踐為導(dǎo)入，請(qǐng)學(xué)生作一個(gè)角∠A1O1B1等于已知角∠AOB，連接繪圖中形成的點(diǎn)CD、C1D1，形成△COD與△C1O1D1，引導(dǎo)學(xué)生回憶作圖過(guò)程，分析兩個(gè)三角形中相等的條件。學(xué)生討論與交流后會(huì)發(fā)現(xiàn)OD=O1D1，OC=O1C1，∠COD=C1O1D1，△COD≌△C1O1D1。接下來(lái)請(qǐng)學(xué)生總結(jié)該三角形全等判定規(guī)律。

當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，得到“SAS”三角形全等判定定理后，教師出示例題，請(qǐng)學(xué)生仔細(xì)審題后以口頭語(yǔ)言描述利用“SAS”證明兩三角形全等的步驟。教師根據(jù)學(xué)生表述進(jìn)行板書，清晰列出2～3道例題的基本解題程序。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的語(yǔ)言表征后，教師請(qǐng)學(xué)生觀察例題的基本解題程序，思考可否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，如符號(hào)、公式等進(jìn)一步簡(jiǎn)化三角形全等證明題流程。該階段由小組合作完成，各小組討論結(jié)束后進(jìn)行展示，其余小組進(jìn)行補(bǔ)充與完善等，由此形成指明范圍—擺齊條件—寫出結(jié)論的解題規(guī)范形式，且在“擺齊條件”下學(xué)生以“AB=A′B′;∠A=∠A′;AC=A′C′”數(shù)學(xué)語(yǔ)言清晰列出證明三角形全等的條件。

上述教學(xué)案例中主要滲透的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合與多元表征思想，所涉及的數(shù)學(xué)方法主要為歸納法、數(shù)學(xué)建模方法，由學(xué)生自主經(jīng)歷數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果過(guò)程，建構(gòu)證明三角形全等的基本程序并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以描述，可以在滲透多元數(shù)學(xué)方法的同時(shí)幫助學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)思想。

二、訓(xùn)練數(shù)學(xué)方法，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解

數(shù)學(xué)思想內(nèi)容豐富，如數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、函數(shù)方程思想、類比思想等，與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)方法也多種多樣，包括綜合法、反證法、歸納法、代入法、消元法等。初中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中應(yīng)深入挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)習(xí)題內(nèi)隱含的數(shù)學(xué)思想和方法，依靠學(xué)生內(nèi)心體驗(yàn)及自主學(xué)習(xí)意識(shí)將數(shù)學(xué)思想和方法巧妙滲透至學(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)及解題過(guò)程中，循序漸進(jìn)地深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解程度、對(duì)數(shù)學(xué)方法的掌握程度，并提升學(xué)生思維靈活性與敏銳性，進(jìn)而為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題奠定堅(jiān)實(shí)有力的基礎(chǔ)[2]。

以“解二元一次方程組”教學(xué)為例，學(xué)生此前已經(jīng)學(xué)習(xí)并理解一元一次方程概念及其解法、二元一次方程定義等知識(shí)，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)在于使學(xué)生掌握運(yùn)用消元法解決二元一次方程的技巧。消元法這一數(shù)學(xué)方法中隱含著數(shù)學(xué)化歸思想，即將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化。在教授本節(jié)課知識(shí)時(shí)，部分教師通常結(jié)合示例演示代入消元法求解二元一次方程組的步驟，違背了數(shù)學(xué)思想和方法的形成規(guī)律。為改善此種教學(xué)現(xiàn)狀，教師可以雞兔同籠問(wèn)題為導(dǎo)入，請(qǐng)學(xué)生思考在未學(xué)習(xí)方程前如何解決雞兔同籠問(wèn)題？即將“14個(gè)頭”全部視作雞，共有28個(gè)腳，則差10條腿，將每只雞補(bǔ)齊兩條腿，則有5只兔子，4只雞。其中便隱含著二元一次方程組的解法，教師請(qǐng)學(xué)生列出該雞兔同籠問(wèn)題的方程式，思考“38-2×14”這一結(jié)果由兩個(gè)式子怎樣變化得來(lái)，變化后式子中是否還有兩個(gè)未知數(shù)？通過(guò)實(shí)踐及問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解二元一次方程組的要點(diǎn)在于消去一個(gè)未知數(shù)，教師再次引導(dǎo)：怎樣消去一個(gè)未知數(shù)？——求未知項(xiàng)前常數(shù)的最小公倍數(shù)——求完后？——兩式子相減——求解一元一次方程——另一個(gè)未知數(shù)怎么求？——代入原式。

在上述教學(xué)案例中，從學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題入手，使得基本代數(shù)知識(shí)與方程知識(shí)融匯貫通，可以訓(xùn)練學(xué)生類比、推導(dǎo)數(shù)學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生深入感悟化歸思想。

三、掌握數(shù)學(xué)方法，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)需要經(jīng)歷聽講、復(fù)習(xí)才能得以鞏固。數(shù)學(xué)思想與方法的形成也是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于為學(xué)生提供反復(fù)訓(xùn)練與實(shí)踐的機(jī)會(huì)，促使學(xué)生不斷調(diào)整自身的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將數(shù)學(xué)思想和方法同化至認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，當(dāng)面對(duì)不同數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)能夠快速、靈活地調(diào)取儲(chǔ)存在認(rèn)知結(jié)構(gòu)內(nèi)的數(shù)學(xué)思想與方法高效率、準(zhǔn)確性地解決問(wèn)題[3]。

以“一元一次不等式”教學(xué)為例，此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)不等式及一元一次方程的概念，教師可以由舊知識(shí)引入，請(qǐng)學(xué)生通過(guò)類比法、綜合法嘗試總結(jié)一元一次不等式的意義。在指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)不等式解集的概念時(shí)，教師請(qǐng)學(xué)生在數(shù)軸上標(biāo)記處不等式解的范圍，請(qǐng)學(xué)生通過(guò)集體討論與自主探究說(shuō)出不等式的解的特點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到不等式的解為一個(gè)集合，即在集合內(nèi)的所有數(shù)都可以使不等式成立。為深化學(xué)生對(duì)不等式解集的理解，教師可以請(qǐng)學(xué)生選取集合外的數(shù)字代入到不等式中自主檢驗(yàn)其是否滿足不等式成立的條件。此教學(xué)案例涉及數(shù)形結(jié)合及逆向思想，滲透了類比推理、總結(jié)歸納、反證等數(shù)學(xué)方法，可以增強(qiáng)學(xué)生思維活力，使學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。

再如講解“反比例函數(shù)k的幾何意義”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧反比例函數(shù)解析式，說(shuō)一說(shuō)k的符號(hào)作用。接下來(lái)呈現(xiàn)題目：設(shè)點(diǎn)P（-3，4）是反比例函數(shù)y=圖像上的一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)做向x軸，y軸引垂線，垂足分別為A、B，求矩形PAOB的面積。學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，借助所學(xué)的反比例函數(shù)知識(shí)求解。接下來(lái)，教師呈現(xiàn)變式1：將P點(diǎn)坐標(biāo)改為（-3，y），反比例函數(shù)解析式為y=-;變式2：將P點(diǎn)坐標(biāo)改為（x，y），解析式為y=。學(xué)生以小組為單位通過(guò)合作交流解決變式1、2，各小組描述自己總結(jié)的規(guī)律。教師借助幾何畫板隨機(jī)改變P點(diǎn)在圖像上的位置，使學(xué)生逐漸得出“S= |k|”這一結(jié)論。

一題多變可以為學(xué)生提供運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的充足機(jī)會(huì)，從而幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)與解題中逐漸掌握數(shù)學(xué)方法，更加合理高效地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想。

四、提煉數(shù)學(xué)方法，完善學(xué)生數(shù)學(xué)思想認(rèn)知結(jié)構(gòu)

因數(shù)學(xué)思想和方法分散在各個(gè)學(xué)段及數(shù)學(xué)知識(shí)模塊中，學(xué)生很難形成較為系統(tǒng)與完善的數(shù)學(xué)思想體系，在學(xué)習(xí)與解題中傾向于運(yùn)用常規(guī)方式分析題目或汲取知識(shí)，導(dǎo)致數(shù)學(xué)思想和方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)效果中的滲透大打折扣。為解決上述問(wèn)題，教師要善于提煉數(shù)學(xué)方法、總結(jié)數(shù)學(xué)思想，以單元為基礎(chǔ)進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，當(dāng)學(xué)習(xí)完單元知識(shí)指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)單元內(nèi)容時(shí)，教師可以借助思維導(dǎo)圖這一科學(xué)高效的思維工具幫助學(xué)生總結(jié)提煉并累積數(shù)學(xué)思想方法。

以《二次根式》單元為例，本單元涉及分類討論思想方法、數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、轉(zhuǎn)化思想等，教師以“二次根式蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法”為中心，將各類思想方法為分支引導(dǎo)學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖，針對(duì)各類思想方法設(shè)計(jì)習(xí)題并進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練。

如分類討論思想方法：已知a為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)：。因式子中（a+2）及（a-1）的符號(hào)不能確定，需要學(xué)生根據(jù)二次根式的定義及性質(zhì)等將其符號(hào)劃分為三種類型，并分類化簡(jiǎn)上式。

再如整體思想：-=2，求的值。在解決該問(wèn)題時(shí)，需要學(xué)生將已知條件兩邊平方得出x+的值，再以x+表示x2+，以此求解得數(shù)，體現(xiàn)出整體思想。

教師所選擇的題目需要具有代表性，學(xué)生完成習(xí)題后請(qǐng)其在思維導(dǎo)圖的各個(gè)分支下以自己的語(yǔ)言描述可能出現(xiàn)的情形與題目，運(yùn)用該思想方法解決問(wèn)題的思路等，以此形成學(xué)生頭腦中個(gè)性化的數(shù)學(xué)思想和方法體系，顯著提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及解題能力。

五、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)思想是指對(duì)空間及數(shù)量關(guān)系的理性認(rèn)知，數(shù)學(xué)方法則是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本程序，數(shù)學(xué)方法以數(shù)學(xué)思想為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思想以數(shù)學(xué)方法為集中體現(xiàn)，串聯(lián)起全部的數(shù)學(xué)知識(shí)與關(guān)鍵技能。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要以具體的數(shù)學(xué)知識(shí)為載體滲透數(shù)學(xué)思想和方法，將知識(shí)學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)歸還給學(xué)生，引領(lǐng)學(xué)生在建構(gòu)知識(shí)體系的過(guò)程中自然而然地接受、了解、訓(xùn)練與掌握數(shù)學(xué)思想和方法，從而在學(xué)生頭腦中形成個(gè)性化的數(shù)學(xué)思想和方法體系。

參考文獻(xiàn)：

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[3]趙輝.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法[J].青海教育，2019.