從一道初中幾何習(xí)題教學(xué)中談學(xué)生思維訓(xùn)練

杜強(qiáng)

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的活動(dòng)過(guò)程，是學(xué)生發(fā)展思維的主渠道。初中數(shù)學(xué)教材以邏輯思維為主線，編織數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)，形成知識(shí)體系。深入挖掘數(shù)學(xué)教材中的思維訓(xùn)練點(diǎn)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵切入點(diǎn)。本文從教科書中的一道習(xí)題出發(fā)，通過(guò)幾個(gè)方面談一談初中數(shù)學(xué)的思維訓(xùn)練。

【關(guān)鍵詞】思維訓(xùn)練? 發(fā)散思維? 聯(lián)想

【中圖分類號(hào)】G633.6 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2021）27-0074-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）指出，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的作用。思維作為一種能力和品質(zhì)，是人的智力的核心，是人的智慧的集中體現(xiàn)。因此這就有必要對(duì)學(xué)生進(jìn)行多種形式的思維訓(xùn)練，培養(yǎng)其科學(xué)思維能力，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項(xiàng)重要任務(wù)。

下面筆者就以新人教版八年級(jí)上冊(cè)的一道習(xí)題，談一談初中數(shù)學(xué)的思維訓(xùn)練。題目如下：

如圖①，已知△ABC的∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)G. 求證：∠BGC=90°+∠A。

這是一道證明兩角關(guān)系的常規(guī)題，難度不大，學(xué)生容易解決。但在教學(xué)過(guò)程中，不能滿足于就題論題，要根據(jù)學(xué)生認(rèn)知，深入挖掘這道題的思維訓(xùn)練價(jià)值，可以從發(fā)散思維的角度入手，抓好學(xué)生思維的啟發(fā)、引導(dǎo)、訓(xùn)練和發(fā)展。這對(duì)學(xué)生培養(yǎng)思維能力，掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，有著重要意義。

1.勇于發(fā)散，培養(yǎng)開闊的思維

數(shù)學(xué)本身是一門運(yùn)用思維的學(xué)科。初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從思維封閉狀態(tài)逐步轉(zhuǎn)化為開放狀態(tài)，能多角度、全方位、深層次地思考問(wèn)題，也就是要發(fā)散思維。發(fā)散思維具有流暢、變通、獨(dú)特等特征，它不墨守成規(guī)，不拘泥于傳統(tǒng)的做法，強(qiáng)調(diào)開拓、發(fā)散，從不同的角度去理解和掌握，從而形成開闊思維。

1.1橫向拓寬

通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，誘發(fā)提問(wèn)，讓學(xué)生各抒己見(jiàn)，建立起橫向知識(shí)的聯(lián)合。不同學(xué)生根據(jù)自己不同的理解，提供不同的信息，教師根據(jù)不同信息給予點(diǎn)撥引導(dǎo)，巧妙地設(shè)置疑惑點(diǎn)，靈活地選擇“發(fā)散點(diǎn)”就會(huì)新穎不凡，啟而得法，促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維。本題中可引導(dǎo)學(xué)生突破內(nèi)角平分線的限制，對(duì)兩條角平分線進(jìn)行如下發(fā)散：

發(fā)散1.三角形兩內(nèi)角的平分線所成之角與不相鄰內(nèi)角之間的關(guān)系（圖①）;

發(fā)散2.三角形兩外角的平分線所成之角與不相鄰內(nèi)角之間的關(guān)系（圖②）;

發(fā)散3.三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與另一個(gè)內(nèi)角的外角的平分線所成之角與不相鄰內(nèi)角之間的關(guān)系（圖③）。

以上從角平分線展開的發(fā)散思維，從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，立足教材，適當(dāng)延伸拓寬，既深入挖掘出習(xí)題的潛在功能，又有利于充分發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的橫向拓寬，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，有利于發(fā)展發(fā)散思維。

1.2縱向深入

教材中的問(wèn)題敘述多是演繹式的。學(xué)生要掌握各個(gè)概念和定理的共性和通性，還應(yīng)抓住其蘊(yùn)含的相異性和特殊性展開發(fā)散思維。對(duì)于“發(fā)散2”，學(xué)生可能會(huì)提出幾種不同作法（圖④），這是學(xué)生對(duì)三角形外角加深理解的良好契機(jī)，可以引導(dǎo)學(xué)生作出同一頂點(diǎn)處的另一個(gè)外角（圖⑤）。學(xué)生通過(guò)畫圖加深對(duì)三角形外角的認(rèn)知：一個(gè)三角形共有六個(gè)外角，在每個(gè)頂點(diǎn)處的兩個(gè)外角互為對(duì)頂角，而在研究問(wèn)題時(shí)，一個(gè)頂點(diǎn)處通常只取一個(gè)外角。在這一過(guò)程中，學(xué)生除了加深對(duì)知識(shí)的理解，同時(shí)也經(jīng)歷了發(fā)散性思考、分析問(wèn)題的體驗(yàn)，可以積累一定的思維訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)。

實(shí)踐證明，“發(fā)散思維”是把數(shù)學(xué)知識(shí)縱向深入的有效方法?？梢?jiàn)，有意識(shí)地組織“發(fā)散”思維，能使學(xué)生克服靜止思考問(wèn)題的習(xí)慣，同時(shí)能有效地提高思維的開闊性。

1.3縱橫遷移

橫向拓寬和縱向深入是有機(jī)結(jié)合的。數(shù)學(xué)本身是概念與定理的結(jié)合、理論與實(shí)際的結(jié)合。在教學(xué)過(guò)程中，要注重知識(shí)并聯(lián)與串聯(lián)并重、窮舉式發(fā)散與演繹式發(fā)散并重，要強(qiáng)化逆向思維和求異思維訓(xùn)練。圖4中的三種不同作法，啟發(fā)性很強(qiáng)，學(xué)生從了解外角的概念出發(fā)，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行思維探究，形成一個(gè)頂點(diǎn)處通常只取一個(gè)外角的經(jīng)驗(yàn)。這是順向思維。與此同時(shí)，還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思維，探究同一個(gè)頂點(diǎn)處的兩個(gè)外角的平分線是否在同一條直線上（圖⑥）？通過(guò)揭示這個(gè)學(xué)生容易忽視的現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入思考探索，激發(fā)學(xué)生高階思維，最終發(fā)現(xiàn)圖⑥和圖②是“一體”的。這樣的逆向思維對(duì)縱橫遷移知識(shí)、發(fā)展學(xué)生自主性創(chuàng)造思維很有價(jià)值。通過(guò)這樣的順逆向發(fā)散思維訓(xùn)練，對(duì)提升學(xué)生思維的深度和廣度更具有效度。

2.敢于思變，培養(yǎng)深刻的思維

在每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)過(guò)程中，不能只停留在對(duì)知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單識(shí)記層面，要有意識(shí)地發(fā)展學(xué)生的抽象概括及表達(dá)能力，要把重點(diǎn)放在對(duì)知識(shí)點(diǎn)本質(zhì)的深刻理解和拓展應(yīng)用上，要引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題呈現(xiàn)形式不斷變化的過(guò)程中，抓住相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)解決問(wèn)題，從而形成深刻的思維體系。

2.1變換問(wèn)題的形式和內(nèi)容

2.1.1變換圖形

如圖⑦，已知四邊形ABCD的∠ABC和∠BCD的角平分線交于點(diǎn)G.求證：∠BGC=（∠A+∠D）.

將三角形改成四邊形后，利用轉(zhuǎn)化思想，學(xué)生會(huì)想到延長(zhǎng)BA和CD交于點(diǎn)P，利用∠BAD和∠CDA與∠P之間的關(guān)系（如圖⑧）及“發(fā)散1”的結(jié)論即可得證。當(dāng)然，運(yùn)用四邊形內(nèi)角和也可得證。在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)一步，再將四邊形換成五邊形、六邊形等等，又可以探究出什么結(jié)論，留給學(xué)生更多的發(fā)散空間。

通過(guò)以上方式，對(duì)類似的圖形、數(shù)量和邏輯關(guān)系，采用不同形式呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵、特征、本質(zhì)，加以分析、綜合、比較、概括，可培養(yǎng)學(xué)生深刻思維。

2.1.2變換設(shè)問(wèn)

上題也可以換一種設(shè)問(wèn)，即∠BGC，∠A，∠D之間有何關(guān)系？這樣的設(shè)問(wèn)更有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。

2.2變換條件，逐步深化結(jié)論

如圖⑨，已知四邊形ABCD的∠ABC和∠BCD的平分線交于點(diǎn)G，且AB∥CD，求∠BGC的度數(shù)。

通過(guò)變換條件，也可以培養(yǎng)學(xué)生的深刻思維，有利于學(xué)生開闊思路、敏捷思維。

2.3利用條件或結(jié)論的等價(jià)性進(jìn)行變換

如圖9，已知四邊形ABCD的∠ABC和∠BCD的平分線交于點(diǎn)G，且∠BGC=90°，求證：AB∥CD。

通過(guò)條件和結(jié)論的等價(jià)性變換，也是一種有效的深刻思維訓(xùn)練形式。

在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行求異思維后，教師應(yīng)適時(shí)“畫龍點(diǎn)睛”，讓學(xué)生進(jìn)行交流對(duì)比，從而找出思路更為敏捷、思維更為獨(dú)創(chuàng)、思想更為深刻的實(shí)用可行之法。

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生思變，從已有知識(shí)體系建構(gòu)出發(fā)，從不同角度用不同方式去探究、概況、理解和表達(dá)。這樣可以有力強(qiáng)化學(xué)生對(duì)某一知識(shí)點(diǎn)的深刻理解，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成從多角度、多方面地發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)、分析和解決問(wèn)題的良好習(xí)慣，逐步形成深刻思維。

3.樂(lè)于探索，培養(yǎng)創(chuàng)造的思維

美國(guó)心理學(xué)家、哈佛大學(xué)教授布魯鈉認(rèn)為：應(yīng)當(dāng)盡可能使學(xué)生牢固的掌握科學(xué)內(nèi)容，還應(yīng)當(dāng)盡可能使學(xué)生成為自主且主動(dòng)的思想家。這樣的學(xué)生在正規(guī)學(xué)校的教育結(jié)束之后，將會(huì)獨(dú)立的向前邁進(jìn)。因此，我們要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，利用教師或教材提供的材料，像數(shù)學(xué)家那樣思考數(shù)學(xué)，多去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的結(jié)論、規(guī)律，成為一個(gè)“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”。

探索是圍繞著某個(gè)已知的問(wèn)題對(duì)一些相關(guān)但不明確的問(wèn)題所展開的調(diào)查、分析、探討和尋求解決方法的策略、途徑而組織的學(xué)習(xí)。探索能為學(xué)生提供真實(shí)的情感體驗(yàn)，當(dāng)學(xué)生面對(duì)某一問(wèn)題情景時(shí)，這一特定的環(huán)境能夠吸引并維持學(xué)生在實(shí)踐過(guò)程中探究的興趣，促使他們積極的運(yùn)用逆向思維、創(chuàng)造性思維去尋求解決問(wèn)題的良方和策略。

例如：根據(jù)發(fā)散1～3，引導(dǎo)學(xué)生自主探索四邊形一外角和一內(nèi)角、兩外角平分線所成之角與∠A，∠D之間的關(guān)系（圖⑩）。

這期間，學(xué)生是致力于解決問(wèn)題的主體參與者，他們會(huì)對(duì)問(wèn)題的背景條件、現(xiàn)狀以及發(fā)展等因素作出分析與評(píng)估，并在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解剖的基礎(chǔ)上，力爭(zhēng)找出解決問(wèn)題的方法與途徑，探求問(wèn)題解決的現(xiàn)實(shí)意義，從而成為積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)探索者，培養(yǎng)了創(chuàng)造性的思維。

古人云：授人以魚，只供一飯之需;授之以漁，則一生受用無(wú)窮。學(xué)生的思維能力不可能在短時(shí)間內(nèi)一蹴而就，只有在經(jīng)歷不斷的訓(xùn)練和實(shí)踐后才能有所提高。在日常教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注意各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的協(xié)調(diào)配合，有計(jì)劃、有步驟地給學(xué)生創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中有意識(shí)地培養(yǎng)、訓(xùn)練自己的思維。通過(guò)以上“發(fā)散”“變式”“探索”等形式的引導(dǎo)訓(xùn)練，相信學(xué)生能夠較快地適應(yīng)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，逐步形成良好的知識(shí)體系和思維體系，不斷提升發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題實(shí)際能力，為今后的學(xué)業(yè)發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。