概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)研究與探索

李榮華　常秦　呂煒　苑錚

【摘要】本文結(jié)合作者多年的教學(xué)體會(huì)，對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)進(jìn)行研究與探索。研究與探索的主要方法：①采用解剖法吸引學(xué)生對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)產(chǎn)生興趣;②抓好每節(jié)課的教學(xué)細(xì)節(jié)，細(xì)節(jié)決定成敗;③對(duì)每節(jié)課的難點(diǎn)分化于形，作者側(cè)重于使用導(dǎo)圖予以引導(dǎo);④重在數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)，通過六大過程予以展現(xiàn)。

【關(guān)鍵詞】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)? 古典概率? 隨機(jī)變量? 分布函數(shù)

【Abstract】Based on the authors years of teaching experience， this paper studies and explores the teaching of probability theory and mathematical statistics. The main methods of research and exploration are：①using the method of anatomy to attract students interest in probability theory and mathematical statistics; ②grasping the teaching details of each lesson， the details determine success or failure; ③the difficulties of each lesson are divided into shapes， and the author focuses on using maps to guide them; ④the focus on the cultivation of mathematical thinking ability and show it through six processes.

【Keywords】probability theory and mathematical statistics teaching; classical probability; random variables; distribution function

【基金項(xiàng)目】中國(guó)石油大學(xué)（華東），2020年8月31日，青年教師教學(xué)指導(dǎo)團(tuán)隊(duì)建設(shè)的研究與實(shí)踐，QT-202002。

【中圖分類號(hào)】G4;O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2021）08-0081-03

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門學(xué)科，概念深?yuàn)W，方法獨(dú)特。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)不僅是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等專業(yè)的必修課，還是很多工科及經(jīng)濟(jì)等專業(yè)的必修課。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)不僅是很多專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)，而且還是全國(guó)碩士研究生入學(xué)（一、三）考試必考內(nèi)容。因此對(duì)于高校數(shù)學(xué)教師，如何上好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程就顯得十分重要。本文結(jié)合作者多年的教學(xué)體會(huì)，僅就概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中的教學(xué)（以開場(chǎng)白、古典概率、隨機(jī)變量和分布函數(shù)、一元線性回歸分析為例）進(jìn)行研究與探索，希望有助于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)水平的提高。

一、引人入勝的開場(chǎng)白是使學(xué)生對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程產(chǎn)生興趣的關(guān)鍵

第一堂課除了闡述本課程的教學(xué)目的（培養(yǎng)目標(biāo)）、學(xué)習(xí)本課程的原因（重要性）、課程的特點(diǎn)及發(fā)展簡(jiǎn)史外，還使用解剖法引入概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的研究對(duì)象及其基本概念。概率論顧名思義就是概率的理論。所謂理論就是系統(tǒng)性、科學(xué)性、規(guī)律性的知識(shí)，譬如概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的性質(zhì)、定理、計(jì)算公式等都屬于理論的范疇。故概率論就是有關(guān)概率的系統(tǒng)性、科學(xué)性、規(guī)律性知識(shí)。那什么是概率呢？從個(gè)人理解的角度，通俗地講概率就是未來某個(gè)時(shí)刻不確定狀態(tài)發(fā)生的可能性大小，它包含三層含義：①大小就是數(shù)（量），就是一個(gè)值，求概率就是求一個(gè)數(shù)值。②未來時(shí)刻就是相對(duì)于現(xiàn)在時(shí)刻t，時(shí)刻T（T >t）就是未來。任何人都有過去、現(xiàn)在和未來，因此概率論的研究對(duì)象是著眼于未來的，與高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等大學(xué)課程的研究對(duì)象明顯不同。③不確定狀態(tài)就是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的狀態(tài)，就有隨機(jī)性或者不確定性。那如何描述不確定狀態(tài)？這就是隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象就是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象。那什么是隨機(jī)現(xiàn)象呢？隨機(jī)現(xiàn)象就是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的自然現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象和必然現(xiàn)象是相對(duì)的，是大自然中現(xiàn)象的兩類不同形式，故進(jìn)而指出學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法肯定異于高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，先前的那些學(xué)習(xí)方法肯定不能一股腦兒搬到概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)上來，學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)就要從基礎(chǔ)知識(shí)入手，慢慢培養(yǎng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)思維方式。通過定義隨機(jī)現(xiàn)象，逐步引入概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念，如隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間、隨機(jī)事件、隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算、隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)就在不知不覺中逐漸展現(xiàn)在學(xué)生面前。概率論解剖法思維導(dǎo)圖如圖1所示。

二、細(xì)節(jié)決定成敗

吸引學(xué)生產(chǎn)生興趣之后，每節(jié)課的細(xì)節(jié)就決定學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的高低。古典概率（也稱等可能概率）是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中一種特殊的概率，也是本課程中的重要一節(jié)。古典概率在高中曾學(xué)過，在大學(xué)里如何講解古典概率呢？概率論的內(nèi)容主要包括概率的定義、性質(zhì)及計(jì)算方法。概率的定義分為統(tǒng)計(jì)性定義和公理化定義。概率統(tǒng)計(jì)性定義就是隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)越來越多，隨機(jī)事件發(fā)生頻率的極限值定義為概率。概率公理化定義就是定義在事件域上滿足非負(fù)性、規(guī)范性和可列可加性的函數(shù)稱為概率（測(cè)度）。這樣定義的概率具有一系列的性質(zhì)。概率的定義并沒有給出計(jì)算具體概率的方法，而概率的性質(zhì)只是給出計(jì)算抽象概率的方法。對(duì)于概率的計(jì)算方法，我們分為九類（種），古典概率法就是其中的一種。所以古典概率法是第一種具體計(jì)算概率的方法，也是計(jì)算概率最基礎(chǔ)的方法[1]。古典概率法包括引入、古典試驗(yàn)、古典概率的計(jì)算公式、排列組合預(yù)備知識(shí)、實(shí)例。古典概率法位于概率的公理化定義及性質(zhì)章節(jié)之后，是利用公式來計(jì)算概率值的第一種方法。先通過投擲硬幣和骰子的樣本空間找到它們的共性，然后引入古典試驗(yàn)的定義（有限性和等可能性）;然后根據(jù)隨機(jī)事件是樣本空間的子集，給出隨機(jī)事件的枚舉表達(dá)，最后利用等可能性，導(dǎo)出古典概率的計(jì)算公式P（A）=n（A）/n（Ω）。對(duì)于古典概率計(jì)算公式，特別強(qiáng)調(diào)：①n（A），n（Ω）必須是基于同一個(gè)試驗(yàn)或同一個(gè)樣本空間;②計(jì)算n（A），n（Ω）要用到排列組合的知識(shí)及其加法定理、乘法定理;③古典概率公式看似簡(jiǎn)單，而n（A），n（Ω）有時(shí)計(jì)算卻很難，因此古典概率的計(jì)算并不像其公式那樣容易給出，故學(xué)生只需掌握較簡(jiǎn)單的古典概率計(jì)算即可。古典概率公式是法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯在1812年《分析概率論》中提出的，僅適用于古典概率的計(jì)算。在例題中著重講解5到7個(gè)有放回的和無放回的摸球模型，至于分房問題、生日問題和配對(duì)問題視情況自行處理。學(xué)好古典概率，對(duì)于以后各章節(jié)的學(xué)習(xí)起著非常重要的作用，因?yàn)闊o論后續(xù)的條件概率、全概率公式還是分布函數(shù)，都要用到古典概率。概率計(jì)算思維導(dǎo)圖如圖2所示。

三、難點(diǎn)分化于（圖）形

每節(jié)課都有自己的重難點(diǎn)。對(duì)于知識(shí)難點(diǎn)，筆者側(cè)重于使用導(dǎo)圖予以引導(dǎo)。隨機(jī)變量和分布函數(shù)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的最基本概念，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)區(qū)別于其他課程的獨(dú)有概念，也是學(xué)生很難理解的兩個(gè)概念。隨機(jī)變量和分布函數(shù)是一對(duì)“孿生兄弟”，兩者相互依存。有一個(gè)隨機(jī)變量，一定存在一個(gè)分布函數(shù)，但反之不成立，即一個(gè)分布函數(shù)可能對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的重要性在于它把隨機(jī)現(xiàn)象的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)（字）的研究，而分布函數(shù)重要性在于它完成刻畫了隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)可以求解概率。通過圖2我們知道，隨機(jī)變量是通過概率的第九種計(jì)算方法所引入的。那在實(shí)際授課中，如何引入隨機(jī)變量這個(gè)概念呢？隨機(jī)現(xiàn)象的所有可能結(jié)果定義為樣本空間，樣本空間的元素有時(shí)不是數(shù)值，而我們從小到大跟數(shù)字一直打交道，怎么將我們遇到的不是數(shù)值的樣本空間這個(gè)新問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)字去處理，怎么在隨機(jī)現(xiàn)象和數(shù)字之間建立起某種聯(lián)系？隨機(jī)變量就是這樣一座架在隨機(jī)現(xiàn)象和數(shù)字之間的橋梁，通俗地講它就是高等數(shù)學(xué)中常講的函數(shù)。隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的可測(cè)函數(shù)（或變換），與其他函數(shù)的區(qū)別在于它對(duì)應(yīng)著一個(gè)分布函數(shù)，而其他函數(shù)沒有所謂對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)之說。通過隨機(jī)變量，隨機(jī)現(xiàn)象的研究可以轉(zhuǎn)化為數(shù)字的研究，隨機(jī)事件也可以通過隨機(jī)變量來表達(dá)。分布函數(shù)是一個(gè)定義在實(shí)數(shù)軸上取值于[0，1]的普通函數(shù)。通過隨機(jī)變量和分布函數(shù)，概率值的計(jì)算就轉(zhuǎn)化為求和或定積分的問題，從而可以利用已學(xué)過的數(shù)學(xué)分析知識(shí)來求解概率值，故這種方法稱為隨機(jī)變量法，或分布函數(shù)法，或數(shù)學(xué)分析法[2]。隨機(jī)變量分為一維隨機(jī)變量和多維隨機(jī)變量，主要內(nèi)容包括隨機(jī)變量引入;隨機(jī)變量定義;如何理解隨機(jī)變量。關(guān)于分布函數(shù)，主要講解分布函數(shù)定義，分布函數(shù)性質(zhì)、分布函數(shù)的意義。隨機(jī)變量和分布函數(shù)的思維導(dǎo)圖如圖3所示。

四、重在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力

學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思維能力主要通過如下六個(gè)方面體現(xiàn)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模。以一元線性回歸分析為例，闡述上面六大能力的培養(yǎng)。一元線性回歸分析的講解一般首先給出兩個(gè)引例。引例1：考查某物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。引例2：設(shè)某化學(xué)反應(yīng)過程的得率y與該過程的溫度x有關(guān)，現(xiàn)做了10次測(cè)量，數(shù)據(jù)為（38，20.4），（43，20.9），（49，22.5），（54，23.0），（60，24.2），（66，24.3），（71，26.2），（77，26.6），（82，28.0），（88，28.9），試研究?jī)烧咧g的變化規(guī)律。

通過這兩個(gè)引例，我們得到一元線性回歸分析模型y=a+bx+ε。一元線性回歸分析模型就是不管這兩個(gè)引例的具體問題背景如何而抽象出兩者共有的本質(zhì)的東西，這種思維過程就是數(shù)學(xué)抽象。

對(duì)于一元線性回歸分析模型y=a+bx+ε，在噪音項(xiàng)ε服從正態(tài)分布條件下，利用題目所給的10次觀測(cè)值，構(gòu)造誤差平方和函數(shù)，通過最小二乘法，求得回歸系數(shù)a，b的估計(jì)值a，b。這種思維過程就是邏輯推理[3]。

對(duì)于引例2，將所給的觀測(cè)值在二維平面上畫出其散點(diǎn)圖。通過散點(diǎn)圖，我們讀出變量x，y之間近似存在某種線性關(guān)系。這種思維過程就是直觀想象。

對(duì)于我們建立的一元線性回歸分析模型是對(duì)還是錯(cuò)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中歸結(jié)為回歸系數(shù)b=0是否成立的問題。為了檢驗(yàn)零假設(shè)H0：b=0，我們需要將總誤差平方和分解為回歸平方和和殘差平方和，然后構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量來實(shí)現(xiàn)，這種思維過程就是數(shù)據(jù)分析。

從回歸系數(shù)a，b的推導(dǎo)，到零假設(shè)H：b=0檢驗(yàn)，數(shù)學(xué)運(yùn)算無處不在。

一旦一元線性回歸模型檢驗(yàn)通過，我們就可以利用一元線性回歸過程進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而為實(shí)際問題解決提供建議和途徑，整個(gè)數(shù)學(xué)建模過程終結(jié)。

特別強(qiáng)調(diào)的是，在講課過程中，這六個(gè)方面大部分是相互交叉的，很少單獨(dú)出現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙魯濤主編，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2015.

[2]李榮華，丁永臻，陳曉林.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].東營(yíng)：中國(guó)石油大學(xué)出版社，2018.

[3]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2011.

作者簡(jiǎn)介：

李榮華（1964年-），男，漢族，山東東營(yíng)人，中國(guó)石油大學(xué)（華東）教授，博士，一直從事數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究。