整體觀視野下分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）解決問題的教學(xué)實踐

潘海軍 孫慶輝

摘 要：分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)解決問題是小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題的重要組成部分，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點和難點內(nèi)容。筆者基于整體觀視野下對分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）解決問題的教學(xué)思考，提出教學(xué)策略：整體研讀教材，讀懂?dāng)?shù)學(xué)本質(zhì);整體把握教學(xué)，認(rèn)知螺旋上升;整體設(shè)計練習(xí)，全面提升能力;整體滲透策略，促進潛力發(fā)揮。

關(guān)鍵詞：整體觀;分?jǐn)?shù);百分?jǐn)?shù);解決問題;數(shù)學(xué)教學(xué)

分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)解決問題的數(shù)與量都比較抽象，數(shù)量關(guān)系復(fù)雜且變化多端，對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力提出了更高的要求，導(dǎo)致學(xué)生解題時常常無從下手。具體表現(xiàn)有：找不準(zhǔn)表示單位“1”的量;分辨不清乘除法;把握不準(zhǔn)量率對應(yīng)關(guān)系。筆者經(jīng)過探索和思考，就分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）解決問題的教學(xué)談一些想法。

一、整體研讀教材，讀懂?dāng)?shù)學(xué)本質(zhì)

教材是教師實施教學(xué)的主要依據(jù)，因此在實施教學(xué)之前，教師必須對數(shù)學(xué)教材進行整體解讀和把握，力圖將原本孤立、分散的知識還原成完整的知識體系。

（一）通讀教材，尋找內(nèi)在聯(lián)系

教師在通讀教材的過程中，能夠找尋到新知識的土壤，將新知識的學(xué)習(xí)建立在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上開展學(xué)習(xí)，就能讓知識自然生長。

如分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）問題和倍問題是相通的，都是兩個數(shù)量的倍數(shù)比較，如果滿“1倍”，就說一個數(shù)是另一個數(shù)的“幾倍”，如果不滿“1倍”，就說一個數(shù)是另一個數(shù)的“幾分之幾（百分之幾）”。同一個問題情境，既可用“倍”描述，也可用“分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）”描述，關(guān)鍵是以哪個量為標(biāo)準(zhǔn)量描述另一個量。除了“倍”“分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）”之外，“比”也描述該情境，說成“□與△的比是1∶2”。因此，在小學(xué)范圍內(nèi)，“倍”“分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）”“比”都是研究兩個量的倍數(shù)關(guān)系。

（二）研讀教材，有序建構(gòu)關(guān)系

通過通讀教材，分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）問題與倍問題本質(zhì)上是自成一體又相互交融，但是受教材編排的影響，這些知識被分散在各冊中學(xué)習(xí)。因此，教師在研讀教材時，要從整體結(jié)構(gòu)出發(fā)，將各知識點放置在整體結(jié)構(gòu)中思考，分析其所處的地位及作用，理清它們之間的關(guān)系，為學(xué)生后繼知識的學(xué)習(xí)打好堅實的基礎(chǔ)。

1. 倍：種子課

兩個量的比較關(guān)系有“相差關(guān)系”和“倍數(shù)關(guān)系”兩種。“相差關(guān)系”從一年級開始學(xué)習(xí)，它是基于量的比較，也就是“一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）多少”。比較時將兩個量的數(shù)量一一對應(yīng)排列，沒有對應(yīng)的數(shù)量就是“相差數(shù)”，如下圖中的“木頭的數(shù)量比小豬的數(shù)量多1”，也可說“小豬的數(shù)量比木頭的數(shù)量少1”，數(shù)學(xué)模型是“較大數(shù)-較小數(shù)=相差數(shù)”。

“倍數(shù)關(guān)系”從三年級開始學(xué)習(xí)，它是基于“率”的比較，也就是“一個量里包含幾個另一個量”。比較時，先把2個胡蘿卜確定為“標(biāo)準(zhǔn)量”，即為1份，紅蘿卜有3個“標(biāo)準(zhǔn)量”，即為3份，教材還特地用虛線將每份框起來?！?倍”的數(shù)學(xué)模型是“比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量=倍數(shù)”。因此，“倍”的學(xué)習(xí)，一方面要讓學(xué)生能正確辨析“相差關(guān)系”和“倍數(shù)關(guān)系”兩種數(shù)學(xué)模型;另一方面，它對日后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比起著舉足輕重的作用。

2. 分?jǐn)?shù)：核心課

分?jǐn)?shù)的重要性在于既繼承倍的數(shù)學(xué)本質(zhì)，又是學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)和比的基礎(chǔ)。因此，分?jǐn)?shù)可以說起到承上啟下的作用，它的教學(xué)成敗將直接影響學(xué)生能不能構(gòu)建出“倍數(shù)關(guān)系”的整個知識系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。如上文所說，分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）是兩個量的“非整數(shù)倍”，教學(xué)實踐表明此類判斷題的錯誤率居高不下，原因是有些學(xué)生會不自覺地將“率”誤當(dāng)成“量”來思考。因此，率的教學(xué)多安排“對比題組”讓學(xué)生感悟，以此加深印象就顯得尤為重要。

3. 百分?jǐn)?shù)：綜合課

百分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)的一種特殊表示形式，因此百分?jǐn)?shù)的分率句可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)來思考。如“甲比乙多80%”可以理解成“甲比乙多[45]”，可大大減輕學(xué)生的理解難度。百分?jǐn)?shù)的解決問題想比分?jǐn)?shù)來說，更為復(fù)雜和綜合，因為百分?jǐn)?shù)問題與生活有著密切的聯(lián)系，如求“百分率”，有命中率、合格率、成活率等，需要學(xué)生結(jié)合生活情境思考。

教學(xué)實踐表明這類問題正確率整體不高，因此，在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)乘除”單元時，對“比”字句的分率句適當(dāng)滲透，可大大減輕該內(nèi)容的認(rèn)知難度。

（三）細(xì)讀教材，梳理三大類型

分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）解決問題難，其中一個因素在于它的題型變化多端，而且數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，其實認(rèn)真細(xì)讀教材，不管題型如何變化，總結(jié)起來就三個“基本類型”。①一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾（百分之幾）。②求一個數(shù)的幾分之幾（百分之幾）是多少。③已知一個數(shù)的幾分之幾（百分之幾）是多少，求這個數(shù)。

在此基礎(chǔ)上，拓展出“比”字句的三個“拓展類型”。①一個數(shù)比另一數(shù)多（少）幾分之幾（百分之幾）。②求一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）幾分之幾（百分之幾）是多少。③已知一個數(shù)比比另一個數(shù)多（少）幾分之幾是多少，求這個數(shù)。

拓展出的三個類型都可轉(zhuǎn)化回三個“基本類型”，因此，教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生將“比”字句和“是”字句進行溝通和聯(lián)系，以減少學(xué)生對題目類型的識記量。

二、整體把握教學(xué)，認(rèn)知螺旋上升

不管是倍數(shù)問題，還是分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）問題，它們解決問題的思維模型都是相同的——都是對關(guān)鍵分率句展開分析，確定單位“1”和與單位“1”相比較的量;再畫圖分析，列出數(shù)量關(guān)系式;最后列式計算。

（一）構(gòu)建統(tǒng)一分析框架

1. 找：分率句

根據(jù)分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）解決問題的結(jié)構(gòu)特征，找到題目中的分率句并對其分析，引導(dǎo)學(xué)生弄清“誰和誰比”，最關(guān)鍵的是確定誰是單位“1”，與其比較的量稱為比較量。找單位“1”，有經(jīng)驗的教師會引導(dǎo)學(xué)生用“位置法”來找，如“的”的前面，“是”“相當(dāng)于”“比”字的后面。

但是“位置法”存在不足，不能對沒有關(guān)鍵詞的省略句起作用，也不能對“的”和“相當(dāng)于”同時出現(xiàn)的“分率句”起作用。因此，找單位“1”的最佳做法是引導(dǎo)學(xué)生讀懂“分率”在情境中的具體意義。對于沒有關(guān)鍵詞的省略句，可采用“擴句”法，擴句后的“分率句”兩個量的比較關(guān)系就更清晰。

2. 畫：線段圖

線段圖是解分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）問題時，分析數(shù)量關(guān)系重要的輔助方法之一。它可以排除一些與數(shù)量關(guān)系無關(guān)的情節(jié)內(nèi)容，使分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）解決問題中的數(shù)量關(guān)系具體化、明朗化。特別是一些復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的問題情境，它的作用顯得尤為重要。如：

學(xué)校器樂組有女生16人，比男生的2/3多4人，器樂組有男生多少人？

筆者在教學(xué)中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生會出現(xiàn)這兩種錯誤：一種是“16÷2/3+4”，一種是“（16+4）÷2/3”。問題原因在于學(xué)生弄不清楚到底是先運算2/3還是4人。如果用線段圖進行分析，一切就能迎刃而解。由線段圖分析可以看出，2/3對應(yīng)的量不是16人，也不是（16+4）人，而是（16-4）人，男生人數(shù)應(yīng)該是“（16-4）÷2/3=18”人。

3. 統(tǒng)：乘除運算

分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）的乘法和除法運算，它們兩者有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系，即數(shù)量關(guān)系式相同，教材都是列成乘法數(shù)量關(guān)系式：單位“1”×分率=比較量，區(qū)別在于單位“1”是已知還是未知，這樣就使分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）乘、除問題統(tǒng)一在統(tǒng)一思路上，便于學(xué)生理解和掌握。如：

（1）學(xué)校體育器材室里有16個排球，籃球的個數(shù)是排球個數(shù)的4/5，籃球有多少個？

（2）學(xué)校體育器材室里有40個籃球，籃球的個數(shù)是排球個數(shù)的4/5，排球有多少個？

以上兩題分別對應(yīng)分?jǐn)?shù)乘、除問題，教師在分析時，引導(dǎo)學(xué)生先不要關(guān)注單位“1”已知還是未知，而是先將分率句列成“排球個數(shù)×[45]=籃球個數(shù)”的乘法數(shù)量關(guān)系式，基于數(shù)量關(guān)系式去找題目中的信息，哪個已知，哪個未知，分析完成后讓學(xué)生說說它們分別用什么方法運算。這樣的對比練習(xí)后，學(xué)生對分?jǐn)?shù)乘（除）解決問題會有更深刻的認(rèn)識。

（二）整體辨析量率關(guān)系

分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）解決問題之所以難，主要難在分?jǐn)?shù)存在“量”和“率”，只有讓學(xué)生充分理解，才能化難為易。

1. 量率辨析

在分?jǐn)?shù)解決問題中，“量”與“率”是相對而言的。如2/5，在后面加上單位，表示的是一個具體數(shù)值的數(shù)量，量是確定不變。而沒有單位的2/5，它則表示的是兩個數(shù)量的分率，在分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和比例的解決問題情境中，它不像“量”能夠獨自存在，更多體現(xiàn)的是比較量與標(biāo)準(zhǔn)量進行比較后兩者之間的比率。率表示兩者的比率關(guān)系，但不能確定兩個相互比較量的具體數(shù)值。

2. 量率對應(yīng)

分?jǐn)?shù)解決問題中的“量”和“率”是對應(yīng)的，每一個具體“數(shù)量”都有對應(yīng)的“率”。同樣，每一個“率”也都有其對應(yīng)的具體“數(shù)量”。也就是說在分?jǐn)?shù)解決問題中任何一個“物”都有“量”和“率”的雙重身份。明確理解“量”與“率”的對應(yīng)，并能準(zhǔn)確找出對應(yīng)的“量”與“率”，是提高分?jǐn)?shù)解決問題的關(guān)鍵能力。

3. 量率運算

“量”和“率”是同一物在不同范疇里的兩個身份。在實際運算時，“量”與“量”或“率”與“率”只運行一級運算，也就是相加減;而“量”與“率”則運行二級運算，也就是相乘除。這里還需要學(xué)生注意的是，不管是“率”與“率”的一級運算，還是“量”與“率”的二級運算，都必須基于相同的標(biāo)準(zhǔn)量。

三、整體設(shè)計練習(xí)，全面提升能力

練習(xí)是數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，是使學(xué)生將所學(xué)知識轉(zhuǎn)化為技能，并使技能轉(zhuǎn)為技巧的重要環(huán)節(jié)。在設(shè)計練習(xí)時，除緊扣教學(xué)目標(biāo)之外，對于像分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）解決問題這類同數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)容，特別要注意整體思考，力求各個練習(xí)相互聯(lián)系，構(gòu)成一個完整的練習(xí)結(jié)構(gòu)。

（一）基礎(chǔ)練習(xí)

1. 意義理解。分?jǐn)?shù)既可以表示率，也可以表示量，學(xué)生在練習(xí)中經(jīng)常會混淆，可以采取設(shè)計橫向?qū)Ρ染毩?xí)，加強溝通聯(lián)系。

（1）一條長8米的繩子，平均截成4段，每段長（ ）米，每段長是全長的（ ）。

（2）一條長6米的繩子，平均截成4段，每段長（ ）米，每段長是全長的（ ）。

（3）一條長3米的繩子，平均截成4段，每段長（ ）米，每段長是全長的（ ）。

三道題的情境相同，繩子的米數(shù)不同，每段的長度就不同，平均分的段數(shù)相同，每段長與全長的關(guān)系就相同。

2. 找單位“1”。找單位“1”有“位置法”“意義法”“擴句法”等，教師可設(shè)計題組練習(xí)，讓學(xué)生在變化的情境中熟練掌握找單位“1”的方法。

（1）雞的只數(shù)是鴨的7/8。

（2）一袋面粉，吃了2/7。

（3）冰化成水，體積減小1/11。

（4）黑兔的3/5相當(dāng)于白兔的數(shù)量。

（二）變式練習(xí)

變式練習(xí)指的是變換問題中的數(shù)學(xué)信息，強化學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的理解，掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性。

1. 條件變式。如：學(xué)校體育器材室里有40個籃球，_________，排球有多少個？

（1）籃球的個數(shù)是排球的4/5

（2）排球的個數(shù)是籃球的4/5

（3）排球的個數(shù)比籃球多4/5

（4）籃球的個數(shù)比排球少4/5

2. 問題變式。如：小華有50個練習(xí)本，小明有30個練習(xí)本，____________

（1）小華比小明多多少個練習(xí)本？

（2）小明的練習(xí)本是小華的幾分之幾？

（3）小明的練習(xí)本比小華少幾分之幾？

（4）小華的練習(xí)本比小明多幾分之幾？

變式訓(xùn)練有助于學(xué)生從不同角度理解分?jǐn)?shù)解決問題的數(shù)量關(guān)系和題目結(jié)構(gòu)。

（三）編題練習(xí)

1. 根據(jù)條件補問題。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系，從不同角度提出問題，培養(yǎng)學(xué)會思維的靈活性。如：

甲倉庫存糧120噸，比乙倉庫存糧少1/3。

學(xué)生可能編出以下問題，如“乙倉庫有存糧多少噸？”“甲倉庫比乙倉庫的存糧少多少噸？”“甲乙兩倉庫一共有多少噸存糧？”等。

2. 根據(jù)算式編題目?？词骄庮}指的是根據(jù)給出的算式編出符合算式的題目。如：

甲數(shù)是20，乙數(shù)是15，根據(jù)“（20-15）÷20”算式編一道題目。

要想正確編題，學(xué)生就需要理解“（20-15）”“20”“（20-15）÷20”中“÷”表示什么意思。只有理解算式中每個量的具體意思，學(xué)生才能想到這道算式表達的是“甲數(shù)比乙數(shù)少幾分之幾”。像這類編題練習(xí)，需要學(xué)生的聯(lián)想能力，需要學(xué)生能讀懂算式表示的具體意思，才能正確編對題目。

四、整體滲透策略

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程目標(biāo)中明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題的多樣性，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神?！币虼?，學(xué)生除了掌握基本的思考方法之外，還要掌握一些特殊的思考方法，在某種程度上還能促進學(xué)生潛在能力的充分發(fā)揮。

1. 以靜制動，抓不變量。有些題目中數(shù)量關(guān)系變化繁多，似乎難辨清其內(nèi)在聯(lián)系。如果我們仔細(xì)分析，變來變?nèi)?，總有一個量是不變的。這就是我們所說的“不變量”，以靜制動，問題便可迎刃而解。

2. 重建關(guān)系，統(tǒng)一單位“1”。有些題目中有多個分率句，但每個分率句的單位“1”都不相同，使各種數(shù)量之間的關(guān)系變得錯綜復(fù)雜，增加了解題難度。如果能統(tǒng)一單位“1”，可以使數(shù)量關(guān)系變得穩(wěn)定。

3. 轉(zhuǎn)換視角，多角度理解。分?jǐn)?shù)、比、百分?jǐn)?shù)問題本質(zhì)上是倍數(shù)問題，它們都是研究數(shù)量之間的關(guān)系。因此，教學(xué)時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用“變化”的視角來理解題意，幫助學(xué)生將零散的知識整合起來，形成完整的知識體系。

參考文獻

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（浙江省溫嶺市澤國鎮(zhèn)第二小學(xué)，溫嶺317500）