基于推理的“牛頓第二定律”教學(xué)思考

高嵩 田宇 邵夢媛

摘? ?要：文章從物理課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的提升學(xué)科素養(yǎng)的要求出發(fā)，分析了牛頓第二定律在教學(xué)實踐中存在與課標(biāo)要求不一致的地方，認(rèn)為2019年的新版教科書給了我們更好的教學(xué)啟示，但是當(dāng)下關(guān)注的人并不多。文章從歷史和現(xiàn)實兩個角度，分析了牛頓第二定律的推理過程，借助數(shù)字化的實驗技術(shù)，提出了更加合理的教學(xué)思路。

關(guān)鍵詞：牛頓第二定律;數(shù)字化實驗;圖像;物理教學(xué)

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2021）3-0075-6

教育部頒布的《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中要求我們的教學(xué)要提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，并進一步將學(xué)科核心素養(yǎng)細化為物理觀念、科學(xué)思維、科學(xué)探究和科學(xué)態(tài)度與責(zé)任[1]。在見到新課標(biāo)伊始，許多人認(rèn)為對于課程目標(biāo)界定得過于寬泛，甚至于空洞，因為這次課程標(biāo)準(zhǔn)沒有像上一次課標(biāo)那樣明確地給出知識和能力目標(biāo)。但通過仔細研讀新課標(biāo)，發(fā)現(xiàn)在新的歷史時期，不是不關(guān)注物理的知識和能力，而是要求我們應(yīng)該站在更高的位置去審視我們的教學(xué)，在教的過程中，不是讓學(xué)生獲得知識的碎片，而是形成正確的物理觀念。

在以往的教學(xué)中，有不少重知識點的復(fù)述、不重視物理觀念形成的問題，比如力學(xué)最重要的理論——牛頓第二定律的常見的教學(xué)方式，就可能與課程標(biāo)準(zhǔn)的要求有不一致之處，可能給學(xué)生理解原理帶來困惑。本文將對其中的問題進行細致的分析，并給出合理的教學(xué)思路，希望我們的工作能給教師的教學(xué)帶來啟發(fā)。

1? ? 牛頓第二定律的常見教學(xué)思路

一般對于牛頓第二定律這部分內(nèi)容的教學(xué)，先是通過探究實驗分析加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系，接著借助實驗結(jié)論引出牛頓第二定律內(nèi)容及其表達式，用公式定量表示加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系。

教學(xué)中常用的探究方案大同小異，如圖1所示，需要測定物體（小車）的質(zhì)量，物體的加速度，物體所受的力（小車的質(zhì)量遠大于下面掛的鉤碼或其他小重物的重力）。采用控制變量法進行兩組實驗，分別是：①在控制小車質(zhì)量不變的情況下，改變小車所受的拉力，分析小車加速度與其所受拉力之間的關(guān)系;②在控制小車所受拉力不變的情況下，改變小車質(zhì)量，分析小車加速度與其質(zhì)量之間的關(guān)系。將這兩組實驗所得的數(shù)據(jù)記錄下來，并接著繪出相應(yīng)的a-F、a-m圖像（如圖2所示），其中a-F圖像是過原點的直線，a-m圖像則是曲線，由此定性得出物體加速度a與它所受的作用力F成正比，與它的質(zhì)量m成反比的實驗結(jié)論。并最終得到F=ma這一常見的牛頓第二定律的表達式。

2? ? 上述教學(xué)過程的問題分析

上面的教學(xué)過程看起來好像非常嚴(yán)密，但是細致推敲起來我們認(rèn)為存在這樣三個問題：

首先，是實驗的推導(dǎo)與物理原理間的矛盾。上面講的第一組實驗，“保持物體的質(zhì)量不變”，這句話容易引起誤解，因為通過牛頓第一定律可以知道：慣性是物體的固有屬性，質(zhì)量是慣性的唯一量度。這也就說明在牛頓力學(xué)體系中，當(dāng)研究對象確定的時候，物體的質(zhì)量便不能是一個變量。即使真的出現(xiàn)了變質(zhì)量的問題，如火箭發(fā)射、爆炸等問題，我們在列方程求解的時候，也是把由于質(zhì)量改變而導(dǎo)致物體運動狀態(tài)變化的那一項與所受的外力寫在一起，表示作為剩余部分受到的合力，而此時被研究的質(zhì)量便仍舊是一個確定的、不可改變的物理量[2]。具體推導(dǎo)可以參考任何一本大學(xué)物理教科書，在此不做贅述。所以，物體的質(zhì)量本來就不是一個變量，不需要“保持”。

由此，也引出本教學(xué)過程的第二個問題，就是利用圖像進行的推理。從數(shù)學(xué)的角度來分析a-F、a-m這兩個圖像是沒有問題的，但我們知道，數(shù)學(xué)的表達必須符合物理學(xué)的規(guī)定。圖2乙告訴我們加速度隨物體質(zhì)量的變化規(guī)律，在此，質(zhì)量是一個變量，而且可以連續(xù)變化。但是，如前所言：質(zhì)量是物體的固有屬性，物體的質(zhì)量是不能變化的。這樣，圖2乙展示出來的思想就和牛頓第一定律不一致。讓學(xué)生在理解物體的質(zhì)量是其慣性唯一量度的時候產(chǎn)生歧義。由此而言，前面給出的牛頓第二定律的推導(dǎo)方式有不嚴(yán)謹(jǐn)之處。

第三，存在著數(shù)據(jù)的浪費，因為每一次實驗都是把受力、物體的質(zhì)量以及加速度都測量出來，但在利用數(shù)據(jù)分析的時候每組僅用了兩個量間的關(guān)系來分析，這樣就浪費了一個數(shù)據(jù)，造成了實驗資源的浪費。

為此，我們認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)過程應(yīng)該予以進一步的梳理并改進，以更好地進行教學(xué)。

3? ? 問題剖析

3.1? ? 物體的質(zhì)量需要“保持不變”嗎

為說清楚第一個問題，讓我們先從歷史的角度來看看牛頓第二定律是如何得出的。牛頓在其1687年發(fā)表的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》中是這樣闡述的：運動的改變與外加的引起運動的力成正比，并且發(fā)生在沿著那個力被施加的直線上[3]。我們把他的這個結(jié)論“翻譯”成現(xiàn)代的表達，應(yīng)該是：

■=■（1）

對（1）式進行全微分，可得

■=■=■=m■+■■（2）

■表示動量m■的變化率，■是加速度。

所以，我們今天所學(xué)習(xí)的F=ma并不是牛頓當(dāng)年的第二定律。直到1750年歐拉才把牛頓第二定律寫成F=ma的形式，也是從這個時候才默認(rèn)質(zhì)量是一個不變的量[4]。結(jié)合前面對第一個問題的說明，可以知道，在經(jīng)典力學(xué)體系中，一個物體的質(zhì)量是固有的，不會改變的，所以當(dāng)我們在實驗中確定了研究對象之后所得的數(shù)據(jù)以及圖2甲的圖像，都不是“控制”的結(jié)果。就像研究彈力的時候，我們不會說“控制彈簧不變，研究彈力與形變的關(guān)系”一樣，因為研究對象沒有變。由此論之，在前面所呈現(xiàn)的實驗設(shè)計就有問題，不該說“控制”或“保持”物體的質(zhì)量不變，因為它本來就不能是個變量。所以，前面給出的分析方式容易產(chǎn)生歧義，似乎質(zhì)量的不變還需要“控制”才能實現(xiàn)?，F(xiàn)實中我們做的只是給同一個物體施加不同大小的力，分析這個物體的加速度隨其受力的變化規(guī)律，以及對質(zhì)量不同的物體施加同樣大小的力，分析不同物體受同樣大小的力時，加速度的變化情況。

3.2? ? a-m圖像辨析

一個物理規(guī)律，我們不僅用文字去描述，用公式去表達，還可以用圖像去展示。為表明幾個量間的關(guān)系，鑒于圖形表達的局限性，一般畫二維圖線，橫軸作為自變量，縱軸作為因變量，如果還有其他變量，則都被控制保持不變。這樣，一條連續(xù)圖線說明的是某一個研究對象經(jīng)歷的一個變化過程中，因變量如何隨自變量的變化而變化的規(guī)律。

當(dāng)變換了研究對象，把不同研究對象的數(shù)據(jù)放在同一張圖表中的時候，則首先分別繪制不同研究對象的兩個變量關(guān)系的圖線，這樣不僅獲得每一個研究對象的個體的信息，還可以對幾個不同物體間的關(guān)系進行比較。如某版本2019年的新教材中第92頁呈現(xiàn)的“圖4.3-1”一樣[5]（如圖3）。

這個圖中兩條過原點的線分別代表了兩個質(zhì)量不同的物體的加速度與受力的關(guān)系，兩條線的斜率分別反映了被研究對象的質(zhì)量的大小。由這個圖，就完全可以得到加速度與受力、質(zhì)量間的關(guān)系——每一條過原點的直線，都說明無論對哪個物體來說，當(dāng)施加不同大小的力的時候，其加速度是隨之變化的，但變化的過程中，有個不變的量，這個量的意義恰好是與物體本身的特征有關(guān)系，物體不變，斜率也不變。

而當(dāng)用某一條垂直于F軸的線截這兩條直線時，交點說明了對質(zhì)量不同的物體施加同樣大小的力，加速度是不同的，加速度越大的說明其質(zhì)量越小。這樣我們就不需要繪制圖2乙，而且是在不讓學(xué)生產(chǎn)生“物體的質(zhì)量是個變量”的前提下，同樣說明了“在受同樣大小的力的時候，質(zhì)量不同的物體加速度的大小與其質(zhì)量成反比”的結(jié)論。

其實，不同版本的新教材都意識到了這個問題，例如，某教材在說明實驗結(jié)論的時候特別強調(diào)了第一個實驗是對“同一個物體”，而第二個實驗是對“不同物體”，而且教材中僅要求“在坐標(biāo)紙上作出m不變的時a-F圖像”，可見編寫者的用心良苦，期望避免讓學(xué)生產(chǎn)生與牛頓第一定律相矛盾的、物體的質(zhì)量可以逐漸變化的錯覺。

3.3? ? 教學(xué)中牛頓第二定律的推導(dǎo)

通過前面的分析，以往的推理過程在理論的表達、實驗的過程以及用圖像進行數(shù)據(jù)處理可能會引起誤解?，F(xiàn)在， 2019年版的新教材提示我們還有更好的思路，那就是圖像的斜率也是一個非常重要的要素。下面我們將細致分析基于圖3的牛頓第二定律的推導(dǎo)過程。

推理方式一：

根據(jù)某版本的教材，首先測量質(zhì)量為m1的小車，在不同的拉力（近似等于下面的小重物的重力）作用下的加速度，并將數(shù)據(jù)記錄在表1中。通過對所記數(shù)據(jù)數(shù)值關(guān)系的分析，進一步作出圖像（如圖2甲所示那樣）。

然后，改變物體的質(zhì)量為m2，重復(fù)以上步驟，在同一張坐標(biāo)紙里作出m2的加速度隨受力的變化圖像。這樣就得到了兩條斜率不同的過原點的直線（在所掛鉤碼的質(zhì)量都遠小于小車質(zhì)量的前提下）。如果條件允許，可以進一步改變小車質(zhì)量進行實驗，把數(shù)據(jù)的關(guān)系也反映在前面的那個坐標(biāo)紙中。具體過程在此不做贅述。

于是，就可以得到兩條或者多條過原點的直線。下面，我們教學(xué)要做的就是把數(shù)據(jù)以及反映數(shù)據(jù)的圖像與現(xiàn)實結(jié)合起來，分析數(shù)據(jù)與現(xiàn)實的對應(yīng)關(guān)系。

第一，對于每個研究對象來說，其a-F圖像都過原點，說明對于每個物體來說，物體的加速度都與其受到的外力成正比。而且不同小車的數(shù)據(jù)間互相印證結(jié)論的正確性。

第二，可以看到不同的研究對象，每一條圖線的斜率都保持不變，而不同物體的斜率卻并不同。這說明了什么？每條圖線上的數(shù)據(jù)都是對同一個物體來說的，每條圖線上的點都是對同一個物體而言，雖然它受力在變，加速度在變，但是它的質(zhì)量不變，所以它的斜率沒有變化。而當(dāng)更換質(zhì)量不同的研究對象時，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)作出圖線的斜率也隨之而變，說明斜率反映的是被研究對象自身的性質(zhì)。

第三，可以進一步分析當(dāng)被研究對象改變了的時候，它們的質(zhì)量也是隨著變化的（我們實驗中，一般不是變換小車，而是每次實驗都給小車加上不同的配重從而改變其質(zhì)量），所以這一點在教學(xué)中是非常明確的。于是學(xué)生們看到，每次更換質(zhì)量更大的研究對象之后，圖線的斜率都會隨之減小。而小車及配重的質(zhì)量是容易獲取的。并且，實驗中我們也都會提供天平讓學(xué)生測量小車、配重的質(zhì)量。通過每次質(zhì)量的改變關(guān)系，應(yīng)該比較容易得到：當(dāng)質(zhì)量加倍的時候，仍舊受同樣大小的力，加速度將減半，這也就說明了“物體加速度與質(zhì)量成反比”。

由此，我們便得到了牛頓第二定律的基本內(nèi)容。

但要注意，這并不是唯一的推導(dǎo)方式，學(xué)生們也可能會有不同的推導(dǎo)方式。

推導(dǎo)方式二：

因為我們現(xiàn)在已經(jīng)處于實驗手段非常先進的時代。測量質(zhì)量可用天平;測量加速度，既可以用傳統(tǒng)的打點計時器，也可以用數(shù)字化實驗系統(tǒng)的光電門或者是位移傳感器;而測量物體受力，除了以往的認(rèn)為小鉤碼的重力即等于物體受到的拉力，我們現(xiàn)在有了無線的、數(shù)字化的力傳感器，把它固定在小車上，可以直接精確地測量小車所受的力?；谶@樣的實驗前提，我們通過一次實驗就可以把小車質(zhì)量、加速度和受力全部都測出來。這樣，這三個數(shù)據(jù)間就會給予實驗者以提示，會不會物體受力F等于物體的質(zhì)量m與加速度a的乘積？這個規(guī)律會不會有普遍性？

于是，在這種思考下，學(xué)生完全可以開始第二次、第三次的測量。讓學(xué)生每一次都分析受力F、物體的質(zhì)量m與加速度a三者的關(guān)系，如果測量足夠準(zhǔn)確的話，會發(fā)現(xiàn)每一次都是滿足F=ma的。即F1=m1a1，F(xiàn)2=m2a2，F(xiàn)3=m3a3…

這樣，對于同一個m，則可以得到

■=■（3）

或者：

■=■（4）

同理，當(dāng)物體受力相同的時候

m1a1=m2a2（5）

或

■=■（6）

也就是對于兩個不同的物體，受力相同時，加速度與物體的質(zhì)量成反比。

這種推理過程與一般教科書上給出的順序是相反的，先得到牛頓第二定律中所描述的三者間的關(guān)系，然后我們熟悉的正反比關(guān)系成了實驗結(jié)論的推論。而這種方法卻能非常好地體現(xiàn)我們課程標(biāo)準(zhǔn)要求的基于數(shù)據(jù)和證據(jù)的推理并進一步探究的愿景。

推理方式三：

如果實驗的條件可以更容易控制的話，可以在第二種推理方式的基礎(chǔ)上進一步改進。對同一物體m1而言，在不同的力F1、F2、F3作用下，可以獲得對應(yīng)的一系列加速度的值。更換不同質(zhì)量的物體，仍舊對其施加與方才一樣的F1、F2、F3作用力，并分別測量其相應(yīng)的加速度，最終可以形成表1所示的矩陣。我們把每次實驗的數(shù)據(jù)記錄在這個表格中，表2即為我們實施的一組實驗結(jié)果。由于這些數(shù)據(jù)以非常好的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出來，這樣分析就更方便、靈活了。既可以分析與每一個加速度對應(yīng)的質(zhì)量和受力的大小關(guān)系，可以直接得到F、m和a的關(guān)系，也可以分別考查這個矩陣的行和列。每一行的加速度，對應(yīng)同一個物體受不同力的作用力，通過對比加速度的數(shù)值變化和對應(yīng)的受力的數(shù)值變化，就可以得到這個物體的加速度與受力的正比關(guān)系。而每一列的加速度，是不同物體受同樣大小的力產(chǎn)生的對應(yīng)加速度。對比加速度與質(zhì)量的關(guān)系，就可以得到不同質(zhì)量的物體，當(dāng)受相同的力的時候，加速度不同，加速度與質(zhì)量成反比關(guān)系。

當(dāng)然，為了進一步鍛煉學(xué)生數(shù)據(jù)推理的能力，可以讓他們把不同質(zhì)量的物體的加速度隨受力的變化的a-F圖像繪在同一坐標(biāo)系中，將作出不同的過原點的直線，如圖4所示。觀察該圖可以發(fā)現(xiàn)，同一個物體受到的作用力越大，產(chǎn)生的加速度越大;不同物體受到相同的作用力時，物體的質(zhì)量越大，產(chǎn)生的加速度越小，每一條直線的斜率對應(yīng)著相應(yīng)物體質(zhì)量的倒數(shù)■，由此得出直線所對應(yīng)的表達式a=■F，進一步推導(dǎo)可以得出牛頓第二定律的表達式。

3.4? ? 關(guān)于實驗方案設(shè)計的說明

為了提升學(xué)生科學(xué)探究的能力，我們經(jīng)常希望學(xué)生能自己構(gòu)想出探究的方案，但在進行牛頓第二定律教學(xué)的時候卻發(fā)現(xiàn)非常困難。如圖1所示的實驗方案，學(xué)生很難設(shè)計出來。其實，從物理學(xué)發(fā)展的歷史來看，牛頓也不是做了實驗才得到的第二定律，而是他作為研究力學(xué)問題的前提把該定理放在了他的體系中。而當(dāng)時的人們看到牛頓運動定律之后，也并未拿出一個可以驗證的方案來證明。真正從實驗上把牛頓第二定律證明出來的是阿特伍德，他根據(jù)牛頓第二定律而設(shè)計并實施了實驗，說明了牛頓第二定律的正確性，裝置如圖5所示。當(dāng)然，他在進行實驗的時候也是默認(rèn)了物體質(zhì)量的恒定性。

對照圖1與圖5，可以發(fā)現(xiàn)圖1所示的實驗方案實際就是阿特伍德機的變形。當(dāng)把其中一個物體置于光滑水平面上（現(xiàn)實中是置于將摩擦力平衡好的斜面上），則它受到的合力就僅等于繩子對它的拉力。而為了測量方便，當(dāng)其質(zhì)量遠大于另一個物體，并且滑輪的轉(zhuǎn)動慣量足夠小的時候，這個大質(zhì)量的物體所受的繩子的拉力就近似等于小物體的重力。這樣的設(shè)計就有了可以直接測量物體質(zhì)量、加速度和受力的可能。但是，該實驗方案中研究對象不是單個的物體——小車，而是小車與重物這個系統(tǒng)。此方案中，被研究對象的質(zhì)量（小車與重物的總質(zhì)量）與其受力（重物的重力）二者不是互相獨立的，所以才有必須兩個物體的質(zhì)量需要有非常大的差異的條件限制。由此可見，無論是阿特伍德機還是圖1所示的實驗，其設(shè)計的前提必須是對牛頓第二定律有著深刻理解。而這對于還未接觸過牛頓第二定律的學(xué)生來說，是非常困難的。

而我們前面給出的常見的控制變量的實驗方案，其實是在沒有好的測量加速度方法情況下的無奈選擇?，F(xiàn)在我們有了打點計時器，更是有了配置了藍牙的力傳感器，這就使得在研究物體加速度與受力、質(zhì)量間的關(guān)系的探索變得相對容易。鑒于大家對打點計時器比較熟悉，在此，我們不再贅述，僅給出利用傳感器進行探究的實驗方案：將無線的力傳感器固定到物體（小車）上，配以位移傳感器，這樣直接可以測量物體的加速度與受到的拉力的關(guān)系，實驗裝置如圖6所示。而且加速度和受力的數(shù)值直接可以以列表和圖像的方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前。這樣現(xiàn)象與數(shù)據(jù)同時呈現(xiàn)在學(xué)生面前，“數(shù)”與“理”之間也更易于結(jié)合，并且大大縮短了探究的時間，讓學(xué)生的注意力可以集中于要分析和解決的問題。

4? ? 最終結(jié)論

要貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)提出的提升學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)的要求，首先就應(yīng)該幫助學(xué)生構(gòu)建前后一致的物理學(xué)的理論體系，同一個物理概念，在整個物理體系中的解釋應(yīng)該是自洽的。本文從牛頓第二定律的常規(guī)教學(xué)方式入手，分別討論了實驗的問題、數(shù)據(jù)的整理和推理的問題，認(rèn)為這種教學(xué)方案在實驗原理、數(shù)據(jù)搜集和整理、推理過程等方面存在著可以討論之處，這些會造成學(xué)習(xí)者對物理原理理解的偏差，不利于他們形成自洽的物理學(xué)體系。所以，教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生眼前出現(xiàn)的場景是什么？其中的邏輯是什么？我們應(yīng)該讓課堂是邏輯的，這樣才有利于知識的邏輯發(fā)展和學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，以及課堂上師生的活動發(fā)展保持一致。這樣的課堂，才能真正讓學(xué)生提升其物理觀念，在探究過程中進行推理和論證，從而培養(yǎng)其科學(xué)的態(tài)度與責(zé)任，真正有助于提升學(xué)生的物理核心素養(yǎng)。

我們今天的教學(xué)，既應(yīng)繼承此前物理教學(xué)的優(yōu)點，更應(yīng)立足當(dāng)下選擇更為先進和便捷的教學(xué)和實驗的條件，勇于改進教學(xué)的思路方法，從教學(xué)的現(xiàn)實入手，構(gòu)建更為合理的解決方案。

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（欄目編輯? ? 李富強）