徐地虎 莊勇飛
摘? ?要:電容器具有通交流、阻直流的特性,在含交流電源電路中電容器不斷地進(jìn)行充電和放電,宏觀上表現(xiàn)為交流“通過(guò)”了電容器。電容器在通交流電時(shí)具有容抗,且電容器兩端的電壓與電流存在相位差。文章通過(guò)交流電路分析,得到容抗的表達(dá)式,分析影響容抗大小的因素,得出電壓和電流之間的相位關(guān)系,并與純電阻電路進(jìn)行對(duì)比,最后分析電容器對(duì)交流電路動(dòng)態(tài)變化的影響。
關(guān)鍵詞:電容器;交流電路;動(dòng)態(tài)變化;相位
中圖分類(lèi)號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A ? ? 文章編號(hào):1003-6148(2021)3-0059-4
1? ? 問(wèn)題緣起
從江蘇省南京市六校聯(lián)合體2020屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考第5題說(shuō)起。
案例:如圖1所示,電源為交流恒壓源,即無(wú)論電路中的電阻如何變化,接入電路的交流電壓始終保持恒定。R1、R2阻值保持不變,理想交流電壓表■與理想交流電流表■的示數(shù)分別為U、I。當(dāng)恒壓交流源的頻率變大時(shí),理想電壓表■與理想電流表■的示數(shù)變化量分別為ΔU、ΔI,下列說(shuō)法正確的是()
A. ■=R■
B. U變大,I變大
C. 燈泡變暗,I變小
D. ■=R■+R2
參考解答:恒壓交流源的頻率變大,根據(jù)容抗的表達(dá)式XC=■可知,容抗變小,電路的總阻值變小,干路中的電流增大,U變大,R1兩端的電壓變小,電流表讀數(shù)變小,通過(guò)燈泡的電流增大,B、C選項(xiàng)都錯(cuò);根據(jù)閉合電路歐姆定律ε=U+IR1可知,■=R■,答案選A。
在參考解答中,交流電源的頻率增大,電容器的容抗減小,其他的分析過(guò)程與直流電路分析過(guò)程類(lèi)似,相當(dāng)于在直流電路中滑動(dòng)變阻器阻值變小,但并沒(méi)有考慮到容抗對(duì)應(yīng)的電流與電壓之間的相位關(guān)系,正是這個(gè)原因?qū)е麓鸢赋霈F(xiàn)問(wèn)題。
2? ? 電容器的容抗
定義:電壓有效值和電流有效值之比,叫作電路元件的阻抗。電容器對(duì)應(yīng)的比值叫作容抗。
圖2所示為只有交流電源和電容的純電容電路,交流電壓為U,電容為C。設(shè)電路中的尺寸為l,交流電源頻率為f,光速為c,若滿(mǎn)足
■<<■(1)
則可認(rèn)為電路對(duì)電源變化的響應(yīng)幾乎不需要時(shí)間。在這種近似下,電流將隨電源電動(dòng)勢(shì)同步變化,(1)式稱(chēng)為似穩(wěn)條件。以下研究的電路都滿(mǎn)足似穩(wěn)條件。
設(shè)所加交流電的交變電壓為
u=U0cosωt(2)
根據(jù)閉合電路歐姆定律,電容器兩端電壓滿(mǎn)足
u=■(3)
q為電容器所帶電荷量,則電路中的電流可寫(xiě)為i=■(4)
q增大時(shí),dq>0電容器充電;q減小時(shí),dq<0,電容器放電。將(2)(3)式代入(4)式有
i=U0ωCcos(ωt+■)=I0cos(ωt+■)(5)
電壓與電流最大值之間的關(guān)系有
U0=I0■=I0XC(6)
有效值對(duì)應(yīng)關(guān)系為
U=I■=IXC(7)
其中
XC=■=■(8)
稱(chēng)XC為容抗,單位與電阻的單位相同,也是歐姆。從(8)式可以看出,f越大, XC越小,電容器通交流電;f越小,XC越大,極限情況是f=0,此時(shí)為直流電,XC→∞,即電容器阻直流電。
與此同時(shí),比較(2)和(5)式可以發(fā)現(xiàn),電壓與電流的相位不同,電容器上的電壓相位相比“流經(jīng)”電容器的電流的相位落后■,電流與電壓隨時(shí)間變化的圖像如圖3所示。將該結(jié)果與純電阻電路進(jìn)行對(duì)比。
如圖4所示的純電阻電路,電路中電壓和電流服從歐姆定律,若交流電壓依然如(2)式所示,則
i=■cosωt=I0cosωt(9)
其中I0=■,電流、電壓有效值滿(mǎn)足
U=IR(10)
可以看出,從最大值與有效值表達(dá)式上看,R與XC作用相當(dāng),但在純電阻電路中,電阻兩端的電壓與電流相位相同,這與純電容電路有差別。正是由于這種差別,影響了含容交流電路的動(dòng)態(tài)變化分析。為此,可以利用求解電路的總阻抗對(duì)電路做進(jìn)一步分析。
3? ? 電容器與電阻串聯(lián)的總阻抗及矢量圖解法
如圖5所示為電阻與電容組成的串聯(lián)電路,分析電路的總阻抗。
分析:根據(jù)以上對(duì)電容器的容抗和電阻的分析可知,若是純電阻串聯(lián)或純電容串聯(lián),電阻相加或容抗相加即可,但在電阻與電容串聯(lián)的電路中,兩者在兩端的電流與電壓的相位關(guān)系有差別,不能直接相加,需要重新計(jì)算。由于串聯(lián)電路中各處的電流是相同的,可設(shè)電流的表達(dá)式為
i=I0cosωt(11)
根據(jù)(2)(5)(9)式可知,電阻、電容器兩端的電壓分別為
uR=I0Rcosωt,uC=I0XCcos(ωt-■) (12)
串聯(lián)電路的總電壓為
u=uR+uC=I0■cos(ωt-φ)(13)
其中
tanφ=■(14)
比較(11)與(13)式,電壓相位比電流相位落后φ,電路總阻抗為
Z=■? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (15)
正是由于電阻與容抗特點(diǎn)的不同,導(dǎo)致電路的總阻抗?jié)M足(15)式,而不是直接代數(shù)相加,這也決定了電路中各處的電壓和電流分布與直流電路分布的不同。
利用矢量圖解法能更直觀地描述電壓與電流之間的相位關(guān)系。電流或電壓的瞬時(shí)值可對(duì)應(yīng)于某矢量在X軸或Y軸的投影。如(12)式所示,uC=I0XCcos(ωt-■)=UC0cos(ωt-■),可對(duì)應(yīng)于■■的矢量以角速度ω逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),UC為該矢量在X軸上的投影,ωt-■為相位;uR為uR=I0Rcosωt=UR0cosωt,對(duì)應(yīng)于■■的矢量以角速度ω逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),但相位始終比■■超前■,則串聯(lián)電路中總電壓可先求該兩個(gè)矢量之和,再在X方向投影。將零時(shí)刻各矢量放在同一矢量圖中,如圖6所示,其中電流始終與電阻兩端電壓同相位,tanφ=■,■以角速度ω逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),總電壓U為■在X軸上的投影。則電壓有效值U=■■,電流有效值I=■I0,根據(jù)阻抗的定義可知,電路總阻抗就是(15)式所示。
同樣,根據(jù)并聯(lián)電路中用電器兩端電壓相同,利用矢量圖解法,可求得電容器與電阻并聯(lián)后的總阻抗
Z=■? ?(16)
讀者可自行畫(huà)矢量圖推導(dǎo)。
根據(jù)以上的分析可知,當(dāng)交流電路中含電容器時(shí),由于電容器兩端電壓與“通過(guò)”電容的電流相位不同,不能簡(jiǎn)單地利用電阻串并聯(lián)方法計(jì)算總阻抗,利用矢量圖解法可以有效、直觀地反映電流與電壓之間的相位關(guān)系,從而可以進(jìn)一步分析含電容器交流電路的動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題,繼續(xù)以案例為例進(jìn)行分析說(shuō)明。
4? ? 含交流電源電路中電容器對(duì)電路動(dòng)態(tài)變化的影響
電路結(jié)構(gòu)如圖1所示,設(shè)“通過(guò)”電容器的電流為iC=IC0cosωt,則燈泡與電容器的電流、電壓矢量關(guān)系如圖7(a)所示,設(shè)燈泡的電阻為RL,則tanφ1=■;根據(jù)并聯(lián)關(guān)系可知R1兩端的電壓也為U1,電流中的總電流與各支路之間的電流關(guān)系如圖7(b)所示,圖中■■=■,tanφ■=■;R2兩端的電壓與通過(guò)R2的電流同相位,電路中的總電壓與各處電壓的關(guān)系如圖7(c)所示,其中tanφ3=■。
分析電路的動(dòng)態(tài)變化。電路總電壓U0恒定,ω增大,XC變小,φ■減小,φ■減小,■20增大,■10減小,■20減小,電流表與電壓表測(cè)量的是有效值,可知電壓表示數(shù)增大,電流表示數(shù)減小。從以上的矢量圖分析可知,R2兩端電壓與通過(guò)R1的電流有相位差,大小關(guān)系較復(fù)雜,不是簡(jiǎn)單的線(xiàn)性關(guān)系,A、D選項(xiàng)都不正確,此題無(wú)正確答案。參考分析中利用ε=U+IR1,事實(shí)上ε、U與I相位不同,已不能直接進(jìn)行簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算。
因此,在分析含容交流電路的動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題時(shí),根據(jù)容抗的變化情況,一般定性分析電路中的電流、電壓變化是比較可靠的,但是當(dāng)要定量計(jì)算電路中的電流、電壓關(guān)系時(shí),則需要考慮電容器兩端電壓與“通過(guò)”電流相位的不同帶來(lái)的影響,計(jì)算相對(duì)比較復(fù)雜,高中學(xué)生不要求掌握,所以在研制相關(guān)考題或訓(xùn)練題時(shí)應(yīng)加以考慮。
5? ? 小? 結(jié)
電容器具有通交流、阻直流的導(dǎo)電特性,容抗XC=■=■,隨交流電的頻率變化而變化,f越大容抗越小;與此同時(shí),電容器兩端的電壓與“通過(guò)”電流存在■的相位差,這也導(dǎo)致在計(jì)算電路總阻抗時(shí)不能與電阻阻值直接代數(shù)相加。在處理含電容器的交流電路動(dòng)態(tài)變化時(shí),定性分析電路中的電流、電壓變化是比較可靠的,但要定量計(jì)算電路中的電流、電壓變化關(guān)系時(shí),則需要考慮相位帶來(lái)的影響,利用矢量圖解法可以有效、直觀地分析電路中各部分的電流與電壓的相位關(guān)系。
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(欄目編輯? ? 羅琬華)
物理教學(xué)探討2021年3期