光束斜入射的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)的像差計算

趙小楠，呂麗軍

（上海大學(xué) 精密儀器及機械系，上海 200072）

引言

近年來，隨著機器人、計算機視覺、虛擬現(xiàn)實及航天等應(yīng)用領(lǐng)域的日益發(fā)展，單一折射或反射鏡光學(xué)系統(tǒng)出現(xiàn)了一定的局限性，難以滿足科研乃至日常生產(chǎn)應(yīng)用需求。折反射組合光學(xué)系統(tǒng)具有擴大視場范圍，結(jié)構(gòu)簡單緊湊等優(yōu)點，常應(yīng)用在折反射全景成像系統(tǒng)[1-4]以及二次旋轉(zhuǎn)圓錐曲面面形檢測[5-6]中。因此，折反射組合光學(xué)系統(tǒng)的成像分析成為一個重要的研究課題。

光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的分析評價大多是圍繞近軸光學(xué)系統(tǒng)展開的，評價工作的主要依據(jù)是賽德爾像差理論[7]，賽德爾像差理論對入射角小于 30°的近軸光學(xué)系統(tǒng)進行像差分析時計算精度較高。但是，對于光束斜入射的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)，光束以較大的入射角（這里一般指入射角遠大于 30°）打在光學(xué)元件表面，經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后，在子午和弧矢平面內(nèi)光束聚焦位置及波陣面形狀完全不一致，此時該類系統(tǒng)具備平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的特點，賽德爾像差理論則不再適用。

呂麗軍教授等人基于波像差的方法，針對平面對稱光學(xué)系統(tǒng)在子午和弧矢平面內(nèi)焦點完全不一致的特點，提出以超環(huán)面作為參考波陣面，發(fā)展了平面對稱光柵系統(tǒng)的像差理論[8]。該理論適用于斜入射甚至掠入射（入射角達到 80°，甚至 89°以上）的光柵或反射鏡光學(xué)系統(tǒng)的像差分析。此外，它還可以研究任意二次旋轉(zhuǎn)圓錐曲面，如橢球面、超環(huán)面和拋物面等。

下面第1 節(jié)中主要在平面對稱光柵系統(tǒng)波像差理論的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出光束斜入射的折射光學(xué)系統(tǒng)的波像差計算表達式[9]。在第2 節(jié)中，給出多元件光學(xué)系統(tǒng)的波像差以及系統(tǒng)的光線像差的計算表達式。最后一節(jié)中，將潘君驊院士與作者在橢球鏡面形誤差檢測中的檢測方法進行實驗?zāi)M，利用擴展后的平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的像差表達式對橢球鏡面形誤差檢測光學(xué)系統(tǒng)進行成像計算，并與Zemax 軟件光線追跡結(jié)果進行比較，驗證將該像差理論應(yīng)用于光束斜入射的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)成像分析的正確性。

在合肥同步輻射光源一期工程中，潘君驊院士與呂麗軍教授對光束線裝置中的橢球面反射鏡進行面形誤差檢測，應(yīng)用平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的像差理論，對實際橢球鏡的光學(xué)參數(shù)進行計算，通過比較實際成像光斑與理論計算結(jié)果，判斷橢球鏡面形誤差是否滿足設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)。本文在第3 節(jié)中將它作為一個實例，應(yīng)用平面對稱光學(xué)系統(tǒng)像差理論來計算光束斜入射的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)的像差，以驗證我們理論工作的有效性。

1 光束斜入射的折射光學(xué)系統(tǒng)波像差

1.1 平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的波像差系數(shù)

圖1 平面對稱反射/折射光學(xué)系統(tǒng)成像示意圖Fig.1 Imaging schematic of plane-symmetric catadioptric optical system

圖1 為平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的反射/折射成像示意圖，圖1（a）和圖1（b）分別表示反射和折射光學(xué)系統(tǒng)。

光學(xué)系統(tǒng)是關(guān)于χOz′平面對稱，O為光學(xué)元件表面的頂點，O0OO1位于對稱平面χOz′內(nèi)，是光學(xué)系統(tǒng)的基準(zhǔn)光線。由光源S0發(fā) 出的光線定義為主光線；xyz表示孔徑光闌坐標(biāo)系，原點為；z′=f(χ,η)為光學(xué)元件在光學(xué)元件表面坐標(biāo)系 χ ηz′下的面形方程；n0和n1分別表示物方和像方空間的折射率；u、u′分別表示物方和像方的視場角； α 和 β分別表示基準(zhǔn)光線O0OO1在各個光學(xué)元件表面的入射角和反射角/折射角，它們是參照z′軸的正方向來定義的，當(dāng)z′軸逆時針方向旋轉(zhuǎn)到該光線時角度的符號規(guī)定為正，反之為負。

在平面對稱光柵系統(tǒng)波像差理論中，采用超環(huán)面作為參考波陣面來定義波像差，并應(yīng)用光線幾何方程和多項式擬合法求出光線在光學(xué)元件表面和入射波陣面之間的位置坐標(biāo)映射關(guān)系，導(dǎo)出平面對稱光柵系統(tǒng)的波像差表達式。

應(yīng)用波像差的方法求解平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的波像差時，需要定義平面對稱光學(xué)元件的面形。平面對稱光學(xué)元件的面形方程一般用下式表示[10-11]：

對于平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的四階波像差，面形方程式（1）需要關(guān)于x、y進行泰勒級數(shù)展開至四階，具體表達式為

式中：ci,j為光學(xué)元件面形系數(shù)，當(dāng)光學(xué)面為二次旋轉(zhuǎn)圓錐曲面時，其面形系數(shù)由文獻[12]的公式（24）給出。

推導(dǎo)出的平面對稱光柵系統(tǒng)的波像差，由物方光束和像方光束兩部分貢獻，因此波像差可以表示為

將Wobj和Wima展開為關(guān)于x、y、u的四階泰勒級數(shù)，可得到：

式中：Mi jk=Mijk(α,rm,rs,l)表示物方空間的波像差系數(shù)，由文獻[8]中的附錄A 給出。像方空間的波像差系數(shù)只要對物方空間相關(guān)參量進行替換，就可以得到分別表示光學(xué)元件在物方和像方空間內(nèi)的子午焦距和弧矢焦距，l和l′分別表示物方和像方空間內(nèi)的光瞳位置參量[13]。

折射情況和反射情況下的光學(xué)系統(tǒng)具有相似的光線幾何特征，只是像方空間的折射率以及入射角的規(guī)定不同。在光束斜入射的折射情況下的平面對稱光學(xué)系統(tǒng)中，入射光線關(guān)于z′軸正方向的方向角應(yīng)該為α+180°，如圖1（b）所示。所以在這種情況下的波像差計算中，只需要在文獻[8]推導(dǎo)出的反射光學(xué)系統(tǒng)的波像差計算表達式的基礎(chǔ)上，將其中的參量 α用α+180°來替換，并且需要考慮光學(xué)元件,物方空間的折射率n0和像方空間的折射率n1。因此，對于反射和折射光學(xué)面，波像差計算的統(tǒng)一表達式為

當(dāng)n0=n1=1時，上式表示為反射光學(xué)面的波像差，否則代表折射光學(xué)面。

將u′=?(n0/n1)≡n0/1u代入（6）式，可得到波像差W的四階泰勒級數(shù)形式：

式中Wijk為波像差系數(shù)。它的具體表達式為

其中，

1.2 光學(xué)系統(tǒng)的四階波像差理論

在波像差的求解過程中，需要知道光學(xué)系統(tǒng)的基本參數(shù)。對于軸對稱光學(xué)系統(tǒng)，一般基于高斯光學(xué)定義光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)。類似地，對于平面對稱光學(xué)系統(tǒng)，準(zhǔn)基像差理論應(yīng)用一二階波像差系數(shù)定義光學(xué)系統(tǒng)像差的參考“基準(zhǔn)”。首先，通過W100=0來定義光學(xué)系統(tǒng)的基準(zhǔn)光線，得到反射或折射光學(xué)面的Snell 定律：

其次，通過應(yīng)用W200=0和W020=0來分別確定光學(xué)元件在子午和弧矢平面內(nèi)的焦平面位置：

另外，應(yīng)用W011=0來確定主光線的位置（也就是孔徑光闌位置）：

根據(jù)（12）式和（13）式可以得到物方空間與像方空間內(nèi)的孔徑光闌位置之間的關(guān)系為

因此，對于準(zhǔn)基像差理論，即在滿足（10）式～（13）式的條件下，決定光學(xué)系統(tǒng)的四階單色波像差項為

2 折反射組合光學(xué)系統(tǒng)的像差

2.1 光線像差

文獻[8]介紹了在平面對稱光柵系統(tǒng)中如何利用波像差系數(shù)求解像平面上的光線像差。對于折射光學(xué)系統(tǒng)來說，求解方法相同，但是在求解子午和弧矢方向上實際光線與參考出射波陣面的法線之間的角度偏移量時，需要考慮像方的空間折射率。因此有：

式中：n1為光學(xué)面的像方空間折射率；是實際出射波陣面上光線的位置坐標(biāo)。

一個光學(xué)面的三階光線像差計算公式為

式中di jk和hi jk為 光線像差系數(shù)，具體公式由文獻[8]中附錄B 給出。

2.2 多元件光學(xué)系統(tǒng)的波像差計算

對于g個光學(xué)面的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)，系統(tǒng)總的波像差是各光學(xué)面產(chǎn)生的波像差之和[14]。因此，在孔徑光線傳遞為線性近似的條件下，光學(xué)系統(tǒng)總的波像差表達式為

式中：Wijk(m)和是第m個 成像面和系統(tǒng)總的波像差系數(shù)。傳遞系數(shù)Am|g、Bm|g由 下式給出：

在計算像差系數(shù)的公式中，用wijk代 替其他相關(guān)光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)為最后光學(xué)面像方空間的參數(shù)。

3 像差理論應(yīng)用實例

綜上所述，經(jīng)擴展后的平面對稱光學(xué)系統(tǒng)像差理論的像差表達式既適用于折射系統(tǒng)，也適用于反射系統(tǒng)。在像差的計算上，擴展后的表達式使兩者保持了統(tǒng)一，僅需注意在計算折射系統(tǒng)時引入物像方的折射率作為計算參數(shù)即可。擴展后的像差理論表達式可以直接應(yīng)用于折反射組合光學(xué)系統(tǒng)的像差計算，且光學(xué)系統(tǒng)元件的表面可以是多種二次旋轉(zhuǎn)圓錐曲面。為了驗證平面對稱像差理論適用于光束斜入射的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)，將其應(yīng)用于橢球鏡面形檢測光學(xué)系統(tǒng)的成像計算，并與Zemax 軟件[15]的光線追跡結(jié)果進行比較。

橢球鏡面形檢測光學(xué)系統(tǒng)光路示意圖如圖2所示，它是由一塊橢球面反射鏡OE1 與一塊球面透鏡OE2 組成（OE2 的作用主要是縮短光路長度）。假定激光光纖光源和像平面位置分別在S和S′處 ， α、 β分別表示光束打在橢球鏡上的入射角與反射角。

圖2 橢球鏡面形檢測光學(xué)系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of surface-shape detection optical system of ellipsoidal mirror

橢球鏡面形檢測光路系統(tǒng)的相關(guān)光學(xué)參數(shù)由表1 給出，顯然n0=n1=n3=1。

表1 橢球鏡面形檢測系統(tǒng)的光學(xué)參數(shù)Table 1 Optical parameters of surface-shape detection optical system of ellipsoidal mirror

下面將分別計算孔徑光闌直徑為7 mm 時，光束打在橢球鏡面上的入射角分別為 0°、 40°、80°情況下D 光（工作波長為587.56 nm）的像差分布，并且假定激光光纖光源與橢球鏡的距離為100 mm。

應(yīng)用本文討論的擴展后的像差理論以及光線追跡軟件Zemax 分別計算該光學(xué)系統(tǒng)在像平面上的光線點列圖，計算結(jié)果如圖3 所示。圖3 中最右邊 α表示光束打在橢球鏡上的入射角，圖3（a）是應(yīng)用光線追跡軟件Zemax 得到的光線點列圖，圖3（b）為應(yīng)用本文擴展的平面對稱光學(xué)系統(tǒng)像差理論計算的像差分布圖。由圖3 可知，在不同斜入射角度情況下，無論是像差分布尺寸，還是點列圖的形狀特征，兩種方法的計算結(jié)果都吻合得很好。

圖3 橢球鏡面形檢測系統(tǒng)的光線點列圖Fig.3 Ray of light spot diagrams of surface-shape detection optical system of ellipsoidal mirror

4 結(jié)論

本文討論了基于平面對稱反射光柵系統(tǒng)的像差理論，將其擴展為適用于光束斜入射的折射光學(xué)系統(tǒng)的像差分析，使得該像差理論可以對光束斜入射的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)進行像差分析計算。然后，應(yīng)用擴展的像差理論對橢球鏡面形檢測的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)進行像差計算，并與光線追跡軟件Zemax 模擬結(jié)果進行對比。結(jié)果表明：即使在大角度斜入射（甚至掠入射）的情況下，擴展后的平面對稱光學(xué)系統(tǒng)的像差理論對此類光學(xué)系統(tǒng)的計算依然具有令人滿意的計算精度。為光束斜入射的折反射組合光學(xué)系統(tǒng)的像差分析及優(yōu)化設(shè)計提供了一種強有力的分析手段。