數(shù)學(xué)的傳承
——張壽武教授談王元院士

楊 靜 李文林 魏 蕾，3，4(提問) 張壽武(作答)楊 靜 魏 蕾 趙 晶(整理)

(1.天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387； 2.中國科學(xué)院 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京 100190；3.中國科學(xué)院 自然科學(xué)史研究所，北京 100190； 4.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049； 5.普林斯頓大學(xué) 數(shù)學(xué)系，普林斯頓 NJ 08544- 1000)

張壽武，1962年生，安徽和縣人，數(shù)學(xué)家。1983年在中山大學(xué)數(shù)學(xué)系畢業(yè)后，前往中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所攻讀碩士學(xué)位，師從王元(1930—2021)。1986年赴美國哥倫比亞大學(xué)繼續(xù)深造，1991年獲得博士學(xué)位。先后任教、任職于普林斯頓大學(xué)和普林斯頓高等研究院，1996年獲得哥倫比亞大學(xué)終身教職，2011年至今在普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系任終身教授。

張壽武的主要研究領(lǐng)域包括數(shù)論與代數(shù)幾何。1992年，他證明了世界性難題波戈莫洛夫猜想(Bogomolov conjecture)[1]。1997年，在世界上率先在全實(shí)域上推廣了“格羅斯-乍基亞公式”(Gross-Zagier formula)[注]1986年，Benedict H. Gross和Don B. Zagier提出的公式，發(fā)表在數(shù)學(xué)頂級期刊Inventiones. Math。[2]，被稱為“格羅斯-乍基亞-張公式”[3]，1998年應(yīng)邀在德國柏林舉行的第23屆國際數(shù)學(xué)家大會上做45分鐘報(bào)告。

張壽武曾獲斯隆研究獎[注]斯隆研究獎(Sloan Research Fellowships)于1955年設(shè)立，每年頒發(fā)一次，旨在支持和獎勵(lì)處于職業(yè)早期階段的杰出科學(xué)家和學(xué)者。授予學(xué)科領(lǐng)域有：化學(xué)、分子生物學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)、神經(jīng)科學(xué)、物理學(xué)和海洋科學(xué)。、晨興數(shù)學(xué)金獎[注]晨興數(shù)學(xué)獎(Morningside Medal of Mathematics)授予45歲以下、在純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)方面有杰出成就的華人數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“華人菲爾茲獎”，是世界華人數(shù)學(xué)家大會的最高獎項(xiàng)。該獎創(chuàng)立于1998年，每三年頒發(fā)一次，獎項(xiàng)包括金獎與銀獎。、古根海姆基金獎[注]古根海姆獎(Guggenheim Fellowship)設(shè)立于1925年，旨在獎勵(lì)各國在教育、文學(xué)、藝術(shù)和科學(xué)領(lǐng)域做出杰出貢獻(xiàn)的個(gè)人。。當(dāng)選為美國人文與科學(xué)院院士，美國數(shù)學(xué)學(xué)會會士，我國教育部第二批“長江學(xué)者獎勵(lì)計(jì)劃講座教授”，曾擔(dān)任中國“未來科學(xué)大獎”科學(xué)委員會委員。

2019年9月2日，楊靜、李文林、魏蕾等在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院[注]中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院是1998年12月由中國科學(xué)院的數(shù)學(xué)研究所、應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所、系統(tǒng)科學(xué)研究所以及計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算研究所4個(gè)研究所整合而成的研究機(jī)構(gòu)。南樓816室，采訪了張壽武教授。楊靜、魏蕾、趙晶對訪談稿進(jìn)行了整理。本文中用“訪”表示訪談人，“張”表示受訪人張壽武教授。

張壽武教授在訪談中，用了很多時(shí)間回憶導(dǎo)師王元院士對自己學(xué)術(shù)成長的影響，師恩重如山；在王元院士等老一輩數(shù)學(xué)家的影響下，張教授也身體力行地耕耘在數(shù)學(xué)天地。通過自己的求學(xué)經(jīng)歷，在數(shù)學(xué)研究、人才培養(yǎng)方面的體會，張教授對中國數(shù)學(xué)的發(fā)展，提出獨(dú)到見解和寶貴建議。從中，筆者可以感受到一代學(xué)人強(qiáng)烈的社會責(zé)任感，對數(shù)學(xué)研究事業(yè)的摯愛，對培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才的傾情投入。由此，我國的數(shù)學(xué)事業(yè)得以傳承。王元院士已于2021年5月14日駕鶴西去，謹(jǐn)以此文緬懷、追思老數(shù)學(xué)家的高尚品格。

1 與王元院士結(jié)緣

訪：您從小的教育環(huán)境遠(yuǎn)談不上優(yōu)越，但卻早早在數(shù)學(xué)方面嶄露頭角，在外人看來，求學(xué)之路格外順暢，我們很想知道這個(gè)過程。

張：我是在農(nóng)村長大的，種田、養(yǎng)鴨、捕魚這些農(nóng)活都干過，是地地道道的農(nóng)村孩子。只是從小對數(shù)字有些敏感，算是略有天資。稍大一點(diǎn)，感覺數(shù)學(xué)最單純，通過對錯(cuò)就能客觀地分出高下，因此格外喜歡數(shù)學(xué)。

20世紀(jì)70年代，村里來了一些上山下鄉(xiāng)的上海知青，很多人手中有一套《青年自學(xué)叢書》，內(nèi)容比課本豐富，難度也稍微大些。我覺得有趣，便從知青手里借來讀，通過這種方式，自學(xué)了高中數(shù)學(xué)。

由于自學(xué)知識體系結(jié)構(gòu)完全是隨機(jī)的，這樣帶來了兩個(gè)好處。一個(gè)是很早我就意識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要建立在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，另一個(gè)是學(xué)會了融會貫通。從此，我開始享受做數(shù)學(xué)題目的過程，經(jīng)常坐在那里慢慢地思考、重新規(guī)劃，把一個(gè)非常復(fù)雜的問題簡化成一個(gè)個(gè)很小的問題，再逐一求證。

由于興趣使然，從中學(xué)起，我?guī)缀醢阉械木Χ挤旁跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)上。到了高中階段，我通過自學(xué)開始接觸到數(shù)學(xué)分析、微積分、抽象代數(shù)等大學(xué)數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)方面的知識結(jié)構(gòu)已經(jīng)遠(yuǎn)超同儕了。

不成想考大學(xué)時(shí)，由于陰差陽錯(cuò)考試失誤，1980年，我被錄取到中山大學(xué)化學(xué)系。

在化學(xué)系讀了半個(gè)學(xué)期，我始終割舍不下對數(shù)學(xué)的摯愛，提出轉(zhuǎn)學(xué)到數(shù)學(xué)系。這并不被所有人理解，當(dāng)時(shí)國家經(jīng)濟(jì)開始騰飛，和國民經(jīng)濟(jì)聯(lián)系緊密的應(yīng)用學(xué)科更有前途，怎么會去追求枯燥、單調(diào)的數(shù)學(xué)？好在學(xué)校很開明，同意我轉(zhuǎn)系。由此，我開始了數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)習(xí)。

訪：您曾經(jīng)說過，從大學(xué)已經(jīng)開始了對數(shù)論的研究，而這幾乎是您學(xué)術(shù)研究的一條主線，是不是大學(xué)時(shí)代已經(jīng)確立了今后的學(xué)術(shù)方向？

張：應(yīng)該說大學(xué)時(shí)代，我對自己未來的學(xué)術(shù)方向還是相當(dāng)模糊的。對數(shù)論產(chǎn)生濃厚興趣，源于對求證哥德巴赫猜想的了解。轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)系，隨著學(xué)習(xí)和研究的深入，思路逐漸清晰，對數(shù)論的研究也更為癡迷，成為了我今后多年一個(gè)主要的研究內(nèi)容。

陳景潤[注]陳景潤，學(xué)部委員(院士)，1973年發(fā)表了哥德巴赫猜想“1+2”的詳細(xì)證明。(1933—1996)先生完成哥德巴赫猜想“1+2”的詳細(xì)證明之后，在國內(nèi)媒體得到廣泛宣傳，深深地影響了我們這一代人。當(dāng)時(shí)我還在上中學(xué)，便找來陳景潤的《初等數(shù)論》[注]《初等數(shù)論I》，北京：科學(xué)出版社，1978年。學(xué)習(xí)。這使我深受震動，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)上竟可以主動提出猜想、進(jìn)而求證猜想，而不是僅僅被動、枯燥地完成書本題目的演算和解答，這幫助我完成了學(xué)習(xí)動機(jī)從被動解題到主動求證的轉(zhuǎn)變，建立起自己的知識體系。

大學(xué)期間，我讀了華羅庚[注]華羅庚，學(xué)部委員(院士)、美國國家科學(xué)院外籍院士。中國的解析數(shù)論、典型群、矩陣幾何學(xué)、自守函數(shù)論與多復(fù)變函數(shù)等許多領(lǐng)域的創(chuàng)始人與開拓者。(1910—1985)的《數(shù)論導(dǎo)引》[注]《數(shù)論導(dǎo)引》，北京：科學(xué)出版社，1957年。和潘承洞[注]潘承洞，學(xué)部委員(院士)，主要研究方向?yàn)閿?shù)論。(1934—1997)、潘承彪[注]潘承彪，主要研究方向?yàn)閿?shù)論。(1938—)合寫的《哥德巴赫猜想》[注]《哥德巴赫猜想》，北京：科學(xué)出版社，1981年。，還曾受到美國伊利諾伊大學(xué)的一位數(shù)學(xué)教授的點(diǎn)撥，除了加深對數(shù)論的理解，經(jīng)過深入思考，隱約感覺到解析數(shù)論已經(jīng)很難對哥德巴赫猜想做進(jìn)一步的推廣。

我認(rèn)為在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如果說微積分是19世紀(jì)一個(gè)重要的革命，李群和代數(shù)拓?fù)鋺?yīng)該是20世紀(jì)的重要突破。而用代數(shù)幾何方法研究數(shù)論，更具寬度，與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域聯(lián)系更多，也更接近于中心數(shù)學(xué)。這也是我喜歡研究代數(shù)的原因。

大學(xué)三年級，我完成本科階段學(xué)習(xí)，準(zhǔn)備報(bào)考研究生。對于專業(yè)方向的選擇很糾結(jié)，去北京大學(xué)跟馬希文[注]馬希文，數(shù)學(xué)家，計(jì)算機(jī)科學(xué)家，語言學(xué)家和教育家。(1939—2000)教授學(xué)計(jì)算機(jī)，或者到復(fù)旦大學(xué)跟許永華教授讀代數(shù)，都曾是我的考慮。最后，出于對國家最高科研機(jī)構(gòu)的向往，對一眾老數(shù)學(xué)家卓越成就的景仰，還是報(bào)考了中科院數(shù)學(xué)所。1983年，我進(jìn)入中科院數(shù)學(xué)所讀研究生，這時(shí)導(dǎo)師和專業(yè)方向都還沒有確定。

訪：中科院數(shù)學(xué)所是您在國內(nèi)求學(xué)的最后一站，您怎么評價(jià)在這里的學(xué)習(xí)？

張：中科院數(shù)學(xué)所的教學(xué)理念和模式，在當(dāng)時(shí)非常先進(jìn)、科學(xué)，我僥幸受到國內(nèi)最好的數(shù)學(xué)教育。

研究生第一年不分專業(yè)方向，所有學(xué)生統(tǒng)一安排在玉泉路學(xué)習(xí)基礎(chǔ)課。中科院數(shù)學(xué)所組織了很強(qiáng)的教學(xué)師資力量承擔(dān)教學(xué)任務(wù)，特別是在代數(shù)和數(shù)論方向，由劉木蘭[注]劉木蘭，中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員，主要研究方向?yàn)樾畔踩⒚艽a學(xué)、計(jì)算機(jī)代數(shù)。教授K理論，馮緒寧[注]馮緒寧，中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員，主要研究方向?yàn)閿?shù)論、信息通信理論。教授交換代數(shù)，胥鳴偉[注]胥鳴偉，中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)、代數(shù)幾何。教授代數(shù)幾何，于坤瑞[注]于坤瑞，中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員，主要研究方向?yàn)閿?shù)論。教授代數(shù)。即使在今天，一般的大學(xué)也很難開出這樣的課程。

研究生院和數(shù)學(xué)所的學(xué)術(shù)活動很豐富，我印象最深刻的有3次報(bào)告，對我一生的學(xué)術(shù)研究都有影響。剛?cè)雽W(xué)，研究生院就請來北京大學(xué)的丁石孫[注]丁石孫，數(shù)學(xué)家、教育家和社會活動家。本文中所提講課時(shí)，應(yīng)為1984年至1988年間。(1927—2019)教授做橢圓曲線的報(bào)告。然后是我在數(shù)學(xué)所內(nèi)參加的兩次報(bào)告。

一次是由陳景潤先生主持，吳文俊[注]吳文俊，學(xué)部委員(院士)，主要研究方向?yàn)椋和負(fù)?、?shù)學(xué)機(jī)械化、數(shù)學(xué)史。(1919—2017)先生報(bào)告中國的數(shù)學(xué)史與機(jī)器證明。之前在大學(xué)里基本上都是從課本上學(xué)知識，現(xiàn)在能與大數(shù)學(xué)家直接謀面，我自是非常興奮。聽吳先生娓娓道來自己的研究成果，把枯燥、繁復(fù)的理論講活了，遠(yuǎn)不像書上只有對錯(cuò)之分的簡單刻板，讓我感觸非常深。可見，同樣的數(shù)學(xué)理論，理解深度不同，會得出完全不同的解讀。就像一曲音樂，由造詣不同的音樂家奏出，聽眾的感受是不一樣的。我得出結(jié)論，今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，一定要求教高人，而不能僅跟課本學(xué)。

另一次是王元院士介紹哥德巴赫猜想。在報(bào)告中，元老介紹了德國青年數(shù)學(xué)家法爾廷斯(Gerd Faltings，1954—)[注]法爾廷斯，德國數(shù)學(xué)家，1983年用代數(shù)幾何學(xué)的方法證明了數(shù)論中的莫德爾猜想，1986年獲得菲爾茲獎。對莫德爾猜想(Mordell conjecture)的證明，他評價(jià)定理證明得非常漂亮，同時(shí)謙遜地談到：除了前言，其他部分自己都看不懂。這是我第一次聽到法爾廷斯的名字，激起了我無限的興趣，也堅(jiān)定了自己用代數(shù)方法研究數(shù)論的決心。[4]隨后，我找到元老說：“我要跟您學(xué)數(shù)論，就讀這篇文章[注]指的是：G. Faltings, Endlichkeitss?tze für abelsche Variet?ten über Zahlk?rpern, Inventiones mathematicae, 73(1983)： 349- 366.，如果3年之內(nèi)看懂這篇文章，就給我一個(gè)學(xué)位?！痹贤猓骸爸灰x懂這篇文章，就給你一個(gè)碩士學(xué)位?！边@是我?guī)煆脑系拈_始。

3年之后，盡管我學(xué)成哈特肖恩(Robin Hartshorne)[注]哈特肖恩，加利福尼亞大學(xué)伯克利分校數(shù)學(xué)系教授，主要研究方向?yàn)榇鷶?shù)幾何。所著代數(shù)幾何的標(biāo)準(zhǔn)教材Algebraicgeometry，但還是無法讀懂法爾廷斯的論文，畢業(yè)時(shí)只能硬著頭皮拼湊了一篇論文。答辯完后，元老的結(jié)論很有趣：“你講的東西我們一個(gè)字也聽不懂，但考慮到你每天8點(diǎn)之前就到辦公室，很用功，這個(gè)碩士學(xué)位就送給你了，以后要靠真才實(shí)學(xué)才行?！?/p>

元老對自己學(xué)生的了解，開放開明的治學(xué)態(tài)度，處處體現(xiàn)出長者的關(guān)愛。

訪：讀研究生的時(shí)候，除了埋頭苦讀，還有沒有其他有趣的事情發(fā)生？

張：在數(shù)學(xué)所讀書的時(shí)候，我們這些年輕學(xué)生充滿激情，有很強(qiáng)烈的責(zé)任感。既然承認(rèn)中國數(shù)學(xué)在國際上處于很落后的位置，我們便立志要做出一番事業(yè)，在自己的手中把中國數(shù)學(xué)提升到20世紀(jì)領(lǐng)先水平。

因?yàn)榱w慕布爾巴基(Bourbaki)[注]布爾巴基是20世紀(jì)30年代開始，一些法國數(shù)學(xué)家所組成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義團(tuán)體的筆名。經(jīng)過兩代布爾巴基成員的努力，把代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、同調(diào)代數(shù)、微分拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何學(xué)、多復(fù)變量函數(shù)論、代數(shù)幾何學(xué)、代數(shù)數(shù)論、李群和代數(shù)群理論、泛函分析等數(shù)學(xué)領(lǐng)域匯合在一起，形成現(xiàn)代數(shù)學(xué)的主流，到20世紀(jì)五六十年代發(fā)展到頂峰。對當(dāng)代數(shù)學(xué)和法國數(shù)學(xué)事業(yè)做出的貢獻(xiàn)，我們希望成為中國的布爾巴基。幾位同學(xué)，包括現(xiàn)在清華經(jīng)管學(xué)院的院長白重恩，一起商量好，去圓明園舉行一個(gè)儀式，買了一瓶二鍋頭和一只燒雞，鄭重宣誓，要構(gòu)造新的中國數(shù)學(xué)。

東西吃完了，回來馬上找來大量布爾巴基的論著開始研讀。我們中間多數(shù)人是學(xué)分析的，便從分析開始入手。結(jié)果討論了一星期之后，發(fā)現(xiàn)完全進(jìn)行不下去。

中國數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)過于薄弱，長期以來只能跟在別人后面，做些無關(guān)緊要的非主流工作，光靠年輕人的熱情，不可能做出實(shí)質(zhì)性的推動。我從那時(shí)就常常在思考，什么時(shí)候能做中國人自己的數(shù)學(xué)？

訪：研究生畢業(yè)，您就負(fù)笈海外求學(xué)了。

張：這要感謝國家擴(kuò)大國際學(xué)術(shù)交流的基本國策。

1985年，哥德費(fèi)爾德(Dorian Morris Goldfeld，1947—)[注]哥德費(fèi)爾德，哥倫比亞大學(xué)教授，主要研究方向是數(shù)論。1985年曾獲沃恩獎(Vaughn Prize)，1987年獲科爾數(shù)論獎(Frank Nelson Cole in Number Theory, 美國數(shù)學(xué)會設(shè)立的唯一數(shù)論獎項(xiàng))。來數(shù)學(xué)所訪問，元老安排我全程陪同，由此結(jié)緣。研究生畢業(yè)以后，在元老和哥德費(fèi)爾德的鼎力支持下，1986年9月，我來到美國哥倫比亞大學(xué)攻讀博士學(xué)位，成為哥德費(fèi)爾德的學(xué)生。期間機(jī)緣巧合，又分別受教于施皮羅(Lucien Szpiro，1941—2020)[注]施皮羅，法國數(shù)學(xué)家，研究方向?yàn)樗銛?shù)代數(shù)幾何。與法爾廷斯，獲益匪淺。1991年拿到博士學(xué)位以后，留在美國執(zhí)教至今。

2 師恩重如山

訪：您曾經(jīng)說過，在中科院數(shù)學(xué)所受到最好的教育，其中元老起了很重要的作用，是您開啟學(xué)術(shù)之路的第一位導(dǎo)師。

張：我認(rèn)為元老是國內(nèi)集大成的數(shù)學(xué)家，把數(shù)學(xué)的最精華的部分發(fā)揮到了極致，在數(shù)論、分析和統(tǒng)計(jì)方面都做出了突出的貢獻(xiàn)。元老做學(xué)問非常大氣、開明，胸襟豁達(dá)、毫無門戶之見。同時(shí)，元老又很注重細(xì)節(jié)，他說完成一個(gè)成果的時(shí)候，一定已經(jīng)寫出完整的推理過程。這是值得我學(xué)習(xí)的地方。

元老在學(xué)術(shù)上對我影響很大，指導(dǎo)我的過程中，更多的是“授人以漁”，既有思路的點(diǎn)撥，也會有研究方法的建議。他并沒有因?yàn)檠芯糠较虻牟煌?，?qiáng)迫我延續(xù)他自己造詣精深的老路，樂于看到我用另一種工具闖出數(shù)論研究新的天地。

元老曾經(jīng)說過，研究解析數(shù)論至少要“面壁”五年，一般要“面壁”十年，也就是說要讀大量的書，有多年的基礎(chǔ)理論準(zhǔn)備。我想，自己不是一個(gè)坐得住的人，面壁十分鐘已經(jīng)很難受了，所以做不了解析數(shù)論。

師從元老的時(shí)候，我已經(jīng)下決心學(xué)習(xí)數(shù)論，但是不想在解析數(shù)論方向發(fā)展。我有個(gè)優(yōu)點(diǎn)，能夠在不同的學(xué)科，比如分析、代數(shù)、幾何之間融會貫通，這是我喜歡代數(shù)數(shù)論的一個(gè)原因。最初我有些糾結(jié)，甚至考慮是不是到外地跟隨代數(shù)數(shù)論的專家學(xué)習(xí)。為此，我征求元老意見，元老卻說，要對自己有信心，既然選定方向，只要努力就會有收獲；換了環(huán)境并不一定是好事，數(shù)學(xué)所會給你足夠的空間。我按照元老的“旨意”，留在數(shù)學(xué)所學(xué)習(xí)，終有所成。

研究生二年級的時(shí)候，我從玉泉路回到數(shù)學(xué)所數(shù)論組，在辦公室用的是陳景潤的桌子，此時(shí)陳景潤已經(jīng)住院。元老正任數(shù)學(xué)所所長，事務(wù)冗繁，但每天大概下午四、五點(diǎn)鐘的時(shí)候，會到我辦公室談上1—2個(gè)小時(shí)。

元老是解析數(shù)論的高手，對數(shù)學(xué)的理解很深刻，但我們的談話很少涉及真正的數(shù)學(xué)核心學(xué)術(shù)問題。每天的話題都不一樣，他會聊對數(shù)學(xué)家的看法，怎么才能成為有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)家，比如他特別崇拜施密特(W.M. Schmidt，1964—)[注]施密特，當(dāng)代權(quán)威數(shù)論學(xué)者，在丟番圖逼近論和丟番圖方程等領(lǐng)域做出重要貢獻(xiàn)，特別是將關(guān)于代數(shù)數(shù)有理逼近的Roth定理(榮獲1958年菲爾茨獎)擴(kuò)充到聯(lián)立逼近的情形，建立了子空間定理，推動了代數(shù)數(shù)的逼近和丟番圖方程等課題的研究。和赫克(E. Hecke，1887—1947)[注]赫克，德國漢堡大學(xué)教授，有代數(shù)數(shù)論大師之稱。在自守函數(shù)研究方面有重要突破，以Hecke命名的環(huán)與算子是自守函數(shù)學(xué)科中的重要概念。。他會聊數(shù)學(xué)應(yīng)該怎么做，探討科學(xué)的研究方法。

元老一聊起數(shù)學(xué)，眼睛會發(fā)光，一展數(shù)學(xué)生動的一面，讓你不由自主地喜歡上數(shù)學(xué)。盡管我們的話題海闊天空，他的教誨也貌似瑣碎、嘮叨，但無時(shí)不體現(xiàn)出一個(gè)長者對青年學(xué)生費(fèi)盡心力的提攜。我經(jīng)常聽得入迷，恍惚間，仿佛覺得像是一對父子在閑敘家常。

我快畢業(yè)的時(shí)侯，準(zhǔn)備去美國繼續(xù)深造，意外的把申請資料全部搞丟了。當(dāng)時(shí)元老正在美國訪問，住在哥德費(fèi)爾德家里。得知此事，兩位數(shù)學(xué)家親自把我的申請資料重新整理一遍，哥德費(fèi)爾德負(fù)責(zé)打印，元老寫推薦信。在推薦信中，元老稱我是他最好的學(xué)生。我一直以為，元老對我不甚了解，因?yàn)槌肆奶?，他很少過問我的研究內(nèi)容和進(jìn)展，怎么就成了最好的學(xué)生？我后來問起這事，元老決然回答，我覺得最好就是最好了。一現(xiàn)大師的氣勢。

后來，我同時(shí)被哥倫比亞大學(xué)和布蘭迪斯大學(xué)錄取。 布蘭迪斯大學(xué)錄取我的人是艾森伯得(David Eisenbud)，他現(xiàn)在是加州大學(xué)伯克利分校MSRI[注]全稱是Mathematical Sciences Research Institute，即：數(shù)學(xué)科學(xué)研究所。的負(fù)責(zé)人，一位代數(shù)幾何學(xué)家。學(xué)習(xí)法爾廷斯文章受到的挫折，讓我先接受了布蘭迪斯，想跟艾森伯得學(xué)習(xí)代數(shù)幾何，然后再自學(xué)數(shù)論。元老知道以后大發(fā)雷霆，讓我不要輕言放棄。這是我第一次見到元老發(fā)火，嚇了一跳，趕緊把布蘭迪斯退了，然后接受哥倫比亞?，F(xiàn)在我發(fā)現(xiàn)他的意見完全正確，數(shù)論畢竟是我的興趣所在，代數(shù)幾何只是我研究數(shù)論的工具。

研究生畢業(yè)時(shí)，元老來給我們這屆學(xué)生訓(xùn)話。他提醒我們，第一點(diǎn)，你們到國外要好好讀書，學(xué)成之后可以回來，國家需要你們；學(xué)業(yè)不成功就不要回來，國外生活條件畢竟好一些。第二點(diǎn)，在國外不要把時(shí)間浪費(fèi)在做助教賺錢上，一定要好好做學(xué)問。元老的看法那么前瞻，把人性理解得如此深刻，在我所見到的數(shù)學(xué)家中是獨(dú)一無二的。

我想，作為一位純粹的數(shù)學(xué)家、一位育人的導(dǎo)師，元老大概是做到了極致。

訪：您曾經(jīng)說過數(shù)學(xué)分很多種，什么樣的人做什么樣的數(shù)學(xué)。比如您曾經(jīng)評價(jià)過法爾廷斯是力量型的，說他做數(shù)學(xué)碰到一座山，不會抄近路走，而是用推土機(jī)或者是炸藥把它炸掉，這個(gè)評價(jià)我們覺得很有意思。想問問您，您覺得元老屬于哪一種類型的數(shù)學(xué)家？

張：按說我沒有資格去評價(jià)元老的學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)，既然談到這里，我就事論事談下我的看法。

應(yīng)該說元老天資異稟，而且很幸運(yùn)地受到當(dāng)時(shí)國內(nèi)最好的數(shù)學(xué)教育。在浙江大學(xué)讀書的時(shí)候，恰逢陳建功[注]陳建功，學(xué)部委員(院士)，主要研究方向?yàn)楹瘮?shù)論。(1893—1971)、蘇步青[注]蘇步青，學(xué)部委員(院士)，主要研究方向?yàn)槲⒎謳缀?、?jì)算幾何。(1902—2008)在浙大教書。來到初創(chuàng)的中科院數(shù)學(xué)所，又成為華羅庚的學(xué)生。良好的教育背景，加上本人的勤奮，使元老很快掌握了華老的數(shù)學(xué)精髓，用最精巧的方式，立竿見影去解決問題。最終，元老成為華老數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)工作最重要的繼承人，成為中國數(shù)學(xué)界不可替代的人物。

元老思維敏捷，特別善于捕捉別人不以為意的機(jī)會。20世紀(jì)50年代，通過一次與來華訪問的波蘭數(shù)學(xué)家交流[注]指的是1955年，波蘭數(shù)學(xué)家?guī)炖兴够鶃肀本┰L問一事。參見文獻(xiàn)[5]。，他感覺到“篩法”可能成為證明哥德巴赫猜想的有效途徑。經(jīng)過一番廢寢忘食的攻關(guān)，二十幾歲就完成了從證明“3+4”到證明“2+3”的突破，鑄就了一代解析數(shù)論大師的地位。

元老沒有裹足于解析數(shù)論一個(gè)領(lǐng)域，把自己的精力全部投于斯，他善于學(xué)習(xí)，善于接受新知識，加上理論功底深厚，又在不同方向上做出創(chuàng)新。元老曾經(jīng)說過，如果不去關(guān)注、學(xué)習(xí)前沿的新東西，那名氣再大也一錢不值。當(dāng)他覺得自己在數(shù)論方向再難有突破時(shí)，又轉(zhuǎn)攻數(shù)值分析，和華老合作的“華-王方法”是數(shù)值積分方面的重要成果。元老對數(shù)論工具的運(yùn)用非常到位，后來他發(fā)現(xiàn)可以用數(shù)論去做統(tǒng)計(jì)，便在這方面做出很好的成果。我隱約知道他用數(shù)論方法解決近似分析，已經(jīng)應(yīng)用到華爾街一些金融分析模型上。

法爾廷斯跟中國的數(shù)學(xué)家很不一樣。他中學(xué)時(shí)候就被發(fā)現(xiàn)是個(gè)神童，后來受過正規(guī)的代數(shù)幾何，就是交換代數(shù)的訓(xùn)練，掌握到最先進(jìn)的研究工具。在把莫德爾猜想作為主攻方向后，國外良好的學(xué)術(shù)環(huán)境和學(xué)術(shù)資源給他提供了足夠的彈藥，使他完成這一數(shù)論領(lǐng)域驚人的成果。元老研究廣度遠(yuǎn)超法爾廷斯，法爾廷斯的深度超過元老。

倒是比較元老和陳景潤、張益唐[注]張益唐，美國加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校教授，2013年在孿生素?cái)?shù)猜想上取得了突破性進(jìn)展，同年獲晨興數(shù)學(xué)卓越成就獎，2014年獲麥克阿瑟天才獎，2016年獲求是杰出科學(xué)家獎。(1955—)的學(xué)術(shù)經(jīng)歷，是件很有趣的事情。我認(rèn)為，從研究廣度來看，元老勝于陳景潤，陳景潤勝于張益唐。從研究深度的角度，張益唐比陳景潤深，陳景潤的工作也要比元老的工作深刻。從取得成果的年齡來看，元老青年成名，陳景潤是中年成名，張益唐是老年成名。三個(gè)人很有比對性。

陳景潤把“篩法”用到極致，不眠不休，達(dá)到最接近證明哥德巴赫猜想的高度。張益唐花30年時(shí)間，把孿生素?cái)?shù)從60級推演到2級，這有點(diǎn)等機(jī)會的感覺。這種事放在元老身上絕對不可想象，善于主動尋找機(jī)會，適時(shí)調(diào)整研究方向是元老的學(xué)術(shù)風(fēng)格。

元老最大的特點(diǎn)是能夠?qū)彆r(shí)度勢，抓住重點(diǎn)，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)間選擇正確的研究方向，這既出于對自己的正確估計(jì)，也出于對科學(xué)形勢的準(zhǔn)確判斷。他的工作更多是奠基性的，目的是為后人探路。因此，很難界定元老是技巧型的還是力量型的數(shù)學(xué)家，或者是兩者兼有。

訪：陳景潤先生證明哥德巴赫猜想的成果，是中國人引以為傲的數(shù)學(xué)成就。您很早就發(fā)現(xiàn)解析數(shù)論的方法很難對哥德巴赫猜想做進(jìn)一步的推廣，能不能跟我們談一下您對哥德巴赫猜想的看法？

張：哥德巴赫猜想，可以用公式表達(dá)為P+Q=2N，這是一個(gè)方程和兩個(gè)變量。陳景潤把公式改進(jìn)為P+Q1·Q2=2N，成為一個(gè)方程和三個(gè)變量。陳景潤的方法，在當(dāng)時(shí)幾位數(shù)論大家，包括邦別里(Enrico Bombieri，1940—)[注]邦別里，美國普林斯頓高等研究院教授，主要研究方向?yàn)閿?shù)論，1974年獲得菲爾茲獎。、塞爾伯格(Atle Selberg，1917—2007)[注]塞爾伯格，美國普林斯頓高等研究院教授，主要研究方向是解析數(shù)論、自守形式，1950年獲得菲爾茲獎，1986年獲得沃爾夫數(shù)學(xué)獎。和元老都沒看出來。他憑借對“篩法”的優(yōu)化，經(jīng)過幾十年如一日的演算，獨(dú)自完成了“1+2”的證明。

從概率的角度來看，求解兩個(gè)變量相比求解三個(gè)變量，本質(zhì)完全不同，難度級別的變化很難用數(shù)字表達(dá)。盡管陳景潤的工作把哥德巴赫猜想的證明向前推進(jìn)一大步，更加接近證明，但畢竟還未完全求證。而且，陳景潤已經(jīng)把解析數(shù)論的方法用到極致，這里不排除有一些運(yùn)氣的成分，如果再沿著這條路走下去，我覺得很難再有突破。

在對哥德巴赫猜想的研究過程中，元老是不可或缺的人物。正是他引入“篩法”，獲得最初的突破，才有后來陳景潤、潘承洞的成果。陳景潤完成論文之后，由元老負(fù)責(zé)審稿，第一個(gè)做出了證明正確的結(jié)論。隨后，又幫助陳景潤改進(jìn)證明，得到國際上的承認(rèn)。沒有元老的工作，很難想象中國在哥德巴赫猜想研究上取得的成就。

陳景潤先生是一位很了不起的數(shù)學(xué)家，但是帶學(xué)生并不是他擅長的項(xiàng)目。元老則更為全面，在他的帶動下，我們這些學(xué)習(xí)數(shù)論的學(xué)生才能做到了薪火相傳。

訪：在您的談話中，充滿了對元老的敬意。在您們的交往中，除了學(xué)術(shù)研究，還有什么故事可以分享？

張：不是特別多。

元老為人非常真誠、真實(shí)，也非常有趣，一點(diǎn)大數(shù)學(xué)家的架子都沒有。遇事通常直抒胸臆，很少掩飾自己的好惡。

剛跟元老讀書的時(shí)候曾經(jīng)有一個(gè)小誤會。我有個(gè)師兄叫董平平，出身軍人家庭，每天都穿著舊軍裝去辦公室。而我家里很窮，從廣州過來念書，只帶了一件花格子襯衫。晚上睡覺前就把它洗了，第二天干了接著穿。

元老看見我每天穿著花格子襯衫出入，感覺很別扭。他直接問我，你怎么老穿花襯衫？花里胡哨的；你看人家董平平多好，每天穿軍裝多樸實(shí)。我只能向元老解釋，您不了解情況，我只有這一件花襯衫，沒得換；董平平家里有的是軍裝，我哪能比？元老這才恍然，也就釋然了。

畢業(yè)以后，每次我回國的時(shí)候，都會拜會元老。元老便招待我吃飯，要么川菜、要么俄餐，清華南門外有家川菜館子味道很好，可惜名字我忘掉了。元老對美食有他的愛好，喜歡吃肉，尤其喜歡吃肥肉，這點(diǎn)我們有共同語言。他為人簡單，席間多是聊以前的往事。我有時(shí)會提些尖銳的問題，他總是會盡量解答。

受哥哥的影響，我從小喜歡書法。小時(shí)候，哥哥是村里唯一的高中生，字又寫得好，每年春節(jié)，村里百十戶人家都會到我家討對聯(lián)。人太多，寫不過來，哥哥就讓我?guī)兔Α４箝T對聯(lián)由他寫，剩下屋里、香爐上的帖子，都是我來寫，大家也分辨不出差別。從那時(shí)起，我對書法就格外有興趣。

元老的文采很好，我反復(fù)讀過他寫的《華羅庚》。晚年，元老開始迷戀書法，曾向歐陽中石求教，臨摹名家書法很有心得。因?yàn)閻酆孟嗤?，每次見面，都會看元老寫字，共同切磋一番?/p>

3 桃李不言，下自成蹊

訪：丘成桐[注]丘成桐，美國國家科學(xué)院院士、中國科學(xué)院外籍院士，現(xiàn)任美國哈佛大學(xué)教授、清華大學(xué)教授等，對微分幾何和數(shù)學(xué)物理的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。曾獲維布倫幾何獎(1981)、菲爾茲獎(1982)、麥克阿瑟獎(1985)、克拉福德獎(1994)、美國國家科學(xué)獎(1997)、沃爾夫數(shù)學(xué)獎(2010)、馬塞爾·格羅斯曼獎(2018)等獎項(xiàng)。(1949—)先生曾經(jīng)說過：“帶學(xué)生，張壽武是歐美數(shù)學(xué)家中出類拔萃的”。[6]您指導(dǎo)過的學(xué)生，像田野[注]田野，中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員，主要研究方向是數(shù)論、算術(shù)代數(shù)幾何，獲晨興數(shù)學(xué)金獎(2013)、拉馬努金獎(2013)。、張偉[注]張偉，現(xiàn)為美國麻省理工學(xué)院教授，主要從事數(shù)論、自守形式和算術(shù)幾何等方面的研究，曾獲拉馬努金獎(2010)，晨興數(shù)學(xué)金獎(2016)。、劉一峰[注]劉一峰，曾任美國耶魯大學(xué)教授，現(xiàn)為浙江大學(xué)數(shù)學(xué)高等研究院教授，研究方向?yàn)榇鷶?shù)數(shù)論、自守形式與代數(shù)幾何，曾獲斯隆研究獎(2017)、拉馬努金獎(2018)。、袁新意[注]袁新意，現(xiàn)為北京大學(xué)教授，研究方向?yàn)閿?shù)論和算術(shù)幾何，是獲得美國克雷研究所研究獎(2008)的第一位華人。等多人已經(jīng)成長為知名學(xué)者，很想聽聽您在培養(yǎng)學(xué)生方面的經(jīng)驗(yàn)和體會。

張：指導(dǎo)學(xué)生方面我深受元老的影響。首先，只有培養(yǎng)出優(yōu)秀的學(xué)生，才能真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)事業(yè)的傳承。另外，要秉持開明、大氣的格局，為他們找到正確的方向，而不必一定走導(dǎo)師的老路。

從小學(xué)到中學(xué)，甚至到大學(xué)本科的基礎(chǔ)教育階段，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)通常給人留下一個(gè)印象，衡量學(xué)習(xí)效果的標(biāo)準(zhǔn)是能否做對題目，數(shù)學(xué)貌似一門判定對錯(cuò)的學(xué)問。一旦選擇從事數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)研究，其實(shí)對、錯(cuò)并沒那么重要，而更為重要的是選擇好的研究方向，這將決定今后工作的高度和成果的大小。

我指導(dǎo)學(xué)生的時(shí)候，不是考慮學(xué)生自身學(xué)術(shù)能力能完成什么樣的課題，而是鼓勵(lì)他們思考和討論，幫助他們找到自己喜歡的方向、做更有價(jià)值的工作。為了做到這點(diǎn)，盡管對自己曾經(jīng)的輝煌還算滿意，我還是時(shí)刻關(guān)注、搜集數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最新進(jìn)展，尤其是在不熟悉的方向，在課題選擇上備足功課。

我會定期組織學(xué)生討論，在黑板上列出課題option 1(選項(xiàng)一)、option 2(選項(xiàng)二)，介紹每個(gè)選項(xiàng)的風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)；應(yīng)該做什么樣的數(shù)學(xué)；哪些課題可能做得出來；哪些課題可能做不出來，而如果做出來，就可以成名成家?？傊?，我會毫無保留地展示我的觀點(diǎn)。有意思的是，優(yōu)秀的學(xué)生都選擇最有風(fēng)險(xiǎn)的題目，而且不考慮回報(bào)。

然后，我要花很多時(shí)間和學(xué)生泡在一起，實(shí)實(shí)在在地盯著他們，了解、關(guān)注他們的進(jìn)展。大部分課題不是我熟悉的領(lǐng)域，甚至是我道聽途說來的題目，當(dāng)學(xué)生獨(dú)立完成之后，而我完全搞不懂，由學(xué)生把他的工作講給我聽，這對我促進(jìn)非常大，也是我喜見的效果。學(xué)生到我辦公室討論問題，發(fā)生爭論，最后發(fā)現(xiàn)學(xué)生是對的、我是錯(cuò)的，甚至學(xué)生由此懷疑老師的水平，這是我最高興的時(shí)候，也是我最欣賞的學(xué)生，說明學(xué)生成長了。反之，如果學(xué)生做不出題目過來求教，對我的解答不知所以然，只是一味唯唯諾諾，我肯定要打差評。

我這種培養(yǎng)方式看上去風(fēng)險(xiǎn)很大，事實(shí)上大部分學(xué)生都很成功。這點(diǎn)我自己也感同身受，年輕時(shí)候，感覺到自己在解析數(shù)論方向不會有更大進(jìn)展，便冒險(xiǎn)選擇費(fèi)馬大定理作為研究方向。結(jié)果我也沒有求證出來，1994年是由懷爾斯(Andrew Wiles，1953—)[注]懷爾斯，牛津大學(xué)教授，證明了“費(fèi)馬大定理”，1998年獲菲爾茲獎，2016年獲阿貝爾獎。完成證明。雖然沒能成功，但這次冒險(xiǎn)還是有意義的，費(fèi)馬大定理的涉及面更寬，跟數(shù)學(xué)的其他方向聯(lián)系更多，使我在代數(shù)數(shù)論方面的工作收益良多。所以，鼓勵(lì)學(xué)生敢于冒險(xiǎn)，是取得重要成果的前提。元老曾經(jīng)說過，放手讓學(xué)生自己去討論，讓學(xué)生去冒險(xiǎn)，不用太擔(dān)心學(xué)生的前途。我覺得如果他連冒險(xiǎn)都不敢，跑來學(xué)數(shù)學(xué)有什么意思？

中國學(xué)生的做題能力，對書本知識的掌握程度，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過歐美學(xué)生。但中國學(xué)生最缺乏的是對數(shù)學(xué)的思考和判斷力，這方面他們沒有經(jīng)驗(yàn)，國內(nèi)老師很少提供討論的機(jī)會。國內(nèi)老師培養(yǎng)學(xué)生的時(shí)候，受體制的影響，更看重回報(bào)，所以經(jīng)常選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的題目，盡量少犯錯(cuò)誤。他們認(rèn)為，理想情況下，待到學(xué)生學(xué)成的時(shí)候，自然會選擇風(fēng)險(xiǎn)比較高的題目。其實(shí)截然相反，學(xué)生成熟的時(shí)候，慣性使然，會選擇更沒有風(fēng)險(xiǎn)的題目。長期惡性循環(huán)下來，最后的結(jié)果就是學(xué)術(shù)上變得很平庸。

我相信我不是最出色的老師，但我在哥倫比亞大學(xué)和普林斯頓大學(xué)培養(yǎng)的學(xué)生都是最杰出的。除了我愿意付出比較多的精力與學(xué)生共同成長，還有一個(gè)很重要的原因，我的學(xué)生自身很優(yōu)秀，每年我都會在美國或者中國，按照我的標(biāo)準(zhǔn)遴選出令我滿意的學(xué)生。學(xué)生們也都知道，選我做導(dǎo)師非常不容易。所以，我不是把一個(gè)差學(xué)生變成好學(xué)生，而是把一個(gè)好學(xué)生變成一個(gè)更出色的學(xué)生。

訪：我們對您選拔學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)很感興趣，希望能為優(yōu)秀學(xué)子提供一個(gè)參考。

張：我挑選學(xué)生會下很多功夫，成績是個(gè)很重要的參考，但我更看重學(xué)生的學(xué)術(shù)能力和性格。

在收到申請以后，對于推薦信我都要認(rèn)真核實(shí)。我會直接給推薦人打電話，請他逐條說明學(xué)生的學(xué)術(shù)能力，做出評價(jià)結(jié)論的依據(jù)，對學(xué)生的真實(shí)情況做全面了解。

通常美國學(xué)生的推薦信稍微生動一些，很多中國學(xué)生的推薦信就顯得平淡、刻板，所以挑選中國學(xué)生更費(fèi)心思。這和民族性格有關(guān)，也和實(shí)際情況有關(guān)。中國大學(xué)都是三十幾個(gè)人的大班，老師和學(xué)生的溝通很少，相互間也不熟悉。造成出現(xiàn)有的學(xué)生自己寫推薦信，然后請老師簽字的情況。遇到這種情況，我的做法是直接把申請丟到垃圾桶里。學(xué)生最起碼應(yīng)該做到誠信，敢于承擔(dān)責(zé)任。

在學(xué)術(shù)能力上，我要求學(xué)生要掌握兩個(gè)以上專業(yè)方向。比如，既要懂代數(shù)幾何，又要懂調(diào)和分析。這樣很容易做到融會貫通，把兩個(gè)工具相互借鑒，找到更好的研究方法。

學(xué)業(yè)之外我很關(guān)注學(xué)生的性格，只有真正熱愛數(shù)學(xué)才有可能成為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家。元老寫《華羅庚》的時(shí)候，把華羅庚寫成一個(gè)無所不能的大數(shù)學(xué)家。我就問元老，華老有什么數(shù)學(xué)思想？元老想了半天，他說華老沒有什么數(shù)學(xué)思想，就是做題。我不相信華羅庚沒有數(shù)學(xué)思想，但在當(dāng)時(shí)中國科學(xué)事業(yè)積貧積弱的歷史條件下，他做的很多研究，只是為了證明在國際舞臺上中國人已經(jīng)有了一席之地，這難免有些功利，偏離了數(shù)學(xué)研究的本意。我希望我的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，更多是從興趣出發(fā)，源自對這門科學(xué)由衷的熱愛，而不單純考慮名利，這會少很多羈絆。

思維模式也很重要。思路活躍、甚至跳躍的學(xué)生，通常創(chuàng)造能力很強(qiáng)，敢于冒險(xiǎn)，這是學(xué)術(shù)創(chuàng)新的基礎(chǔ)。我最近招收的邱聰靈，美國數(shù)學(xué)家齊夫(Mike Zieve)[注]齊夫，密西根大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，研究方向?yàn)椋捍鷶?shù)、數(shù)論、代數(shù)幾何、動力學(xué)系統(tǒng)、離散數(shù)學(xué)、復(fù)雜分析、代數(shù)拓?fù)?、理論?jì)算機(jī)科學(xué)和密碼學(xué)。在給他的推薦信中說，邱聰靈很活躍，要么是個(gè)瘋子，要么是個(gè)天才，他寫東西很快，我也不知道是怎么做出來的，也不知道真懂假懂，反正感覺結(jié)果正確。我又問楊同海[注]楊同海，數(shù)論和算術(shù)幾何學(xué)家，現(xiàn)任美國威斯康星大學(xué)數(shù)學(xué)系教授。(1963—)，也說邱聰靈跟張偉一樣的聰明。這種學(xué)生我肯定會接收，未來很可能是一個(gè)很有意思的數(shù)學(xué)家。

至于學(xué)生在學(xué)校的學(xué)習(xí)成績，我會參考，但不是最重要的。即便是清華、北大、中科大這些名校的第一名，我也不是一定招收。招收張偉的時(shí)候，他在北大排名第九名，但田青春[注]田青春，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授，研究方向?yàn)榇鷶?shù)幾何。說張偉的思維是跳躍式的，你剛跟他講到這里，他的思路卻早跑到別處去了。對于這樣的學(xué)生，我就很感興趣。

對于思路跳躍的學(xué)生，有人會評價(jià)“眼高手低”，我深不以為然。應(yīng)該沒有所謂的眼高手低，只是他對這個(gè)方向不感興趣或者是鍛煉比較少的緣故。比如，開汽車肯定比騎自行車要快，如果你只是技術(shù)方面差一點(diǎn)，但是有潛力也愿意努力工作，在我這里完全可以提供更高級的工具來實(shí)現(xiàn)你的抱負(fù)。

所以，有國外的數(shù)學(xué)家打電話，有北大的學(xué)生提出申請，問我的建議。我就回答，北大前20名學(xué)業(yè)都不錯(cuò)。因?yàn)槟芸歼M(jìn)北大的學(xué)生，學(xué)業(yè)肯定不會差，但要挑到特別優(yōu)秀的學(xué)生，還是要跟推薦人聯(lián)系，對學(xué)生的情況了解足夠清楚才行。

4 做中國人自己的數(shù)學(xué)

訪：您雖然身處國外，但是不忘初心，以提升中國數(shù)學(xué)水平為己任，為中國數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展做了大量的工作。2019年，您主持的中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院“代數(shù)與數(shù)論”暑期學(xué)校非常成功，通過這期暑期學(xué)校，我們想知道您對當(dāng)下國內(nèi)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀的觀感。

張：中國數(shù)學(xué)有很大潛力，我對中國的數(shù)學(xué)抱著極大的希望。

這期暑期學(xué)校名義上是“代數(shù)與數(shù)論”方向，實(shí)際上主要教授表示論、代數(shù)幾何與數(shù)論。代數(shù)領(lǐng)域很寬泛，包括代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論和表示論。按照我在國外的經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)領(lǐng)域是數(shù)學(xué)中最難的部分，上年度(2018年)4位菲爾茨獎得主，有3位是數(shù)論和代數(shù)幾何學(xué)家，其難度和研究熱度可見一斑。暑校招生的對象主要是本科二、三年級的學(xué)生。開班之前，我估計(jì)國內(nèi)不會選出很多合格學(xué)生進(jìn)入暑期學(xué)校，挑選三四十個(gè)人應(yīng)該都很困難。

可是我錯(cuò)了。原計(jì)劃招收40人，最初采用開卷考試自測的模式，結(jié)果300人報(bào)考，有一半考生成績幾乎是滿分。吃驚之余，又在這部分考生中間組織復(fù)試，進(jìn)行閉卷考試，又有六十幾個(gè)人通過了復(fù)試。

為了招收到合格的學(xué)生，學(xué)生都是經(jīng)過統(tǒng)一考試、憑自身能力進(jìn)入暑校。沒有采用學(xué)校推薦的模式，只由任課老師提供一個(gè)鑒定，保證學(xué)生的性格沒有問題。注冊的六十幾名學(xué)生中，北大、清華、國科大，中科大和復(fù)旦5個(gè)學(xué)校學(xué)生考得特別好，也有個(gè)別名校學(xué)生考的不理想。令人高興的是，傳統(tǒng)上數(shù)學(xué)專業(yè)并不突出的學(xué)校，像西安交大、大連理工也有學(xué)生被錄取。后來和同學(xué)們溝通，有的學(xué)校甚至沒有代數(shù)方向的教授，完全是憑個(gè)人興趣，努力自學(xué)的結(jié)果。這也印證了元老曾經(jīng)說過的話：人才不是刻意培養(yǎng)出來的，人才是干出來的。

第一天上課更為驚人，課堂里居然坐了二百多人。除了注冊的學(xué)生，還有碩士生、博士生、青年教師，甚至有五年級的小學(xué)生、初中生，由大人帶著來上課。其中有很多外地同學(xué)，趕到北京租房子參加學(xué)習(xí)。學(xué)生人數(shù)太多，我們只能大班上課，小班作業(yè)。上課時(shí)，二百多人在一間大教室聽課。下課后，注冊學(xué)生五六個(gè)人一組，組織討論班，其他學(xué)生由助教悉心輔導(dǎo)。

在一個(gè)月的時(shí)間里，學(xué)生們從早到晚用功，幾乎沒有任何休息時(shí)間，有一百多人堅(jiān)持完成了全部課程的學(xué)習(xí)。其中有的小孩生病了，仍堅(jiān)持聽課，最后只能被抬到醫(yī)院。尤為可貴的是，同學(xué)們自始至終保持著高漲的學(xué)習(xí)熱情。

這期學(xué)校包括我，一共4位教師，師資水平讓人稱道。田一超[注]田一超，中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員，主要研究方向是算術(shù)代數(shù)幾何。、田野就像兩個(gè)魔術(shù)師，他們在黑板上畫出很多定理，翻手間一一得到求證。再看薛航[注]薛航，主要研究方向是數(shù)論。的講義，是標(biāo)準(zhǔn)的網(wǎng)紅段子手，用最喜聞的語言道出枯燥的理論[7- 10]。我自己則受大家熱情的激發(fā)，在黑板上一本正經(jīng)妄說起哲學(xué)。助教們也非常辛苦，每天從下午一點(diǎn)半直到晚上睡覺之前，全部時(shí)間和學(xué)生在一起、輔導(dǎo)作業(yè)，并不在乎報(bào)酬的寥寥，按規(guī)定他們一個(gè)月只能拿到3000塊。

國內(nèi)師生的專業(yè)水平、對數(shù)學(xué)的熱愛讓我感觸很深。

訪：有沒有哪方面不盡人意或者遺憾的地方？

張：這期暑校盛況空前，讓我對中國的數(shù)學(xué)有了新的認(rèn)識，但也有一絲隱憂，這就是教育資源的不平衡。當(dāng)今中國，不缺好學(xué)生，也不缺好的師資，但是在資源的組織和分配上還有很多工作可以做。我回國組織暑校，是希望建立一種新的教學(xué)、交流模式，能夠讓優(yōu)秀的學(xué)生具備國際視野，掌握最先進(jìn)的工具，這種模式國內(nèi)沒有，國外也不多見。

參加暑校學(xué)生的踴躍和人數(shù)眾多，在美國是不可想象的。這不僅與對數(shù)學(xué)的熱愛程度有關(guān)，而且因?yàn)槊绹芏鄬W(xué)校都有類似的項(xiàng)目，沒必要集中于一期趨之若鶩。

北京的學(xué)術(shù)資源優(yōu)勢明顯，有最強(qiáng)大的師資力量，但并不是所有人都有機(jī)會趕來北京學(xué)習(xí)。我覺得很多大學(xué)，像中科大、復(fù)旦、浙大、南大都有能力組織這樣的項(xiàng)目，使資源分配更為均衡、普惠。人才在哪里從來都是不可預(yù)測的，當(dāng)類似學(xué)術(shù)活動成為常態(tài)，形成了良好的環(huán)境和氛圍，自然會有更多的人才脫穎而出。

我在數(shù)學(xué)所讀書的時(shí)候，經(jīng)常有面對面受教于大數(shù)學(xué)家的機(jī)會，從中我得出一個(gè)結(jié)論：數(shù)學(xué)是活的，是人的科學(xué)。同樣的理論，于大師口中，有完全不同的解讀，與書本的刻板、枯燥有天壤之別。長期的學(xué)術(shù)研究，使知識在這些大師的腦子里像積木一樣自由組合。哪些理論更重要，哪些方法最實(shí)用，可以信手沾來，讓學(xué)生一窺數(shù)學(xué)的精髓。

中科院原本就有大數(shù)學(xué)家參與到一線教學(xué)的傳統(tǒng)。當(dāng)初中科大的“華龍”、“關(guān)龍”和“吳龍”[注]華羅庚、關(guān)肇直和吳文俊分別于1958年、1959年和1960年在中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系，帶一屆本科生，而且是從一年級一直帶到五年級，3位數(shù)學(xué)家依各自對數(shù)學(xué)的理解進(jìn)行課程內(nèi)容整體設(shè)計(jì)，實(shí)驗(yàn)“一條龍教學(xué)法”，各自帶的學(xué)生則分別稱為“華龍”、“關(guān)龍”和“吳龍”。成為一時(shí)佳話，培養(yǎng)出了一大批數(shù)學(xué)人才。我們今天的做法，就是追隨前輩數(shù)學(xué)家的腳步，只不過把招生范圍放大到全國。

因此，我期望那些正處在學(xué)術(shù)巔峰期的數(shù)學(xué)家，應(yīng)該多承擔(dān)從本科生到研究生的具體教學(xué)任務(wù)，多花時(shí)間培養(yǎng)學(xué)生。只有他們才知道什么是活的數(shù)學(xué)，通過把自己的知識和經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)整理出來，傳授給學(xué)生，從而培養(yǎng)出最優(yōu)秀的學(xué)生。而不是把過多的時(shí)間用在評選院士、申請基金方面，忽略了事業(yè)的傳承。我也期望主管部門，重視資源調(diào)配的優(yōu)化，在模式上做出更多創(chuàng)新。

訪：時(shí)至今日，中國數(shù)學(xué)與國際最先進(jìn)水平仍有很大差距。在您的眼中，國內(nèi)有最好的學(xué)生、有最好的師資，在這種情況下，如何務(wù)實(shí)、有效地縮小這種差距，我們想聽一下您的想法。

張：縮小與國外的差距，關(guān)鍵在于人才的培養(yǎng)。為了完成高水平人才的培養(yǎng)，我認(rèn)為必須重新組織數(shù)學(xué)，構(gòu)造中國人自己的數(shù)學(xué)。

華羅庚、王元、陳景潤、吳文俊等一批老一代數(shù)學(xué)家，為提升中國數(shù)學(xué)事業(yè)付出了長期、艱苦的努力，但時(shí)至今日，我們與國外的差距仍然明顯。其中一個(gè)重要的原因，就是我們總是跟在別人后面，重復(fù)走別人的老路。中國人在證明哥德巴赫猜想上的突破之所以令世人矚目，是因?yàn)檫@是世界公認(rèn)的難題。但哥德巴赫猜想并不是由中國人提出來的，取得的成就只是衡量我們事業(yè)發(fā)展的一個(gè)標(biāo)志，并不足以代表中國數(shù)學(xué)水平的高下。要想徹底改變這種局面，就必須做中國人自己的數(shù)學(xué)，到那時(shí)或者也能提出類似的猜想。

講一個(gè)笑話。讀研究生的時(shí)候，有一個(gè)同學(xué)喜歡擺弄收音機(jī)，他把機(jī)器拆散重新組裝，經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)多出幾個(gè)零件，而收音機(jī)還能正常工作，也不必知道少裝的幾個(gè)零件原本應(yīng)該放到什么位置。所以，絕對不要迷信所有零件都是必需的，都已經(jīng)放到了最恰當(dāng)?shù)奈恢?。?shù)學(xué)也是這樣，要敢于去重新整理和組合。

對于最優(yōu)秀的學(xué)生，如果完全按照教學(xué)大綱學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是時(shí)間的浪費(fèi)，完全沒有效率。大綱上的數(shù)學(xué)是按部就班、默守陳規(guī)的數(shù)學(xué)，就像我們現(xiàn)在的微積分教材已經(jīng)沿用了近百年、少有變化。大綱只能教你先學(xué)好A，然后學(xué)B，學(xué)好了B再到C。而對有能力的學(xué)生，打好A的基礎(chǔ)以后，完全可以接受先進(jìn)的工具，直接從A到D，跳過不必要環(huán)節(jié)。

最初學(xué)習(xí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的時(shí)候，由于沒有多少工具可選擇，就像是用步槍打飛機(jī)，只有瞄得很準(zhǔn)，力度用得恰到好處，才能解決問題。但如果有一天你有導(dǎo)彈了，打起飛機(jī)肯定得心應(yīng)手多了，不會因?yàn)楣ぞ吆喡g盡腦汁。想要國內(nèi)學(xué)生成為跨世紀(jì)的人才，擔(dān)負(fù)起提升中國數(shù)學(xué)的重任，沿用以前的教學(xué)模式肯定不行。

如果說微積分是19世紀(jì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一項(xiàng)重要革命，20世紀(jì)數(shù)學(xué)最精彩的部分應(yīng)該是李群和代數(shù)拓?fù)?。但國?nèi)很少有人去總結(jié)這些學(xué)問，去深入淺出地提煉出來精華，讓本科生都能夠?qū)W得明白。

在這期暑校中，我有個(gè)初衷，希望通過幾門課的教學(xué)，把學(xué)生從19世紀(jì)快速引領(lǐng)到21世紀(jì)數(shù)學(xué)。這就要關(guān)注哪些學(xué)問本科生能聽得明白，并不是說一定要增加學(xué)習(xí)量，而是向?qū)W生提供更先進(jìn)的工具。如果在一線做研究的數(shù)學(xué)家，他們有活用數(shù)學(xué)工具的能力，都能夠把知識和經(jīng)驗(yàn)重新整理，就有可能幫助本科生從最基本的部分跳躍到最前沿的部分。

如果從本科生開始就有國際視野，掌握到最先進(jìn)的工具，中國數(shù)學(xué)的快速提升將指日可待。

訪：重新組織數(shù)學(xué)，這是一個(gè)新的命題，您有什么具體計(jì)劃？

張：我計(jì)劃從編寫教材開始，做好數(shù)學(xué)的傳承。

格羅滕迪克(Alexander Grothendieck， 1928—2014)[注]格羅滕迪克，現(xiàn)代代數(shù)幾何的奠基者，被譽(yù)為“20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家”。著的代數(shù)幾何“圣經(jīng)”[注]指的是：A. Grothendieck. Eacute; léments de géométrie algébrique，簡稱EGA。(中譯名：代數(shù)幾何基礎(chǔ))差不多有21卷之巨，美國數(shù)學(xué)家哈特肖恩把它濃縮成五百多頁[注]指的是：Robin Hartshorne. Algebraic geometry. Springer, 1977.，而我準(zhǔn)備編寫一部研究生能讀的教材，只有150頁，可以讓學(xué)生快速進(jìn)入代數(shù)幾何最精彩的部分，比如格羅滕迪克的Riemann-Roch定理。這項(xiàng)工作實(shí)際上已經(jīng)開始進(jìn)行了，正指導(dǎo)一個(gè)本科生具體做，本科生編出的教材，本科生肯定能夠讀懂。我們都知道， 格里菲斯(Phillip Griffiths，1938—)[注]格里菲斯，曾任美國普林斯頓高等研究院院長、國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟秘書長，主要研究方向是代數(shù)幾何。和哈里斯(Joseph D. Harris)的《代數(shù)幾何原理》[注]即Phillip Griffiths, Joseph Harris. Principles of algebraic geometry. Wiley, 2007.，就是哈里斯做本科生的時(shí)候完成的。

數(shù)學(xué)能夠得到傳承，是不斷簡化的過程。歷史上創(chuàng)造出來的數(shù)學(xué)學(xué)說不勝枚舉，但真正能流傳下來的只是很少一部分。勾股定理，每個(gè)人都在用，就是因?yàn)樗缓喕梢粋€(gè)方程，初中生都能看懂。所以，數(shù)學(xué)家一個(gè)很重要的任務(wù)是簡化數(shù)學(xué)，在繁復(fù)的學(xué)問中提煉出最簡單的道理。

我們身處知識爆炸的年代，每一個(gè)研究方向看上去都很深奧、復(fù)雜，但是解決問題還是要用那些最基本的原理。我們做研究的時(shí)候，不可避免要面對復(fù)雜的局面。但我們在傳播工作的時(shí)候，必須盡量簡化，從復(fù)雜問題中提煉出學(xué)生能接受的道理。我在普林斯頓上一門課，通常只有24學(xué)時(shí)，要在這么短的時(shí)間內(nèi)，讓學(xué)生從懵懂到了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)，簡化是必然過程，如果開始就不盡其繁，想讓學(xué)生理解是不可想象的。

我能把格羅滕迪克的巨著簡化成百十頁的教材，也是時(shí)代進(jìn)步的結(jié)果。在他開始做這項(xiàng)工作的時(shí)候，很多條件不成熟，需要不斷從最基礎(chǔ)的部分開始求證。隨著代數(shù)幾何的不斷發(fā)展，更多定理已經(jīng)被證明成立，而不用再重復(fù)那些求證過程，使簡化成為可能。所以，只要有心為之，我認(rèn)為這是一件非常有趣的工作。

不僅是數(shù)學(xué)，所有文學(xué)、藝術(shù)能夠流傳下來的，應(yīng)該都是最簡單的。

訪：非常期待您編寫的教材。今天的訪談非常精彩，感謝您抽出寶貴的時(shí)間接受我們的訪談!