基于MATLAB科學(xué)計算對二階動態(tài)電路的分析與課程設(shè)計

蔣禮林，陳 政，孫全亮，高友君，陳 勤

(1. 賀州學(xué)院 科研處, 廣西 賀州 542899;2. 賀州學(xué)院 材料與化學(xué)工程學(xué)院, 廣西 賀州 542899; 3. 賀州學(xué)院 人工智能學(xué)院, 廣西 賀州 542899;4. 賀州學(xué)院 教育與音樂學(xué)院, 廣西 賀州 542899)

“電路分析”是一門融合物理學(xué)和高等數(shù)學(xué)于一體，適用于電子信息、通信工程和物聯(lián)網(wǎng)等本科生必修的基礎(chǔ)理論課程，主要闡述電路的基本理論、概念和分析方法，也是信息類學(xué)生進一步學(xué)習(xí)專業(yè)課程的先驅(qū)[1-7]。近年來，基于“電路分析”的微課程設(shè)計和“金課”建設(shè)的教學(xué)改革和人才培養(yǎng)課題提出了一些新的觀點[5-6,8]。二階動態(tài)電路時域分析作為“電路分析”的重要教學(xué)內(nèi)容，它涉及抽象的物理知識和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)，特別是對初學(xué)者十分難于理解[5,7,9-12]。也就是說，如何理解二階微分方程兩個特征根的特點，就決定了能否正確理解和掌握二階電路響應(yīng)中自由分量的變化規(guī)律[7,10,13-14]。MATLAB (Matrix Laboratory) 作為一種以矩陣運算為基礎(chǔ)的交互式程序語言，具有實用性、科學(xué)性、簡潔性、有效性和先進性；它的另一個特點是語言結(jié)構(gòu)簡單、易于學(xué)習(xí)和操作，是執(zhí)行教學(xué)、科學(xué)研究、仿真、工程設(shè)計和數(shù)值計算等工作非常有效的計算機語言工具[15]。由此可見，“電路分析”具有理論性強、實踐性高、內(nèi)容抽象、電路繁多、學(xué)生難于理解和教師難于施教的共同特點[7,9,15]。然而，這些特點對“電路分析”專業(yè)基礎(chǔ)課的教、學(xué)、研和人才培養(yǎng)產(chǎn)生了一定負(fù)面影響。因此，為提高“電路分析”教學(xué)和人才培養(yǎng)質(zhì)量，開展了以二階動態(tài)電路經(jīng)典解法和MATLAB科學(xué)計算方法相結(jié)合的研究，通過選用綜合性的數(shù)值計算實例來深入闡述求解二階電路的方法和課程設(shè)計，培養(yǎng)學(xué)生全面理解、掌握和運用相關(guān)知識來解決實際二階動態(tài)電路的能力，進而激發(fā)學(xué)生的動手、靈活思維和創(chuàng)新能力，同時為深入學(xué)習(xí)電子信息領(lǐng)域相關(guān)專業(yè)課程和分析方法奠定堅實的基礎(chǔ)。

1 二階動態(tài)電路實例

二階動態(tài)電路是指含有兩個動態(tài)性能不同的儲能元件或者動態(tài)性相同的相互獨立的儲能元件組成的電路，且能用二階常微分方程描述該電路的特性。如，圖1所示是一個在t=0時刻S開關(guān)閉合的經(jīng)典RLC串聯(lián)電路。假設(shè)電容電壓的初始值uC(0-) =10 V，電感電流的初始值iL(0-) =0 A，L=1 H，C=0.25 F，分別求解R=5 Ω、R=4 Ω、R=1 Ω和R=0時，電路中電容兩端電壓uC(t)和電感電流iL(t)的演化規(guī)律[7]。

圖1 RLC串聯(lián)電路示意圖

根據(jù)KCL和KVL定律可得

(1)

(2)

(3)

(4)

(4) 式就是圖1所示的RLC電路的自由振蕩方程，其特解為零(即，電路沒有強制響應(yīng))。因此，該RLC電路的自由響應(yīng)為其電路的全響應(yīng)。

(5)

對于沒有強迫振蕩RLC電路的二階常系數(shù)齊次線性微分方程 (4) 的特征根的不同形式，其自由響應(yīng)解的表達(dá)式不同，即所隱含的物理意義也不同。表1展現(xiàn)了RLC電路的自由響應(yīng)解與其特征根的對應(yīng)關(guān)系，其中所有自由響應(yīng)表達(dá)式的經(jīng)典求解可參考文獻[7,9]。電路系統(tǒng)表現(xiàn)出振蕩狀態(tài)應(yīng)歸因于二階常系數(shù)齊次線性微分方程 (4) 的特征根 (5) 式出現(xiàn)了兩個共軛復(fù)根(虛根)，即RLC回路中電容器儲存的電場能與電感線圈儲存的磁能相互轉(zhuǎn)換而產(chǎn)生的現(xiàn)象。

表1 RLC電路的自由響應(yīng)解與其特征根的對應(yīng)關(guān)系

(6)

由圖2可見，這時電路的特征根是兩個不相等的負(fù)實根。很明顯，uC(t)≥0 (即為圖1所示的參考方向) 且其振幅隨時間t一直衰減到0，這說明在整個過程中電路處于過阻尼非振蕩的單一E指數(shù)衰減和電容一直處于放電狀態(tài)。然而，iL(t)≤0表示其實際方向與所選定的參考方面相反；并且當(dāng)t≈0.5 s時，iL(t)達(dá)到負(fù)最大值約1.6 A。之后，iL(t)隨時間t以多E指數(shù)衰減到0。在整個過程中，電容儲存的電能轉(zhuǎn)化為電阻R消耗的能量和電感L儲存的能量。

圖2 R=5 Ω時uC(t)隨時間t的演化過程 (a)和iL(t)和R=5 Ω時iL(t)隨時間t的演化過程(b)

同理可得第2種情況：當(dāng)R=4 Ω時，uC(t)和iL(t)的表達(dá)式分別為

(7)

這表示電路的特征根是兩個相等的負(fù)實根和電路處于臨界阻尼非振蕩衰減狀態(tài)，即為過阻尼與欠阻尼的分界線。由圖3可見，R=4 Ω(圖3)與R=5 Ω(圖2)的兩種情況所對應(yīng)的變化規(guī)律和能量轉(zhuǎn)化基本類似。然而，當(dāng)t≥0.5 s時考慮uC(t)和iL(t)的E指數(shù)衰減速率，R=4 Ω 明顯快于R=5 Ω。

圖3 R=4Ω時uC(t)隨時間t的演化過程(a)和R=4Ω時iL(t)隨時間t的演化過程(b)

第3種情況，當(dāng)R=1 Ω時，uC(t)和iL(t)的表達(dá)式分別為

值得注意的事是，在這項研究中所有角度均采用弧度制。該方程的特征根是一對共軛復(fù)根，這表明：由于電阻不斷消耗能量，所以電容的電場能與電感的磁場能相互交換，并且總能量越來越少，最終電路系統(tǒng)的總能量變?yōu)?。如，圖4所示為R=1 Ω時uC(t)和iL(t)隨時間的變化規(guī)律?？梢姡娙輧啥说碾妷簎C(t)和流過電感的電流iL(t)的振幅在兩條對稱的E指數(shù)之間隨著時間t演化做振蕩衰減，并且最終衰減少為0。這可歸因于初始的電場能在電容與電感之間相互轉(zhuǎn)化，且最終所有能量被電阻R所消耗(即轉(zhuǎn)化熱能或其他形式的能量)。這種情形稱為RLC電路的欠阻尼振蕩衰減。

圖4 R=1 Ω時uC(t)隨時間t的演化過程(a)和R=1Ω時iL(t)隨時間t的演化過程(b )

第4種情況：當(dāng)R=0 Ω時，uC(t)和iL(t)的表達(dá)式分別為：

(8)

這表示電路的特征根是一對共軛虛根，即由于電路不存在電阻，并且電容與電感都不消耗能量，所以電路以初始時刻儲存的能量在電容與電感之間周而復(fù)始地交換。如，圖5所示為當(dāng)R=0 Ω時uC(t)和iL(t)的變化規(guī)律，即uC(t)以正弦和iL(t)以余弦隨時間t無衰減振蕩變化。這歸因于電阻不消耗能量 (R=0 Ω，初始電場能可在電容與電感之間完全相互轉(zhuǎn)化。

圖5 R=0 Ω時uC(t)隨時間t的演化過程(a)和R=0 Ω時iL(t)隨時間t的演化過程(b)

以上通過對RLC二階動態(tài)電路4種情況的詳細(xì)分析與講解，能讓學(xué)生對枯燥和抽象的二階動態(tài)電路的教與學(xué)非常直觀地理解，能激發(fā)學(xué)生用創(chuàng)造性思維去分析問題，從而有利于提高教學(xué)質(zhì)量并輸出高質(zhì)量的人才。

2 MATLAB科學(xué)計算主程序

為了把二階動態(tài)電路時域分析涉及的數(shù)學(xué)公式復(fù)雜性和物理內(nèi)容抽象性直觀地呈現(xiàn)給學(xué)生，所以基于MATLAB科學(xué)計算列出典型欠阻尼振蕩衰減(第3種情況)的主程序。另外，其他3種情況的MATLAB程序只要在此基礎(chǔ)上稍加修改就能實現(xiàn)運算。同時，學(xué)生親自使用MATLAB編程并運用相關(guān)實例更有利于激發(fā)學(xué)生的動手能力和創(chuàng)新意識。以下為R=1 Ω時，uC(t)和iL(t)隨時間t演化的MATLAB程序，本程序僅為相關(guān)的教學(xué)研究提供參考。

MATLAB源程序：

clc; clear; close all;

uc0=10; iL=0; L=1; C=0.25; %RLC電路的相關(guān)常數(shù)

R=[5 4 1 0];

alfa=R/(2*L); %電路的衰減系數(shù)

w0=sqrt(1/(L*C)); %無阻尼振蕩角頻率

wd=sqrt(1/(L*C)-(R/2*L).^2); %有阻尼衰減振蕩角頻率

t=0:0.01:10; %時間變量

k1=10.33; %積分常數(shù)k

fai0=pi*75.5/180; %積分常數(shù)初始相位角，并用弧度制表示角度

uc3=k1*exp(-alfa(3)*t).*sin(wd(3)*t+fai0); %電容器兩端的電壓uC(t)

iL33=-C*k1*w0*exp(-alfa(3)*t).*sin(wd(3)*t); %流過電感的電流iL(t)

plot(t, uc3, '-m', t, iL33, '-b', 'linewidth',2); %繪制二維數(shù)據(jù)圖及參數(shù)設(shè)置

axis([-0 10 -12 12]);

xlabel('t/s'); ylabel('

Evolution of amplitude'

);

legend('

R=0, uc(t) Oscillation','

〗R=0, iL(t) Oscillation');

grid on

result=[t', uc3', iL33'];

save -ASCII -DOUBLE result.dat result; %保存計算數(shù)據(jù)，以便數(shù)據(jù)處理

3 課程設(shè)計

教學(xué)是教師與學(xué)生之間互動的傳授知識與接受知識的重要過程。教師對課堂知識的有效設(shè)計與講解十分有利于學(xué)生對知識的接受?；趯ΧA動態(tài)電路經(jīng)典解的分析和MATLAB程序的實現(xiàn)，設(shè)計二階動態(tài)電路時域分析的課程，示意圖見圖6。該示意圖由6個模塊組成，即：實際電路、電路模型、構(gòu)建元件電路圖、求解方程、理論結(jié)果與數(shù)值結(jié)果。很明顯，模塊與模塊之間是可逆的，即模塊之間的關(guān)系為相互印證。從“構(gòu)建元件電路圖”到“求解方程”的講授都能提高學(xué)生對物理、數(shù)學(xué)及工程問題的分析與理解。將復(fù)雜和抽象的“理論結(jié)果”轉(zhuǎn)化為簡單和具體的“數(shù)值結(jié)果”，更能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)公式和物理內(nèi)含的理解。這一環(huán)節(jié)的重要性體現(xiàn)在能培養(yǎng)學(xué)生全面理解、掌握和運用數(shù)學(xué)和物理知識解決實際RLC二階動態(tài)電路問題的能力，進而激發(fā)學(xué)生的動手編程、整體思維和運用MATLAB創(chuàng)新解決問題的能力，同時為學(xué)生進一步深入學(xué)習(xí)電子信息領(lǐng)域相關(guān)專業(yè)課程和分析方法奠定堅實的基礎(chǔ)。

圖6 二階動態(tài)電路時域分析的課程設(shè)計示意圖

4 結(jié)論

通過使用MATLAB程序包對“電路分析”RLC二階動態(tài)電路經(jīng)典解的時域情況進行數(shù)值計算和物理內(nèi)含分析，結(jié)果表明：相對于單調(diào)、復(fù)雜和乏味的純數(shù)學(xué)公式，RLC二階動態(tài)電路經(jīng)典解的MATLAB科學(xué)計算更能有效地讓學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)與物理之間的內(nèi)存聯(lián)系，以及RLC二階動態(tài)電路不同經(jīng)典解所表達(dá)的物理意義。針對RLC二階動態(tài)電路時域變化規(guī)律教與學(xué)的課程設(shè)計有利于學(xué)生理解經(jīng)典解的求解方法和各元件之間能量的轉(zhuǎn)化。因此，基于MATLAB科學(xué)計算對二階動態(tài)電路的研究能很好地培養(yǎng)學(xué)生全面理解、掌握和運用相關(guān)知識解決實際二階動態(tài)電路的能力，激發(fā)學(xué)生的動手、靈活思維和創(chuàng)新能力，同時為深入學(xué)習(xí)電子信息領(lǐng)域相關(guān)專業(yè)課程和分析方法奠定堅實的基礎(chǔ)；同時，也可以為從事電子信息工程類的教學(xué)與研究人員提供交流與參考。