SWATH 船縱向運動的分數(shù)階PIλDμ 控制

白春江，王慶武，趙 健

(大連海事大學(xué) 航海學(xué)院，遼寧 大連 116026)

0 引 言

小水線面雙體船（Small Waterplane Area Twin Hull，SWATH）是從20 世紀70 年代開始投入試驗并逐漸得到各國重視的一種排水型的高性能船舶。從第1 艘SWATH 船建成至今，經(jīng)過40 余年的發(fā)展，已經(jīng)有多個國家開發(fā)出了有著國防與軍事背景的高性能SWATH 船[1]，并且SWATH 船逐漸在民用領(lǐng)域得到了應(yīng)用，如作為觀光游覽、客渡和娛樂艇等。

SWATH 船由船體的水下部分（也稱下體、潛體、主體）、水上平臺（也稱上體、箱體）、支柱和附加的穩(wěn)定鰭等4 部分組成。與排水量相當?shù)某Ｒ?guī)單體船和雙體船相比，SWATH 船具有較小的水線面，使得它在航行的時候所受干擾力較小，因而具有更加優(yōu)異的快速性、耐波性以及穩(wěn)性等特點，但SWATH 船同時也存在摩擦阻力較大、回轉(zhuǎn)直徑較大，浮態(tài)對船舶載重量敏感等不足[2-4]。特別是在中高速時，作用在船舶上的MUNK 力矩，容易使船舶發(fā)生縱向運動失穩(wěn)[5-7]。

針對SWATH 船縱向運動穩(wěn)定性這一問題，眾多學(xué)者進行了研究。鄔婷[7]通過參照高速水翼艇縱向運動方程建立了SWATH 船的縱向運動方程，采用Hurwitz-Routh 方法對SWATH 船的縱向運動穩(wěn)定性進行了分析，并對某SWATH 船的光體做出了縱向運動穩(wěn)定性的預(yù)報分析。高占勝[8]進行了控制鰭的安裝位置、鰭面積等參數(shù)變化對某型SWATH 船縱向運動穩(wěn)定性影響的分析。鄧磊[9]采用粘性CFD 方法對某型SWATH船在頂浪規(guī)則波中的縱向運動響應(yīng)特性進行了數(shù)值研究，并較為系統(tǒng)地分析了SWATH 船片體間相互干擾對其在波浪中運動響應(yīng)的影響規(guī)律。熊文海[10]在SWATH 船的MMG 運動數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，同時充分考慮了SWATH 船的結(jié)構(gòu)特點和雙體、雙槳、雙舵之間水動力的相互影響，對某型SWATH 船的操縱性能進行了預(yù)報分析。此外，一些學(xué)者也對SWATH 船的自動控制系統(tǒng)設(shè)計出了不同控制方法下的控制器。王虎軍[11]將ESO 與終端滑?？刂葡嘟Y(jié)合進行了某型SWATH 船在隨機海浪作用下的運動控制。梁利華[12]針對帶有海浪干擾和參數(shù)不確定的SWATH 船運動控制問題，進行了基于NDO 技術(shù)的SWATH 船運動非線性預(yù)測控制。葉志州[13]利用ADRC 實時估計SWATH船控制對象的模型攝動和外擾，設(shè)計出了一種多變量解耦的魯棒鎮(zhèn)定控制器。周鑫華[14]對SWATH 船的縱向運動進行了區(qū)域極點配置LQ 最優(yōu)控制器設(shè)計。張顯庫[4]在熊文海[10]的基礎(chǔ)上獲得了SWATH 船的Nomoto 模型，在考慮舵機特性后進行了魯棒控制器設(shè)計。

近年來，一些研究人員已經(jīng)將分數(shù)階PIλDμ控制方法應(yīng)用于航海領(lǐng)域，如船舶航向控制[15]、船舶橫搖控制[16]、船舶電站柴油機調(diào)速系統(tǒng)控制[17]和水下潛器姿態(tài)角控制[18]，并取得了較為良好的控制效果。

本文針對SWATH 船縱向運動的穩(wěn)定性問題，在考慮舵機特性和風(fēng)浪干擾對系統(tǒng)影響的情況下進行分數(shù)階PIλDμ控制器設(shè)計。同時為了證明所設(shè)計控制器的良好性能，同時選取一種最優(yōu)PID 控制器作為比對對象，對最優(yōu)PID 控制器與分數(shù)階PIλDμ控制器的控制性能進行仿真實驗對比，探討了2 種控制器的控制性能及能量消耗情況。

1 分數(shù)階微積分及分數(shù)階PIλDμ 控制器

1.1 分數(shù)階微積分

分數(shù)階微積分是傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的直接拓展，但它比整數(shù)階微積分具有更廣泛的適用性。所謂的分數(shù)階微積分是指階次為非整數(shù)的微積分，它可以實現(xiàn)任意階次的微積分。分數(shù)階微積分的算子可以由整數(shù)階微積分的算子直接擴展得到，它的定義如下[19-20]：

式中：a為算子的下限；t為算子的上限； α為分數(shù)階微積分的階次，可以是任意復(fù)數(shù)，本文假定 α為實數(shù)。

目前，在分數(shù)階微積分理論中較為常用的定義有以下4 種[19-20]：

1）Cauchy 定義下的表達式

式中：C為包圍f(t)單值與解析開區(qū)域的光滑曲線。

2）Grunwald-Letnikov 定義下的表達式

3）Riemann-Liouville 定義下的表達式

式中：n?1<α ≤n，n∈N； Γ(?)為gamma函數(shù)。

4）Caputo 定義下的表達式

式中： α<0。

1.2 分數(shù)階PIλDμ 控制器

分數(shù)階PIλDμ控制器的概念是由Podlubny 在1997 年時提出的[21]。分數(shù)階PIλDμ控制器除了兼具常規(guī)PID 控制器的優(yōu)點外，由于分數(shù)階微積分自身的特性，分數(shù)階控制器還具有許多整數(shù)階控制器無法實現(xiàn)的優(yōu)越性，其微分階次μ和積分階次λ可以進行實數(shù)范圍內(nèi)的任意設(shè)置，這使得分數(shù)階PIλDμ控制器具有比常規(guī)PID 控制器更靈活的控制結(jié)構(gòu)。分數(shù)階PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)模型為：

分數(shù)階PIλDμ控制器的示意圖如圖1 所示。其中，橫軸代表分數(shù)階PIλDμ控制器的積分階次λ，縱軸代表分數(shù)階PIλDμ控制器的微分階次μ。常規(guī)的PI 控制器、PD 控制器和PID 控制器均為分數(shù)階PIλDμ控制器平面內(nèi)的一個點。

圖1 分數(shù)階PIλDμ 控制器示意圖Fig. 1 Diagram of fractional-order PIλDμ controller

通過對比可知，常規(guī)PID 的積分階次λ與微分階次μ的值均為1，是一種特例分數(shù)階PIλDμ；與此類似，當λ=1，μ=0 則對應(yīng)常規(guī)PI 控制器；當λ=0，μ=1 則對應(yīng)常規(guī)PD 控制器。此外，由于分數(shù)階PIλDμ的積分階次λ與微分階次μ可以是任意實數(shù)，這使得分數(shù)階PIλDμ控制器與整數(shù)階PID 控制器相比，具有更靈活的控制結(jié)構(gòu)與優(yōu)越的性能。

2 SWATH 船縱向運動的分數(shù)階PIλDμ 控制器設(shè)計

2.1 SWATH 船縱向運動的傳遞函數(shù)模型

某型SWATH 實船的具體參數(shù)[4, 10]見表1。

假設(shè)舵角δ作為輸入信號，首向角ψ作為輸出信號，可以獲得該SWATH 實船從舵角δ到首向角ψ的等效Nomoto 模型[4]為：

2.2 SWATH 船縱向運動的分數(shù)階PIλDμ 控制器

在設(shè)計分數(shù)階PIλDμ控制器時，以等效Nomoto 模型為控制對象，并在設(shè)計過程中考慮舵機伺服系統(tǒng)，如圖2 所示。

表1 某SWATH 具體參 數(shù)Tab. 1 Particulars of a SWATH ship

圖2 舵伺服系統(tǒng)Fig. 2 Rudder servo system

為了能快速獲得分數(shù)階PIλDμ控制器的優(yōu)化參數(shù)，提高控制器的控制性能，本文在分數(shù)階PIλDμ控制器設(shè)計時引入ITAE 準則如下式：

通過數(shù)值方法對ITAE 準則指標進行優(yōu)化，則可以得到優(yōu)化后的分數(shù)階PIλDμ控制器參數(shù)，kp=0.95，ki=0.0，kd=0.1，λ=0.8，μ=0.1（實際優(yōu)化得到的ki為極小的非零正量，實際仿真時將ki設(shè)為0），即優(yōu)化參數(shù)的分數(shù)階PDμ控制器為：

此外，采用最優(yōu)PID 控制器的設(shè)計方法[22]，可得到最優(yōu)PID 控制器參數(shù)，kp=1.2，ki=0.0，kd=3.0（實際優(yōu)化得到的ki也依然為極小的非零正量，仿真時將ki設(shè)為0），最終可獲得最優(yōu)PD 控制器如下：

3 仿真實驗

首先，對僅考慮舵機特性（由最大舵角飽和限制、最大舵速限制與積分環(huán)節(jié)3 部分組成）的SWATH船縱向運動的等效Nomoto 模型行仿真比對試驗（參照文獻[4]進行航向自0°轉(zhuǎn)到10°的仿真實驗），因為本文中所采用的2 種控制器的的控制效果均優(yōu)于一般參數(shù)整定方法所得到的常規(guī)PID 控制器的控制效果，故在接下來的比對中不給出其仿真結(jié)果曲線。等效Nomoto 模型的首向角ψ 仿真結(jié)果如圖3 所示，舵角δ 仿真結(jié)果如圖4 所示。

圖3 等效Nomoto 模型的艏向角ψ 仿真結(jié)果Fig. 3 Equivalent Nomoto model simulation result of course ψ

圖4 等效Nomoto 的舵角δ 仿真結(jié)果Fig. 4 Equivalent Nomoto model simulation result of rudder angle δ

其中，最優(yōu)PD 控制器的調(diào)節(jié)時間為ts=44.04 s（5%），ts=51.48 s（2%），上升時間為tr=29.61 s，峰值時間tp=80.42 s，超調(diào)量σ%=0.076%。分數(shù)階PDμ控制器的調(diào)節(jié)時間為ts=39.35 s（5%），ts=43.65 s（2%），上升時間為tr=26.75 s，峰值時間tp=60.04 s，超調(diào)量σ%=1.177%。從以上數(shù)據(jù)可知，2 種控制器的超調(diào)都較小，舵角幾近相同，但是分數(shù)階PDμ控制器呈現(xiàn)出更快速的響應(yīng)性能與更良好的綜合性能。

其次，在進行2 種控制器性能的仿真比對實驗時，為使結(jié)果更接近航海實踐，在仿真過程中考慮了風(fēng)浪對船舶操縱性能的影響[23]。其中，6 級海浪的干擾選用國際ITTC 認可的白噪聲驅(qū)動的2 階震蕩環(huán)節(jié)描述[11-12, 23]?？紤]風(fēng)浪干擾后的首向角ψ 仿真結(jié)果如圖5所示，舵角δ 仿真結(jié)果如圖6 所示（圖中黑色水平線代表動舵±0.5°）。

張顯庫[23]指出：1）舵的能耗體現(xiàn)在操舵平穩(wěn)性、動舵（0.5°以上）次數(shù)、作用時間和舵葉轉(zhuǎn)動幅度等幾個方面；2）平均舵角小，說明操舵平穩(wěn)性好，舵葉平均轉(zhuǎn)動幅度小，可達到減少舵機系統(tǒng)磨損和轉(zhuǎn)舵時推力損耗的效果；3）從控制界代表能量性能指標函數(shù)J=∫δ2dt 來衡量耗能，其離散化后為J=∑δ2（k）。

圖5 考慮風(fēng)浪干擾后的艏向角ψ 仿真結(jié)果Fig. 5 Simulation result of course ψ after considering wind and wave interferences

圖6 考慮風(fēng)浪干擾后的舵角δ 仿真結(jié)果Fig. 6 Simulation result of rudder angle δ after considering wind and wave interferences

從以上3 個方面對考慮風(fēng)浪干擾后的模型的控制效果進行分析。從仿真結(jié)果可以看出，分數(shù)階PDμ控制器動舵幅度較小，且動舵頻率較低，比較節(jié)能。其中，采樣時，等效Nomoto 模型仿真實驗中，最優(yōu)PD 控制器的J=1351.9，分數(shù)階PDμ控制器J=1426.9（兩者耗能相近）?？紤]風(fēng)浪干擾后的模型仿真實驗中，最優(yōu)PD 控制器的J=1670.9，分數(shù)階PDμ控制器的J=1530.3。最優(yōu)PD 控制器耗能增加23.6%，分數(shù)階PDμ控制器耗能增加7.25%，考慮風(fēng)浪干擾后的分數(shù)階PDμ控制器相比最優(yōu)PD 控制器節(jié)能約8.41%；不采樣時，等效Nomoto 模型仿真實驗中，最優(yōu)PD 控制器的J=41007，分數(shù)階PDμ控制器的J=43338（兩者耗能相近）。考慮風(fēng)浪干擾后的模型仿真實驗中，最優(yōu)PD 控制器的J=52695，分數(shù)階PDμ控制器的J=48282。最優(yōu)PD 控制器耗能增加28.50%，分數(shù)階PDμ控制器耗能增加11.41%，考慮風(fēng)浪干擾后的分數(shù)階PDμ相比最優(yōu)PD 控制器節(jié)能約8.37%。

此外，為了進一步比對控制器的性能，分別進行了20°～80°的轉(zhuǎn)向仿真實驗。仿真結(jié)果表明，最優(yōu)PD 控制器會出現(xiàn)一定的靜差，而且舵角輸出呈現(xiàn)較為頻繁的抖動。而分數(shù)階PDμ控制器則未出現(xiàn)上述現(xiàn)象，依舊呈現(xiàn)了如10°仿真實驗時的良好效果。

對比以上的仿真結(jié)果可知，本文所設(shè)計的分數(shù)階PDμ控制器的控制效果明顯優(yōu)于最優(yōu)PD 控制器，并具有更為快速的響應(yīng)性能與更加良好的綜合性能，且分數(shù)階PDμ控制器在經(jīng)受外界風(fēng)浪干擾時，體現(xiàn)出了更加節(jié)能的控制性能，同時也展現(xiàn)出了更強的魯棒性能。分數(shù)階PDμ控制器能很好地克服SWATH 船由于外界因素干擾而導(dǎo)致的模型不確定性的影響。本文所設(shè)計的分數(shù)階PDμ控制器具有魯棒性強、控制性能好、更節(jié)能等優(yōu)點。

4 結(jié) 語

本文針對小水線面雙體船的縱向運動穩(wěn)定性問題，設(shè)計了一種分數(shù)階PIλDμ控制器，并在控制器設(shè)計時引入ITAE 準則對分數(shù)階PIλDμ的參數(shù)進行快速優(yōu)化，并以類似方式得到優(yōu)化參數(shù)的最優(yōu)PID 控制器。對某SWATH 實船的等效Nomoto 模型和考慮風(fēng)浪干擾后的模型分別進行了仿真實驗，結(jié)果表明，本文所設(shè)計的分數(shù)階PIλDμ控制器可用于小水線面雙體船的縱向運動控制，且該控制器具有魯棒性強、控制性能好、更節(jié)能等優(yōu)點。