一類Sobolev空間緊嵌入定理

林振生

(1.福建工程學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)院，福建 福州 350118；2.福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，福建 福州 350117)

為紀(jì)念前蘇聯(lián)科學(xué)家 Sobolev，學(xué)者們將一類函數(shù)空間命名為 Sobolev空間，它是尋找橢圓方程解存在性常用的基本工具[1]2,[2]1。有關(guān) Sobolev 空間有大量的研究工作及應(yīng)用場景[3-5]。郭玉霞等人[5]研究了帶有某類深井位勢的雙調(diào)和方程極小能量解的存在性。Liu等人[4]在更一般位勢假設(shè)下，研究某類非線性Schr?dinger方程解的存在性，提及一類比普通深井位勢更弱的位勢函數(shù)，工作空間具有一定的緊性嵌入性質(zhì)。但未給出該結(jié)論的證明。這結(jié)論也出現(xiàn)在文獻(xiàn)[6]引理3.4，Zou[6]45利用命題1.13(有界區(qū)域上的Sobolev 嵌入定理)及命題1.16(Gagliardo-Nirenberg 不等式)給出這一緊嵌入定理的詳細(xì)證明。而為能利用錐上的上同調(diào)環(huán)繞變分方法解決一類帶有位勢函數(shù)的p-Laplace方程非平凡解的存在性問題，Liu[3]給出更弱意義下的 Sobolev 空間緊嵌入定理。近十年來，帶不同位勢函數(shù)的Sobloev空間及其應(yīng)用一直是學(xué)者們關(guān)注的問題，是否存在比文獻(xiàn)[4-6]中位勢函數(shù)更弱的位勢函數(shù)？如果存在，那么在研究p-Laplace方程非平凡弱解存在性時(shí)，這類更弱位勢函數(shù)的Sobolev空間是否也存在緊嵌入定理？本文力圖論證帶更弱位勢函數(shù)的一類Sobolev函數(shù)空間存在緊嵌入定理。

1 問題描述及主要結(jié)果

過去學(xué)者們常使用滿足如下(V0)、(V1)條件的位勢函數(shù)V(x)：

在深井位勢函數(shù)環(huán)境下, 郭玉霞等[5]人研究了帶深井位勢的雙調(diào)和方程極小能量解的存在性。而在文獻(xiàn)[7]中，Bartsch等人也在(V0)、(V1′)假設(shè)下，研究下列非線性Schr?dinger方程解的存在性

(1)

其中，(V1′)對于任意的b∈R,m({x|V(x)≤b})<+

(2)

Bartsch等在文獻(xiàn)[8]中提出一類帶有(V2)條件的位勢函數(shù):

而Liu等在文獻(xiàn)[4]第三節(jié)中研究一類帶有(V2)條件的位勢函數(shù)的非線性Schr?dinger方程解的存在性,但未給出緊嵌入定理的證明。以下給定兩個(gè)條件記號(V1″)、(V2′)：

(V1″)對于任意的b∈R,{x|V(x)≤b}是有界的；

其中,Ab(y):={x|V(x)≤b}∩Br(y)。

可得：條件(V1)與(V1″)等價(jià)；條件(V2)和(V2′)也等價(jià)；條件(V1′)比(V1″)更弱；條件(V2′)比(V1′)更弱。

假設(shè)位勢函數(shù)V(x)滿足(V0)、(V2)兩個(gè)條件，論證帶有這類更弱位勢函數(shù)的一類Sobolev空間存在緊嵌入定理。

定理1.1假設(shè)(V0)、(V2)成立，那么，X→→Lt(RN),對于一切的2≤p≤t

由于(V0)條件的假設(shè)及X空間的定義，借鑒文獻(xiàn)[9]附錄A，可知X是一個(gè)自反、可分的Banach空間。同時(shí)，存在連續(xù)嵌入結(jié)論：X→Lt(RN)，對于一切的 2≤p≤t

注記1.1 假設(shè)(V0)、(V1′)成立，那么，X→→Lt(RN),對于一切的2≤p≤t

注記1.2 假設(shè)(V0)、(V1)成立，那么，X→→Lt(RN),對于一切的2≤p≤t

注記1.1是文獻(xiàn)[3]引理2.1，由于定理1.1中V(x)條件更弱，因此它是更一般的結(jié)論。除此之外，定理1.1允許p≥2且V(x)條件也更弱，推廣了引理3.4[6]45，這正是注記1.2。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，存在滿足(V1)條件卻不滿足(V2)條件的函數(shù)，如：V(x)=|x|2,V(x)=C+|x|2,其中C是一個(gè)正的常數(shù)。而由于定理1.1條件更弱，且不僅僅包含p=2的情形，還包含p>2，面臨新的困難，需要新的處理技巧及新的工具。

除特別說明外，Ci(i∈N)表示不同的常數(shù)。描述空間兩者關(guān)系時(shí)，→表示連續(xù)嵌入；→→表示連續(xù)緊嵌入；?表示弱收斂；N表示全體自然數(shù)組成的集合；R表示全體實(shí)數(shù)組成的集合；RN表示N維歐幾里得空間；|·|p表示Lebesgue 空間Lp(RN)的標(biāo)準(zhǔn)范數(shù)。

2 基本引理

給出兩個(gè)準(zhǔn)備引理，分別是插值不等式(H?lder不等式)及有界區(qū)域上的緊嵌入定理(Rellich-Kondrachov定理)：

引理2.1[2]27假設(shè)1≤r

(3)

3 主要定理證明

定理1.1的證明。

假設(shè){un}是X中一有界序列，un?u在X中成立，則un→u在Lt(RN)，對一切的2≤p≤t

其中，vn:=un-u。由于{vn}是Lp*(RN)中有界序列，而vn→0在Lp(RN)中成立，推得vn→0在Lt(RN)中成立。也就是說對于一切的2≤p≤t

以下證明：un→u在Lp(RN)成立。

(4)

再由引理2.2，有W1,p(BR0)→Lp*(BR0)。于是，存在一個(gè)正數(shù)C1，使得對于u∈W1,p(BR0)，有

|u|Lp*(BR0)≤C1‖u‖W1,p(BR0)

聯(lián)立這個(gè)連續(xù)嵌入不等式以及式子 (4) 及{vn}有界性，可推得

(5)

除此之外，還有

(6)

因?yàn)?V0)、(V2)成立，{vn}是X中的有界序列。因此，結(jié)合式(5)和(6)，對于任意>0，容易推得以下結(jié)果

對于足夠大的b、R0成立。

故，un→u在Lp(RN)中成立，證畢。

注記1.1的證明：

由于條件(V2)比條件(V1′)更弱，仿照定理1.1的證明，容易得到該注記的證明。

注記1.2的證明：

由于條件(V2)比條件(V1)更弱，仿照定理1.1的證明，也同樣容易得到該注記的證明。