高中數(shù)列解題中核心素養(yǎng)的滲透途徑研究

楊 慧

(廣西壯族自治區(qū)南丹縣高級(jí)中學(xué) 547200)

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六項(xiàng)內(nèi)容.其中數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)與高中數(shù)列知識(shí)聯(lián)系緊密，因此，教學(xué)中應(yīng)做好教學(xué)規(guī)劃與設(shè)計(jì)，在數(shù)列教學(xué)中積極開(kāi)展核心素養(yǎng)培養(yǎng)工作.

一、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題的最為基礎(chǔ)的環(huán)節(jié).一些問(wèn)題只有從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行合理抽象，去除一些無(wú)關(guān)要素，并使用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表征，才能更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)探討其內(nèi)在規(guī)律.在數(shù)列教學(xué)中培養(yǎng)抽象素養(yǎng)，一方面，認(rèn)真灌輸數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)，使學(xué)生搞清楚數(shù)列的本質(zhì)，尤其鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上自主探究，使學(xué)生知其然更知其所以然，深入理解數(shù)列研究的是序數(shù)以及項(xiàng)之間的關(guān)系；另一方面，課堂上注重篩選趣味性問(wèn)題，給學(xué)生留下一定時(shí)間，要求其運(yùn)用數(shù)列知識(shí)對(duì)相關(guān)的情境進(jìn)行抽象，深化其對(duì)數(shù)列知識(shí)理解的同時(shí)，更多地鍛煉與培養(yǎng)其數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

例1如圖1，用相同的火柴棍擺出一系列三角形圖案，按這種方式擺下去，當(dāng)每條邊上擺n根時(shí)，則需要的火柴棍總數(shù)為_(kāi)___.

圖1

從給出的圖象中抽象出相關(guān)規(guī)律正是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要體現(xiàn).

解析認(rèn)真觀察給出的圖形可知，當(dāng)n=1時(shí)，a1=3；

當(dāng)n=2時(shí)，a2=3×3=3×(1+2)=9；

當(dāng)n=3時(shí)，a3=3×6=3×(1+2+3)=18；

當(dāng)n=4時(shí)，a4=3×10=3×(1+2+3+4)=18；…；

二、邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)

邏輯推理是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最為基本的思維能力.良好的邏輯推理能力有助于學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，更容易抓住解決問(wèn)題的關(guān)鍵.數(shù)列教學(xué)中為獲得預(yù)期的邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)，一方面，為學(xué)生講解邏輯推理的相關(guān)技巧，即推理時(shí)既要尊重題干，又要注重?cái)?shù)學(xué)定理的應(yīng)用，尤其不能主觀臆斷，推理時(shí)應(yīng)有理有據(jù)，保證推理過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性；另一方面，圍繞數(shù)列知識(shí)，創(chuàng)設(shè)相關(guān)的問(wèn)題情境對(duì)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理訓(xùn)練，使學(xué)生通過(guò)訓(xùn)練積累邏輯推理的經(jīng)驗(yàn)與技巧.

例2已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，若4Sn=an2+2an+1(n∈N*).

(1)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

題目難度不大，只需積極回顧所學(xué)，充分把握相關(guān)的細(xì)節(jié)，進(jìn)行有理有據(jù)的推理，便不難作答.

又因?yàn)閍1=1，則數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即an=2n-1.

(3)由(2)可知Sm=m2，Sk=k2，Sp=p2，則

三、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)涉及很多模型，其中數(shù)列模型占有重要地位，是高中測(cè)試的?？純?nèi)容.教學(xué)中為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，一方面，為學(xué)生講解數(shù)學(xué)建模的基本步驟：認(rèn)真審題，理清題意→回顧所學(xué)，構(gòu)建模型→認(rèn)真計(jì)算，求解模型→代入驗(yàn)證.同時(shí)，講解相關(guān)的例題，為學(xué)生示范構(gòu)建數(shù)列模型解題的具體過(guò)程，給其以后靈活應(yīng)用奠定基礎(chǔ).另一方面，組織學(xué)生開(kāi)展數(shù)列模型構(gòu)建比賽活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)的同時(shí)，進(jìn)一步鞏固其所學(xué)的建模知識(shí)，促進(jìn)其數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升.

例3在一次人才招聘會(huì)上，有A，B兩家公司分別開(kāi)出它們的工資標(biāo)準(zhǔn)：A公司允諾第一年月工資為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；B公司允諾第一年月工資為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%.

(1)該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，若僅以工資收入總量最多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)(不計(jì)其他因素)，該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么？說(shuō)明理由？

(2)該人在A公司工作比在B公司工作的同月工資收入最多可以高出多少元？(精確到1元)并說(shuō)明理由.(本題可以參考數(shù)據(jù)：1.059=1.55，1.0510=1.63，1.0511=1.71，1.0517=2.29，1.0518=2.41，1.0519=2.53)

認(rèn)真審題找到題干中的關(guān)鍵詞，容易判斷兩個(gè)模型分別為等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型，找到首項(xiàng)、公差、公比便可順利構(gòu)建出對(duì)應(yīng)的模型.

解析(1)A公司提供的工資符合等差數(shù)列模型，在B公司的工資符合等比數(shù)列模型.根據(jù)所學(xué)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的模型分別為：an=1500+230×(n-1)=230n+1270，bn=2000×(1+5%)n-1=2000×1.05n-1，在A公司工作10年收入總量S1=(a1+a2+…+a10)×12=304200元，在B公司工作10年S2=(b1+b2+…+b10)×12=301869元，A公司收入高于B公司，應(yīng)選擇A公司.

(2)令cn=an-bn=1270+230n-2000×1.05n-1，當(dāng)n≥2時(shí)，cn-cn-1=230-100×1.05n-2.當(dāng)cn-cn-1>0，即230-100×1.05n-2>0時(shí)，1.05n-2<2.3，解得n<19.1.因此，當(dāng)2≤n≤19時(shí)，cn-1

數(shù)列教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)不可一蹴而就，應(yīng)做好相關(guān)文件的學(xué)習(xí)與研究，深入把握與理解核心素養(yǎng)內(nèi)涵，制定詳細(xì)的培養(yǎng)計(jì)劃.同時(shí)，結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn)，積極尋找數(shù)列知識(shí)教學(xué)與核心素養(yǎng)培養(yǎng)的契合點(diǎn)，有條不紊地開(kāi)展教學(xué)工作，使學(xué)生牢固掌握數(shù)列知識(shí)的同時(shí)，核心素養(yǎng)得以有效地提升.