利用“主線”破解立體幾何中的垂直問題

羅 紅

(云南省蒙自市第一高級中學(xué) 661199)

立體幾何在高考中是必考內(nèi)容，垂直的證明與應(yīng)用是考題中的熱點(diǎn)，對于學(xué)生而言，都希望在高考中這道大題能得滿分，但是有很大一部分學(xué)生不但不能得到滿意的分?jǐn)?shù)，還容易陷在此題中耗費(fèi)過多時(shí)間，尤其是遇到證明線線垂直、線面垂直和面面垂直時(shí)，有的學(xué)生看似在證明，其實(shí)不得其法，思路混亂入不了門，完成不了證明.

在立體幾何垂直的證明中，無論是線線垂直、線面垂直還是面面垂直，歸根結(jié)底是要證明線面垂直，下面給大家介紹一種方法：“一主線，多垂直”.所謂“一主線”指的就是到底要用哪條線來證明它與另一個(gè)面垂直；“多垂直”指的是我們在圖形中能找到的垂直，兩者合二為一就能快速解決問題.

一、高中數(shù)學(xué)幾何中常見的幾種垂直

二、線面垂直

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.

例1如圖1，已知PA⊥BC,AB是⊙O的直徑，C是⊙O上不同于A,B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E.

求證：AE⊥平面PBC.

分析要證AE⊥平面PBC，只需要證明AE垂直平面PBC中的兩條相交直線即可，題目中已有一條AE⊥PC，另一條要去找垂直多的地方，觀察圖形，發(fā)現(xiàn)底面有一個(gè)直徑所對的圓周角，左邊還有題設(shè)給的垂直PA⊥BC沒有用，整體“重心”在左方和下方，所以考慮應(yīng)該找AE⊥BC.

證明因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以BC⊥AC.

因?yàn)镻A⊥BC，PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.

因?yàn)锳E?平面PAC,所以BC⊥AE.

因?yàn)锳E⊥PC且PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC.

(1)證明：PO⊥ 平面ABC；

(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離.

分析第(1)問的證明題目中沒有給現(xiàn)成的垂直，但是給了很多的線段長度，這種類型的題要注意數(shù)據(jù)，看有沒有等腰三角形三線合一，有沒有滿足勾股定理的逆定理，從而得出直角.通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)PA=PC,O為AC的中點(diǎn),所以有PO⊥AC,要證明PO⊥平面ABC，還差一條線,從圖上看底面ABC中還剩下AB,BC，PO與AB,PO與BC是異面直線，顯然不是這兩條，所以我們要重新找一條能夠和PO構(gòu)成一個(gè)平面，又能充分利用已知數(shù)據(jù)，自然聯(lián)想連接OB,容易證得OP2+OB2=PB2,從而得出PO⊥AB.

由OP2+OB2=PB2，知OP⊥OB.

由OP⊥OB,OP⊥AC，知PO⊥平面ABC.

三、線線垂直

如果一條直線垂直于一個(gè)平面, 那么這條直線與此平面內(nèi)的任意一條直線都垂直.

例3(2017年全國Ⅲ卷文數(shù)19題)如圖4，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

證明：AC⊥BD.

分析要證明線線垂直多用線面垂直，需要找出一條線和一個(gè)面，所以要區(qū)分到底哪條線是主線，哪條線要放在平面內(nèi)，在做題之前可用不同顏色標(biāo)明兩條線.下面來看兩條線誰的垂直會多一些，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，AD=CD，出現(xiàn)了等腰三角形和等邊三角形，很自然地聯(lián)想“三線合一”，所以取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO,這樣就構(gòu)成了一個(gè)平面，而且還有兩個(gè)垂直,如圖5，所以AC是主線，BD要放在平面內(nèi).

證明取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO.

因?yàn)锳D=CD，

所以DO⊥AC.

又由于△ABC是正三角形，所以BO⊥AC.

又DO∩BO=O,從而AC⊥平面BOD，故AC⊥BD.

例4(2020年全國Ⅲ卷文數(shù))如圖6，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1．

證明:當(dāng)AB=BC時(shí)，EF⊥AC.

分析AC是長方體上底面的一條對角線，因?yàn)锳B=BC,所以上底面是正方形，兩條對角線互相垂直，顯然AC和EF比較，AC能找到的垂直更多，所以AC是主線，要把EF放在一個(gè)平面內(nèi)，至此，主線與平面已區(qū)分開來，只需構(gòu)造平面即可.

證明如圖7，連接BD，B1D1．因?yàn)锳B=BC，所以四邊形ABCD為正方形，故AC⊥BD．又因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1．所以AC⊥平面BB1D1D．

由于EF?平面BB1D1D，所以EF⊥AC．

四、面面垂直

一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

證明：平面AMD⊥平面BMC.

證明由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．

因?yàn)锽C⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．

又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．

而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．

例6(2020年全國Ⅱ卷文數(shù))如圖9，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過B1C1和P的平面交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．

證明：AA1∥MN，且平面AA1MN⊥平面EB1C1F.

分析先將需要證明垂直的兩個(gè)平面用不同顏色勾勒出來，再去看題目中的條件，很快能夠發(fā)現(xiàn)B1C1的垂直最多，所以B1C1是主線.

證明因?yàn)镸,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn)，

所以MN∥CC1．

又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．

因?yàn)椤鰽1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．

又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面AA1MN．

又因?yàn)锽1C1?平面EB1C1F，

所以平面AA1MN⊥平面EB1C1F．

例7(2017年全國Ⅰ卷文數(shù))如圖10，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

證明：平面PAB⊥平面PAD.

分析先將需要證明垂直的兩個(gè)平面用不同顏色勾勒出來，我們發(fā)現(xiàn)有一條線是公共的，那么這條線一定不會是主線，剩下4條線有明顯垂直的就是AB，所以AB是主線.

證明由已知∠BAP=∠CDP=90°，得AB⊥AP,CD⊥PD.

由于AB∥CD，故AB⊥PD.

從而AB⊥平面PAD.

又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

通過以上例題我們不難看出，立體幾何中的垂直證明關(guān)鍵在于找到那條“主線”，而主線的尋找往往依賴于題目中的條件，主線一般會在垂直多的地方，大部分在底面、側(cè)面里，很少是體的對角線(看上去是懸空的線)，證明面面垂直時(shí)，兩個(gè)面的公共線不會是主線，所以找出題目中的信息很關(guān)鍵，哪里有垂直，哪里的垂直多，整個(gè)題目的條件偏向于哪里，哪里就是這道題的“重心”，我們只需要依著這樣的規(guī)律，就能夠快速地破解這類題，做題時(shí)思路就會很清晰，也就能夠起到事半功倍的效果！