未知死區(qū)輸入非線性系統(tǒng)的雙觀測器動(dòng)態(tài)面控制

王源慶 張桂臣 施祝斌 王 琪蘇 娟

(1.江蘇航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院輪機(jī)工程系,江蘇南通 226010;2.上海海事大學(xué)商船學(xué)院,上海 201306)

1 引言

在實(shí)際工業(yè)控制系統(tǒng)中,因執(zhí)行機(jī)構(gòu)物理結(jié)構(gòu)限制,存在控制輸入飽和即死區(qū)動(dòng)態(tài)問題,引起控制滯后、超調(diào)甚至系統(tǒng)不穩(wěn)定,許多學(xué)者展開了研究.Zuo等[1]研究了未知死區(qū)的非線性問題,利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法,提出基于微分同胚的自適應(yīng)控制方法.He等[2]為了解決未知死區(qū)帶來的不確定性和軌跡跟蹤問題,設(shè)計(jì)了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)控制方案.文獻(xiàn)[3]針對(duì)死區(qū)輸入的動(dòng)態(tài)非線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)魯棒動(dòng)態(tài)面的控制策略.文獻(xiàn)[4]針對(duì)一類具有未知死區(qū)的純反饋非線性系統(tǒng),利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了自適應(yīng)魯棒動(dòng)態(tài)面控制方法.Li等[5]研究了具有未知死區(qū)輸入的純反饋不確定非線性系統(tǒng)的精確控制問題,設(shè)計(jì)了基于觀測器的動(dòng)態(tài)面控制方案.鑒于動(dòng)態(tài)面控制在高階系統(tǒng)中的優(yōu)異表現(xiàn),本文研究了一類含死區(qū)輸入的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),提出了基于觀測器的自適應(yīng)魯棒動(dòng)態(tài)面控制方法.

多年來,自適應(yīng)魯棒控制是解決不確定非線性問題的重要方法.文獻(xiàn)[6]研究了一類存在有界擾動(dòng)的非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問題,提出了基于Lyapunov的直接自適應(yīng)魯棒控制.類似的,文獻(xiàn)[7]針對(duì)一類嚴(yán)格反饋形式的非線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)魯棒控制方法.文獻(xiàn)[8]為了解決不確定單輸入單輸出非線性離散系統(tǒng)的控制問題,提出了直接自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制.文獻(xiàn)[9]將基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)魯棒控制方法拓展到多輸入多輸出的不確定非線性系統(tǒng)中,取得了較好的效果.文獻(xiàn)[10]針對(duì)一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反演自適應(yīng)魯棒控制法.以上成果廣泛的采用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)逼近法來解決不確定非線性系統(tǒng)的控制問題.與此同時(shí),基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)逼近法還被推廣到一類連續(xù)時(shí)間非仿射非線性系統(tǒng)[11]、多輸入多輸出仿射非線性系統(tǒng)[12]、未知參考方向的非仿射非線性系統(tǒng)[13]、未知死區(qū)的分散非線性大系統(tǒng)[14].綜上可知基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)逼近方法已經(jīng)得到深入研究,但是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)屬于黑箱方法,理論分析較為困難.而且,其調(diào)節(jié)參數(shù)多,相互影響,這類基于函數(shù)逼近器的自適應(yīng)魯棒控制要達(dá)到理想的效果,需耗費(fèi)大量的時(shí)間來調(diào)節(jié)參數(shù).因函數(shù)逼近精度影響反饋控制效果,繼續(xù)研究其他方法來代替函數(shù)逼近器處理未知函數(shù)的問題,將具有重要的意義.基于此,本文采用擴(kuò)張觀測器替代函數(shù)逼近方法來改善傳統(tǒng)自適應(yīng)魯棒動(dòng)態(tài)面控制.

擴(kuò)張觀測器(extended state observer,ESO)來至于韓京清教授的自抗擾算法,因其不依賴精確數(shù)學(xué)模型,能觀測和補(bǔ)償外部和內(nèi)部擾動(dòng),收斂速度快、控制精度高,被廣泛應(yīng)用于處理非線性系統(tǒng)中的不確定擾動(dòng).文獻(xiàn)[16]利用觀測器解決動(dòng)力學(xué)模型未知問題,以提升系統(tǒng)魯棒性能,并通過仿真得到驗(yàn)證.在文獻(xiàn)[17]中,針對(duì)系統(tǒng)模型含不確定結(jié)構(gòu),并常受未知擾動(dòng)影響,設(shè)計(jì)了基于觀測器的抗擾動(dòng)方法.文獻(xiàn)[18]針對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)中存在的時(shí)滯現(xiàn)象,提出了一種含擾動(dòng)觀測器的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法,取得了較好的效果.由上可知,擴(kuò)展觀測器能有效處理非線性系統(tǒng)不確定性問題,豐富了反饋控制器效果提升路徑.

文獻(xiàn)[19]在建立每一步動(dòng)態(tài)面時(shí),采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器觀測和補(bǔ)償系統(tǒng)擾動(dòng),采用跟蹤微分器過濾虛擬中間信號(hào)并得到差分信號(hào),跟蹤微分器的使用不但消除了計(jì)算復(fù)雜問題,也提高了控制效果.但跟蹤微分器參數(shù)調(diào)節(jié)復(fù)雜,因此本文設(shè)計(jì)第1觀測器代替微分器來實(shí)現(xiàn)信號(hào)過濾并得到差分信號(hào).因第1觀測器引入了控制輸出信號(hào),實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)面的雙反饋控制,有利于反饋控制效果的提高.

本文主要工作如下：

1) 采用基于反雙曲正弦函數(shù)的擴(kuò)張觀測器,以降低參數(shù)調(diào)節(jié)和理論分析難度.

2) 在動(dòng)態(tài)面每一步設(shè)計(jì)時(shí),引入第1觀測器即參考信號(hào)觀測器跟蹤和過濾參考信號(hào),并得到差分信號(hào),避免了傳統(tǒng)反演法的“微分爆炸”情況,解決了反演法的計(jì)算復(fù)雜問題.

3) 設(shè)計(jì)了一種基于雙觀測器的自適應(yīng)魯棒控制算法,該方法采用精度更高的擾動(dòng)觀測器替代常規(guī)的函數(shù)逼近器,且與第1觀測器實(shí)現(xiàn)雙反饋控制,加快了收斂速度,提高了閉環(huán)系統(tǒng)性能.

本文主要內(nèi)容組織如下：第2節(jié),給出一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,并設(shè)計(jì)新型雙觀測器;第3節(jié),針對(duì)含輸入死區(qū)的非線性系統(tǒng),提出基于雙觀測器的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制律;第4節(jié),利用李雅普諾夫方法,分析輸出反饋控制信號(hào)的參數(shù)選擇與整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的關(guān)系;第5節(jié),仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證算法的有效性;第6節(jié),對(duì)本文進(jìn)行總結(jié).

2 問題描述與預(yù)備知識(shí)

2.1 模型描述

考慮一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)：

式中：時(shí)間t ∈[0,∞);X(t)=[x1··· xn]T∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)量;y是系統(tǒng)輸出;f(X)∈R1是系統(tǒng)不確定性函數(shù);u是系統(tǒng)輸入;D(·)是系統(tǒng)死區(qū)輸入函數(shù),形式如下：

式中m,κ為未知正定常數(shù).利用中值定理,死區(qū)輸入函數(shù)簡化如下：

式中

將式(3)代入式(1)可知

式中

針對(duì)含輸入死區(qū)(2)的嚴(yán)格非線性系統(tǒng)(1),設(shè)計(jì)基于雙擴(kuò)張觀測器的自適應(yīng)魯棒控制器控制輸入u,以實(shí)現(xiàn)以下目標(biāo)：

1) 精確在線逼近系統(tǒng)未知模型函數(shù),設(shè)計(jì)自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面魯棒控制器的控制輸入信號(hào).

2) 確保在L∞范數(shù)意義下系統(tǒng)誤差ei(i=1,···,n)的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)控制性能.

2.2 雙觀測器設(shè)計(jì)

2.2.1 跟蹤信號(hào)觀測器設(shè)計(jì)

動(dòng)態(tài)面每一步設(shè)計(jì)時(shí),為了解決動(dòng)態(tài)面算法計(jì)算復(fù)雜性問題,設(shè)計(jì)跟蹤信號(hào)觀測器,并考慮系統(tǒng)控制輸出的影響,提高反饋控制效果.

引理1文獻(xiàn)[20]給出了如下形式的擴(kuò)展觀測器：

式中：xr(t)是參考信號(hào),β1,β2,···,βn,βn+1,b0為正定常數(shù).選擇合適的參數(shù),有下式成立：

參考文獻(xiàn)[15,20],設(shè)計(jì)第1觀測器式(9)：

其中：g(·)=arsh(·)為反雙曲正弦函數(shù),

最后一個(gè)xn+1是u.eri(t)為跟蹤信號(hào)觀測器的濾波誤差：

式中：‖xr3‖≤ι,ι是正定常數(shù),且

根據(jù)式(10)-(12)可得觀測器的誤差方程

則系統(tǒng)(13)可改寫為

聯(lián)系式(14)的李雅普諾夫函數(shù)：

則至少存在一點(diǎn)γ ∈[0,ei21]使得

根據(jù)反雙曲線函數(shù)一、三象限單調(diào)增的性質(zhì),又由βi2＞0,可得出

對(duì)式(17)求導(dǎo)可得

當(dāng)且僅當(dāng)eri22=0時(shí),V1=0,因此,系統(tǒng)(14)漸進(jìn)穩(wěn)定.

在觀測器(9)中,因考慮了系統(tǒng)控制輸出量,與擾動(dòng)觀測器共同實(shí)現(xiàn)雙反饋控制.證畢.

2.2.2 擾動(dòng)觀測器設(shè)計(jì)

為了觀測和補(bǔ)償系統(tǒng)不確定函數(shù),參考文獻(xiàn)[15],設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測器如下：

其中：ρi1,ρi2為正定常數(shù);ezi(t)為擾動(dòng)觀測器的觀測誤差：

zi2(t)用來逼近并觀測和補(bǔ)償未知模型,自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面最后一步中的xn+1(t)為u.上式的收斂性證明與跟蹤信號(hào)觀測器類似.

3 自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制器設(shè)計(jì)

定義誤差為

式中αi?1為中間控制量.

自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制器工作原理如圖1所示.

第1步根據(jù)式(5)和式(21)可知

圖1 自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面工作原理圖Fig.1 Working principle diagram of adaptive dynamic surface

設(shè)計(jì)第1觀測器ESO11以得到

式中ρ1檢測噪聲信號(hào)上界,即設(shè)計(jì)第2觀測器ESO12在線逼近和補(bǔ)償未知模型函數(shù)f1(x1,x2)：

式中z12用來逼近未知函數(shù)f1(x1,x2).觀測器誤差ez1=z11?x1,且有界.

設(shè)計(jì)第1個(gè)虛擬控制量：

式中c1,φ均是正定常數(shù).

式(26)中,自適應(yīng)調(diào)節(jié)律為

式中λ1,σ1為正定常數(shù).

將虛擬控制量(26)代入式(22),得到系統(tǒng)(1)的誤差e1的動(dòng)態(tài)方程是

選取李雅普諾夫函數(shù)：

對(duì)式(29)微分可得

將式(27)-(28)代入式(30)可得

式(31)滿足

式中θ1=ε1+η1.

根據(jù)Yong不等式可知

由文獻(xiàn)[22]可知

由于tanhx和arshx均是一、三象限單調(diào)增函數(shù),且具有保號(hào)性,因此

由圖2可知

圖2 取φ=100時(shí)x?tanh和x?arsh的對(duì)比曲線Fig.2 Contrast of inverse hyperbolic sine function and tangent function φ=100

結(jié)合式(35)和式(34)可知

將式(33)和式(36)代入式(32)可知

第i步根據(jù)式(5)和式(21)可知

式中αi為第i個(gè)虛擬控制量.

設(shè)計(jì)第i+1觀測器ESOi2在線逼近和補(bǔ)償未知模型函數(shù)fi(xi,xi+1)：

式中：zi2用來逼近未知函數(shù)fi(xi,xi+1),觀測器誤差ezi(t)=zi1?xi,且有界.

設(shè)計(jì)第i個(gè)虛擬控制量：

式中ci是正定常數(shù).

式(25)中,自適應(yīng)調(diào)節(jié)律為

式中λi,σi為正定常數(shù).

將虛擬控制量式(42)代入式(38),得到誤差ei的動(dòng)態(tài)方程是

選取李雅普諾夫函數(shù)：

式中λi是正定常數(shù).

對(duì)式(45)微分可得

將式(43)-(44)代入(46)可得

式(47)滿足

式中θi=εi+ηi.

根據(jù)Yong不等式可知

因

將式(49)代入式(48)可知

第n步根據(jù)式(5)和式(21)可知

式中αn為第n個(gè)虛擬控制量.

設(shè)計(jì)第n觀測器ESOn1以得到αn?1

設(shè)計(jì)第n+1觀測器ESOn2在線逼近和補(bǔ)償未知模型函數(shù)fn(xn,xn+1)：

式中：zn2用來逼近未知函數(shù)fn(xn,xn+1),觀測器誤差ezn(t)=zn1?xn,且有界|ezn|≤ι1.

最后,設(shè)計(jì)實(shí)際控制信號(hào)：

式中cn是正定常數(shù).

式(55)中,自適應(yīng)調(diào)節(jié)律為

將虛擬控制量式(55)代入式(51),可知

選取李雅普諾夫函數(shù)

式中λi是正定常數(shù).

對(duì)式(58)微分可得

將式(56)-(57)代入式(59)可得

式中

根據(jù)Yong不等式可知

因

將式(62)代入式(61)可知

4 穩(wěn)定性分析

定理1針對(duì)有未知死區(qū)(2)輸入的閉環(huán)非線性系統(tǒng)(1),設(shè)計(jì)參數(shù)自適應(yīng)律(26)(34)(41)的控制規(guī)則(25)(35)(42),設(shè)置適當(dāng)參數(shù),選取任意雙觀測器的初始條件和zi1(0),可保證整個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)是半全局一致最終有界的.而且,系統(tǒng)狀態(tài)和自適應(yīng)參數(shù)收斂于如下緊集：

證選取李雅普諾夫函數(shù)如下：

將誤差動(dòng)態(tài)方程(37)(50)(64)代入(65)可知

由式(66)可得

式中：

由此可證,閉環(huán)系統(tǒng)都是半全局一致最終有界.

證畢.

對(duì)式(67)兩端積分可知

存在定義為式(71)的第2個(gè)緊集.

式中λmax為λi的最值.

根據(jù)式(65)可得

由式(72)可知

將式(74)代入式(78)可知

根據(jù)式(65)(69)可得

5 仿真實(shí)驗(yàn)

考慮如下不確定非線性系統(tǒng)：

式中：f1(x1)=2 sinx1,f2(x1,x2)=x1x2,參考信號(hào)為方波.通過合理設(shè)置系統(tǒng)參數(shù),以跟蹤期望參考信號(hào).死區(qū)參數(shù)m=1.5,κ=2.5.系統(tǒng)初始條件和參數(shù)設(shè)置如表1所示.

表1 控制器參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameter setting of the controller

為了驗(yàn)證本文算法的控制效果,與傳統(tǒng)非線性ADRC做仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比,結(jié)果如圖3所示.控制系統(tǒng)性能指標(biāo)如表2所示.表2中：π為超調(diào)量均值,tr為上升段平均時(shí)間,ts為下降段平均時(shí)間,ees為穩(wěn)態(tài)誤差平均值.

圖3 控制效果Fig.3 Comparison of control effects

表2 控制系統(tǒng)性能指標(biāo)Table 2 The experimental index of square wave reference signal

根據(jù)圖3和表2可知：本文自適應(yīng)魯棒控制算法控制效果比傳統(tǒng)非線性自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)跟蹤誤差超調(diào)更小,收斂速度更快,控制精度更高.表明采用雙觀測器跟蹤動(dòng)態(tài)面控制中的不確定量,可提升系統(tǒng)控制效果.

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的魯棒性,參考信號(hào)定為xr=5 sint,系統(tǒng)在10 s和25 s分別加入幅值為1和?1的階躍擾動(dòng)信號(hào),其結(jié)果如圖3-8所示.

圖4 負(fù)載擾動(dòng)時(shí)控制效果Fig.4 Control effect under load disturbance

圖5 觀測器ESO11的跟蹤效果Fig.5 The tracking effects of the observer ESO11

圖6 觀測器ESO12的跟蹤效果Fig.6 The tracking effects of the observer ESO12

圖7 觀測器ESO21的跟蹤效果Fig.7 The tracking effects of the observer ESO21

圖8 觀測器ESO22的跟蹤效果Fig.8 The tracking effects of the observer ESO22

由圖3-8可知：當(dāng)受到外部擾動(dòng)時(shí),系統(tǒng)表現(xiàn)出良好的魯棒性,系統(tǒng)信號(hào)跟蹤誤差和觀測誤差均能快速收斂到一個(gè)較小領(lǐng)域中.在消除干擾后,系統(tǒng)能快速恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài),保持良好的跟蹤效果,觀測誤差較小.基于以上分析可知,本文提出的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面魯棒控制方法具有較好的信號(hào)跟蹤能力,魯棒性和抗擾動(dòng)能力較強(qiáng).

6 結(jié)束語

本文針對(duì)不確定非線性系統(tǒng)存在未知死區(qū)輸入的情況,設(shè)計(jì)了基于雙觀測器的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制方法.動(dòng)態(tài)面的每一步設(shè)計(jì)中,跟蹤信號(hào)觀測器替代常規(guī)動(dòng)態(tài)面控制的濾波器,并考慮了系統(tǒng)控制輸出的影響.擾動(dòng)觀測器代替常規(guī)函數(shù)逼近器,可預(yù)估并補(bǔ)償動(dòng)態(tài)面每一步未知狀態(tài)量,抑制未知死區(qū)輸入擾動(dòng)的影響.兩個(gè)觀測器實(shí)現(xiàn)雙反饋控制,提高了反饋控制能力.仿真實(shí)驗(yàn)表明,基于雙觀測器的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面控制方法抗擾動(dòng)能力強(qiáng),魯棒性能好.在此基礎(chǔ)上,作者會(huì)將此方法應(yīng)用到無人機(jī)控制系統(tǒng)中,驗(yàn)證并改進(jìn)該方法的性能.