多變量周期系統(tǒng)的多模型二階段自適應(yīng)控制

王 巖 ,王 昕 ,王振雷

(1.華東理工大學(xué)化工過程先進(jìn)控制和優(yōu)化技術(shù)教育部重點實驗室,上海 200237;2.上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院電工電子實驗教學(xué)中心,上海 200240)

1 引言

線性周期時變系統(tǒng)的建立可以追溯到19世紀(jì),在小擾動或者無擾動的假設(shè)下,將在周期性狀態(tài)下運行的實際系統(tǒng)歸結(jié)為線性周期系統(tǒng),譬如通訊系統(tǒng)、衛(wèi)星系統(tǒng)、旋翼飛機(jī)系統(tǒng)以及工業(yè)過程中的實際系統(tǒng)[1].因而,在控制領(lǐng)域,諸多學(xué)者針對線性周期系統(tǒng)做了廣泛的研究,并且設(shè)計了多種控制方法[2].因此,如何更好地提高對線性周期系統(tǒng)的控制效率、提升系統(tǒng)的控制性能成為了研究的重要問題.

近些年來,通過線性化方法或利用線性時不變系統(tǒng)逼近物理模型來提取線性周期系統(tǒng)的方法不斷涌出.Olcer和Prasad等學(xué)者[3-5]針對具有轉(zhuǎn)子周期特性的周期系統(tǒng)提出了兩步過程獲得高階線性時不變模型的方法.Lopez等[6]利用諧波分解將系統(tǒng)狀態(tài)表示成多種諧波以創(chuàng)建線性時不變系統(tǒng)近似值,并制定相應(yīng)的線性時不變模型.但此方法由于對原始周期系統(tǒng)二階公式的依賴等問題使諧波分解等在解釋時會出現(xiàn)困難.為此,文獻(xiàn)[7]提出了使用一階公式進(jìn)行諧波分解獲取更加通用的線性時不變模型的方法,以更好地模擬周期系統(tǒng).除此之外,Ismail等[8]考慮到線性周期系統(tǒng)可以等效為線性時不變系統(tǒng)的特點,使用頻域子空間辨識方法獲取相應(yīng)的線性時不變系統(tǒng)的估計值以模擬周期系統(tǒng).不過上述方法對周期系統(tǒng)建模的過程可能會導(dǎo)致重復(fù)模擬,或由于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)分析使建模時間過渡較長甚至無法得到模型,因此引發(fā)了對模型簡化的需求.在這方面,Magruder等[9]開發(fā)了一種在H2哈代空間中分析系統(tǒng)的算法,利用得到的后驗誤差界激勵優(yōu)化算法以簡化模型,得到的模型參數(shù)量級更低,參數(shù)估計更精準(zhǔn).通過線性化或者簡化后的系統(tǒng),需要設(shè)計合理的控制器來精準(zhǔn)高效的控制周期系統(tǒng).文獻(xiàn)[10]設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器以控制系統(tǒng).Li等[11]和Liao等[12]設(shè)計了一種具有預(yù)見作用的預(yù)見跟蹤控制器,前者充分考慮了可預(yù)見的參考信號和干擾信號,而后者則利用系數(shù)矩陣是周期函數(shù)的特性設(shè)計了最優(yōu)預(yù)見跟蹤控制器.而Nguyen等[13]則設(shè)計了模型預(yù)測控制器,并利用插值控制提高控制性能,保證了遞歸的可行性和漸進(jìn)穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[14]在考慮了模型轉(zhuǎn)換問題后,將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為增強(qiáng)的線性時不變系統(tǒng),然后利用線性二次最優(yōu)控制以控制系統(tǒng).除此之外,更有學(xué)者考慮了執(zhí)行器故障[15]、魯棒穩(wěn)定性[16-17]以及執(zhí)行器飽和[18]等問題并且給予了合理的解決方法.不過,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)未知時,相比于利用模擬逼近的方法,采用自適應(yīng)辨識的方法能得到更精確的結(jié)果.文獻(xiàn)[19-20]中利用李雅普諾夫理論構(gòu)建了李雅普諾夫函數(shù),在參數(shù)周期已知的情況下可以得到精確的辨識結(jié)果.然而,由于單模型自適應(yīng)控制對周期系統(tǒng)的控制具有精度低、調(diào)節(jié)時間長、暫態(tài)響應(yīng)差等不足[21].為此Narendra等[22]提出了基于切換的多模型自適應(yīng)控制以實現(xiàn)更加良好的控制效果,但對于時變系統(tǒng)卻因模型頻繁切換產(chǎn)生抖震,導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定.為避免模型間的頻繁切換,文獻(xiàn)[23-24]提出了多模型自適應(yīng)混合控制,通過混合信號將各個子控制器輸出混合,保證了系統(tǒng)輸出的平滑性.但隨著系統(tǒng)維度的增加,模型數(shù)量會呈指數(shù)增加,為此文獻(xiàn)[25]提出了多模型二階段自適應(yīng)控制,這種控制策略既避免了多模型切換控制可能存在的抖震又減少了模型數(shù)量,并且可以有效利用自身信息,而被廣泛應(yīng)用.

本文針對多變量周期系統(tǒng),設(shè)計了多模型二階段自適應(yīng)控制器.首先,根據(jù)先驗知識確定系統(tǒng)不確定范圍,并在此范圍內(nèi)設(shè)定若干個自適應(yīng)模型.然后,基于李雅普諾夫理論設(shè)計了第一階段參數(shù)辨識方程以及第二階段權(quán)值自適應(yīng)律,獲取虛擬模型參數(shù)值,用以加快參數(shù)收斂速度.接著,利用虛擬模型參數(shù)設(shè)計二階段自適應(yīng)控制器,以提高系統(tǒng)的暫態(tài)性能.再給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性證明.最后的數(shù)值仿真結(jié)果證明了多模型二階段自適應(yīng)控制器的有效性.

2 對象描述

考慮下述多變量線性周期系統(tǒng)：

式中：x(t)∈Rn,u(t)∈Rm分別為可測的系統(tǒng)狀態(tài)向量以及輸入量;B ∈Rn×m,C ∈Rl×n分別為系統(tǒng)的控制矩陣和輸出矩陣;A ∈Rn×n為參數(shù)未知的系統(tǒng)矩陣,其具體形式如下：

控制目標(biāo)是設(shè)計控制器u(t)使?fàn)顟B(tài)向量x(t)趨向于參考向量.因此對系統(tǒng)做出如下假設(shè)：

假設(shè)1系統(tǒng)的控制矩陣B以及輸出矩陣C已知,且當(dāng)m=n時,B為非奇異方陣,m/=n時,B的偽逆存在;

假設(shè)2系統(tǒng)矩陣呈周期性變化,即A(t)=A(t?T),且時間周期T已知;

假設(shè)3系統(tǒng)矩陣A(t)中所有參數(shù)的不確定區(qū)域SA已知,且SA為凸集合.

表1中給出了本文中主要變量說明.

3 多模型二階段自適應(yīng)控制

3.1 第1階段自適應(yīng)

對系統(tǒng)(1)作如下變換：

式中Am為穩(wěn)定的參考模型系統(tǒng)矩陣,且為時不變Hurwitz矩陣,有

表1 文中主要變量說明表Table 1 Description table of main variables

針對系統(tǒng)(3)建立多個狀態(tài)辨識模型,即

由此可以得到系統(tǒng)的誤差方程為

式中P是式(8)所示的Lyapunov方程唯一對稱正定解,

對式(7)求導(dǎo)可得

因此式(9)可表述為

此時,應(yīng)當(dāng)選擇合適Φi保證式(12)小于0.即

將式(13)代入式(12)中有

3.2 第2階段自適應(yīng)

第2階段自適應(yīng)的設(shè)計過程需建立在以下引理的基礎(chǔ)上.

引理1對于參數(shù)A ∈SA,如果SA為凸集合,對于集合SA內(nèi)的任意一點,都可以用集合SA內(nèi)至多N=n2+1個點的線性組合來表征,即

引理2若任意n2個辨識模型的初值是線性無關(guān)的,且N=n2+1個參數(shù)構(gòu)成的凸集合可以構(gòu)成參數(shù)A的不確定區(qū)域SA,即滿足

則對于任意時刻t≥t0,有

引理3如果系統(tǒng)參數(shù)A在初始時刻位于辨識模型初始值構(gòu)成的凸集合SA內(nèi),則對任意t≥t0,參數(shù)A始終位于SA內(nèi).

基于上述引理以及多模型二階段自適應(yīng)控制理論,需要設(shè)計第一階段的N=n2+1個自適應(yīng)模型,n2為系統(tǒng)未知參數(shù)的數(shù)量.利用第1階段的N個自適應(yīng)模型構(gòu)成虛擬模型,N個自適應(yīng)模型的初值應(yīng)形成凸組合且包含系統(tǒng)的不確定區(qū)域,得到的虛擬模型如下：

虛擬模型的狀態(tài)估計模型如下：

式中：qi=1,i=j,否則qi=0.

同理,

因此式(3)與(20)可改寫為

得到誤差方程為

根據(jù)李雅普諾夫理論,為了保證參數(shù)收斂,需要使導(dǎo)數(shù)小于0.即式(32)小于0.因此,設(shè)計權(quán)值自適應(yīng)律

3.3 控制器設(shè)計

基于上述得到的虛擬參數(shù),設(shè)計基于模型參考自適應(yīng)理論的控制器,保證系統(tǒng)漸進(jìn)跟蹤參考模型.

已知穩(wěn)定的參考模型

式中：xm∈Rn為參考狀態(tài)向量,Am形如式(4),Bm∈Rn×m為已知的控制矩陣,r(t)∈Rm為已知的參考輸入.

控制器采用模型跟隨控制器,其結(jié)構(gòu)為

式中：B?為B的偽逆,若B為非奇異矩陣,則B?=B?1.

設(shè)系統(tǒng)誤差ec(t)=x(t)?xm(t),根據(jù)式(3)(35)和式(36)得

式中：

4 仿真研究

考慮如下兩輸入兩輸出線性周期系統(tǒng)：

式中：

根據(jù)先驗知識得知,θ2已知,而θ1=[a11a12]未知.參考模型為

參考輸入R(t)=[2 sin(1.4πt) 2 cos(1.4πt)]T.

現(xiàn)針對單模型自適應(yīng)與多模型二階段自適應(yīng)兩種方法進(jìn)行對比研究.單模型自適應(yīng)初值設(shè)定為θ2(0)=[?7 6.8].多模型二階段自適應(yīng)模型數(shù)量為3,模型參數(shù)初始值分別為θ21(0)=[?8 7],θ22(0)=[?7 4.5],θ23(0)=[?6 7].為使虛擬模型初始參數(shù)和單模型自適應(yīng)初始參數(shù)一致,因此α=[0.46 0.08 0.46]T.

單模型自適應(yīng)控制參數(shù)辨識如圖1-2所示.由曲線可知,單模型自適應(yīng)控制雖然辨識參數(shù)可以逐漸追蹤到真實參數(shù),但參數(shù)收斂時間過長,因此造成系統(tǒng)暫態(tài)誤差大,調(diào)節(jié)時間過長.單模型自適應(yīng)控制曲線圖3-4所示.

圖1 單模型自適應(yīng)控制參數(shù)1辨識Fig.1 Parameter 1 identification

圖2 單模型自適應(yīng)控制參數(shù)2辨識Fig.2 Parameter 2 identification

圖3 單模型自適應(yīng)控制曲線1Fig.3 Output 1 of single model adaptive control

多模型二階段自適應(yīng)控制參數(shù)辨識如圖5-6所示.從圖中可知,辨識參數(shù)可較快地跟蹤到真實值,參數(shù)收斂速度較快.圖7-8為參數(shù)辨識誤差曲線,可知多模型二階段自適應(yīng)控制比起單模型自適應(yīng)控制,參數(shù)收斂速度更快,參數(shù)誤差更小.

圖4 單模型自適應(yīng)控制曲線2Fig.4 Output 2 of single model adaptive control

圖6 多模型二階段自適應(yīng)控制參數(shù)2辨識Fig.6 Parameter 2 identification

圖7 參數(shù)1辨識誤差對比Fig.7 Parameter 1 identification error comparison

圖8 參數(shù)2辨識誤差對比Fig.8 Parameter 2 identification error comparison

圖10-11為多模型二階段控制曲線,圖12-13為控制誤差對比圖.除第1周期由于兩方法參數(shù)一致導(dǎo)致控制誤差相同外,其他時間多模型二階段自適應(yīng)控制方法在暫態(tài)性能方面明顯優(yōu)于單模型自適應(yīng)控制.

圖9 參數(shù)辨識誤差積分對比Fig.9 Parameter identification error integral comparison

圖12 控制誤差對比1Fig.12 Control error comparison 1

圖13 控制誤差對比2Fig.13 Control error comparison 2

5 結(jié)語

本文針對多變量周期系統(tǒng)設(shè)計了多模型二階段自適應(yīng)控制器.利用李雅普諾夫理論得到兩個階段的辨識方程并得到虛擬模型,根據(jù)虛擬模型參數(shù)設(shè)計二階段控制器.接著對系統(tǒng)的穩(wěn)定性給予了證明.文末根據(jù)數(shù)值仿真研究可知多模型二階段自適應(yīng)控制提高了參數(shù)收斂速度,參數(shù)辨識結(jié)果精度更高;控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度更快,調(diào)節(jié)時間更短,控制精度更高.