板塊模型問(wèn)題的基本分類(lèi)與解析

湖北 張萬(wàn)平

高中物理中，滑塊和木板疊放組成相互作用的系統(tǒng)簡(jiǎn)稱(chēng)為板塊模型。板塊模型屬于多個(gè)物體的多個(gè)過(guò)程問(wèn)題，是高三復(fù)習(xí)的重點(diǎn)模型，也是高考命題的熱點(diǎn)。運(yùn)用動(dòng)力學(xué)法、動(dòng)量法、功能法是解決板塊模型問(wèn)題常用的三種方法。為討論方便，設(shè)定以下各種類(lèi)型中滑塊的質(zhì)量為m，木板的質(zhì)量為M；滑塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1，木板與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2。本文按照初始速度情況和受力情況，將板塊模型分為四種基本類(lèi)型，通過(guò)對(duì)四種基本類(lèi)型分類(lèi)討論，總結(jié)了一些解決思路和方法，供學(xué)生參考。

一、無(wú)外力F作用

(1)僅滑塊有初速度v0

如圖1，滑塊以水平速度v0沖上長(zhǎng)木板以后，討論如下：

圖1

圖2

圖3

(2)僅木板有初速度v0

圖4

如圖4，木板速度為v0時(shí)在其右端輕放一個(gè)滑塊后，討論如下：

圖5

圖6

值得注意的是圖6中，滑塊相對(duì)木板先向后滑動(dòng)至t1時(shí)刻，后相對(duì)木板向前滑動(dòng)，若在t1時(shí)刻滑塊恰好滑到木板左端沒(méi)有掉下，此時(shí)木板長(zhǎng)度有最小值。

【例1】如圖7所示，一木板在水平地面上運(yùn)動(dòng)，在t=0時(shí)刻將一相對(duì)于地面靜止的物塊輕放到木板上，以后木板運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)間圖像如圖8。已知物塊與木板的質(zhì)量相等，物塊與木板間及木板與地面間均有摩擦，物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，且物塊始終在木板上。取重力加速度g=10 m/s2，求：

圖7

圖8

(1)物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1及木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2；

(2)從0.5 s到停止，物塊與木板的加速度分別多大；

(3)從t=0時(shí)刻到物塊與木板均停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊相對(duì)木板的位移大小。

【解析】(1)從t=0時(shí)開(kāi)始，木板與物塊之間的摩擦力使物塊加速，木板與物塊間及木板與地面間的摩擦力使木板減速，此過(guò)程一直持續(xù)到物塊和木板具有共同速度為止。

由圖8可知，在t1=0.5 s時(shí)，物塊和木板的速度相同。設(shè)t=0到t=0.5 s時(shí)間間隔內(nèi)，物塊和木板的加速度大小分別為a1和a2，則：

設(shè)物體和木板的質(zhì)量均為m，根據(jù)牛頓第二定律得

μ1mg=ma1，(μ1+2μ2)mg=ma2

聯(lián)立解得μ1=0.20，μ2=0.30

(2)在t1時(shí)刻后，地面對(duì)木板的摩擦力阻礙木板運(yùn)動(dòng)，物塊與木板之間的摩擦力改變方向。

圖9

(3)從t=0時(shí)刻到物塊與木板均停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊與木板運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖9。

物塊相對(duì)于木板的位移的大小為Δx=x2-x1

解得Δx=1.125 m

【點(diǎn)評(píng)】本題首先要掌握v-t圖像的物理意義，由斜率求出物體的加速度；其次要根據(jù)牛頓第二定律判斷速度相等后兩者是否相對(duì)靜止，這是易錯(cuò)點(diǎn)，可以假設(shè)相對(duì)靜止推出矛盾從而作出兩者發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)情況的判斷；物塊相對(duì)于木板的位移大小可以用運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出，也可以用圖9中兩個(gè)陰影三角形的面積之差來(lái)求得。

圖10

圖11

【例2】(2018年海南卷第8題)(改編)如圖12所示，長(zhǎng)木板A放在光滑的水平面上，質(zhì)量為m=4 kg的小物塊B以v0=2 m/s的水平速度滑上原來(lái)靜止的長(zhǎng)木板A的左端，由于A、B間存在摩擦，之后A、B速度隨時(shí)間變化情況如圖13所示，g=10 m/s2下列說(shuō)法正確的是

( )

圖12

圖13

A.長(zhǎng)木板A獲得的動(dòng)能為2 J

B.系統(tǒng)損失的機(jī)械能為為2 J

C.長(zhǎng)木板A的最小長(zhǎng)度為2 m

D.A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1

【點(diǎn)評(píng)】本題注意結(jié)合圖像挖掘題目中的隱含條件，這是解題的關(guān)鍵。因地面光滑系統(tǒng)所受合外力為零，故可以考慮動(dòng)量守恒定律。本題中長(zhǎng)木板A的最小長(zhǎng)度是指長(zhǎng)木板A與小物塊B達(dá)到共同速度時(shí)，小物塊B剛好到達(dá)長(zhǎng)木板A右端時(shí)的長(zhǎng)度。

二、有外力F作用

(1)外力F作用在長(zhǎng)木板上

圖14

若力F較小，木板相對(duì)地面剛要?jiǎng)蛩龠\(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)整體分析有

F1=μ2(M+m)g

若兩者恰好一起向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，對(duì)整體

F2-μ2(M+m)g=(M+m)a

對(duì)木塊單獨(dú)分析有μ1mg=ma，則

F2=(μ1+μ2)(M+m)g

討論：①當(dāng)0

②當(dāng)F1

圖15

說(shuō)明：若地面光滑，則μ2=0，F(xiàn)1=0，對(duì)應(yīng)的a-F圖像只需將圖15中圖像向左平移至起點(diǎn)交于原點(diǎn)處。

【例3】如圖16所示，一質(zhì)量為M的長(zhǎng)木板靜置于光滑水平面上，其上放置一質(zhì)量為m小滑塊。長(zhǎng)木板受到隨時(shí)間t變化的水平拉力F作用，用傳感器測(cè)出長(zhǎng)木板的加速度a與水平拉力F的關(guān)系如圖17所示，取g=10 m/s2，則

( )

圖16

圖17

A.小滑塊與長(zhǎng)木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1

B.當(dāng)水平拉力F=7 N時(shí)，長(zhǎng)木板的加速度大小為3 m/s2

C.當(dāng)水平拉力F增大時(shí)，小滑塊的加速度一定增大

D.小滑塊的質(zhì)量m=2 kg

【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵在于通過(guò)圖像判斷拉力F在不同范圍時(shí)滑塊和木板的狀態(tài)，當(dāng)拉力F=6 N，加速度a=2 m/s2時(shí)，長(zhǎng)木板和小滑塊運(yùn)動(dòng)達(dá)到臨界狀態(tài)；當(dāng)06 N時(shí)，對(duì)長(zhǎng)木板和小滑塊分別分析。

(2)外力F作用在滑塊上

圖18

討論①當(dāng)μ1mg≤μ2(M+m)g時(shí)，木板靜止

②當(dāng)μ1mg>μ2(M+m)g時(shí)，若兩者恰好一起勻加速，則

對(duì)系統(tǒng)分析有F0-μ2(M+m)g=(M+m)a0

對(duì)木板分析有μ1mg-μ2(M+m)g=Ma0

分類(lèi)討論：

①當(dāng)F≤μ2(M+m)g，兩者均靜止

圖19

圖20

說(shuō)明：若地面光滑，則μ2=0，μ1mg>μ2(M+m)g=0，對(duì)應(yīng)的a-F圖像只需將圖20中圖像向左平移至起點(diǎn)交于原點(diǎn)處。

【例4】如圖21所示，在水平地面上有一質(zhì)量為m1=1 kg 的足夠長(zhǎng)的木板，其上疊放一質(zhì)量為m2=2 kg的木塊，木塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.3，木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2=0.1，設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等，現(xiàn)給木塊施加隨時(shí)間t增大的水平拉力F=3t，取重力加速度g=10 m/s2。

圖21

圖22

(1)求木塊與木板保持相對(duì)靜止的時(shí)間t1；

(2)t=10 s時(shí)兩物體的加速度各是多少；

(3)在圖22中畫(huà)出木塊的加速度隨時(shí)間變化的圖像.(水平拉力F的方向?yàn)檎较颍灰螽?huà)圖，不要求寫(xiě)出理由及計(jì)算過(guò)程)

【解析】(1)Ff1=μ1m2g=6 N，F(xiàn)f2=μ2(m1+m2)g=3 N，F(xiàn)f1>Ff2

當(dāng)F<3 N，0

當(dāng)木塊和木板恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)一起做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)

對(duì)m1分析有Ffmax-μ2(m1+m2)g=m1a

其中Ffmax=μ1m2g

解得a=3 m/s2

對(duì)m1和m2整體有F1-μ2(m1+m2)g=(m1+m2)a

解得F1=12 N

由F1=3t1得t1=4 s

(2)t=10 s時(shí)，木塊與木板已發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則

對(duì)m1分析有μ1m2g-μ2(m1+m2)g=m1a1

解得a1=3 m/s2

對(duì)m2分析有F-μ1m2g=m2a2

F=3t=30 N

解得a2=12 m/s2

(3)由(1)(2)分析可知，圖像過(guò)(1，0)，(4，3)，(10，12)，將各點(diǎn)用折線(xiàn)連接，如圖23所示。

圖23

【點(diǎn)評(píng)】本題要注意區(qū)分“兩者都靜止”與“兩者相對(duì)靜止”的不同含義，對(duì)這點(diǎn)學(xué)生容易混淆，當(dāng)?shù)孛鎸?duì)木板摩擦力小于滑塊對(duì)木板的摩擦力時(shí)，外力小于地面對(duì)木板的摩擦力，兩者都靜止；當(dāng)滑塊受到的靜摩擦力小于等于最大靜摩擦力時(shí)兩者相對(duì)靜止；當(dāng)滑塊受到的摩擦力剛達(dá)到最大，外力F增大時(shí)，兩者便發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。

在高中總復(fù)習(xí)階段，木板滑塊模型問(wèn)題貫穿牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量和能量等章節(jié)的復(fù)習(xí)，在求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)我們一定要搞清楚上下接觸面的粗糙程度以及兩者的初始情況和受力情況。其中有兩點(diǎn)需要特別值得注意：一是摩擦力種類(lèi)及方向是根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向來(lái)判斷的；二是當(dāng)滑塊與木板共速時(shí)，需判斷兩者是否發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。在求解木板滑塊模型問(wèn)題時(shí)可以借助圖像直觀地展現(xiàn)多個(gè)對(duì)象在各個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)情況，從而使問(wèn)題的求解簡(jiǎn)便化。