電場(chǎng)中那些能量問(wèn)題的歸類(lèi)探析

云南 蔣金團(tuán)

帶電粒子在靜電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是高考必考題型，帶電粒子在電場(chǎng)中的三線(xiàn)問(wèn)題、電場(chǎng)中的能量轉(zhuǎn)化、電場(chǎng)中的加速與偏轉(zhuǎn)等內(nèi)容是高考命題的熱點(diǎn)。本文從能量的角度，對(duì)電場(chǎng)中的功能關(guān)系問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)探析。

一、非勻強(qiáng)電場(chǎng)中的功能關(guān)系

1.電勢(shì)高低的判斷

角度方法電場(chǎng)線(xiàn)方向沿電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)逐漸降低場(chǎng)源電荷的正負(fù)取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零,正電荷周?chē)妱?shì)為正值,負(fù)電荷周?chē)妱?shì)為負(fù)值;靠近正電荷處電勢(shì)高,靠近負(fù)電荷處電勢(shì)低電場(chǎng)力做功根據(jù)UAB=WABq=φA-φB,將WAB、q的正負(fù)號(hào)代入,由UAB的正負(fù)判斷φA、φB的高低電勢(shì)能的大小正電荷在電勢(shì)能大的位置電勢(shì)高,負(fù)電荷在電勢(shì)能大的位置電勢(shì)低

2.電勢(shì)能大小的判斷

方法內(nèi)容公式法將電荷量、電勢(shì)連同正負(fù)號(hào)一起代入公式Ep=qφ,正Ep的絕對(duì)值越大,電勢(shì)能越大;負(fù)Ep的絕對(duì)值越大,電勢(shì)能越小電勢(shì)法正電荷在電勢(shì)高的位置電勢(shì)能大負(fù)電荷在電勢(shì)低的位置電勢(shì)能大做功法電場(chǎng)力做正功,電勢(shì)能減小電場(chǎng)力做負(fù)功,電勢(shì)能增大能量守恒法在電場(chǎng)中,若只有電場(chǎng)力做功時(shí),電荷的動(dòng)能和電勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化,動(dòng)能增大,電勢(shì)能減小,反之,動(dòng)能減小,電勢(shì)能增大

【例1】如圖1所示，一帶電粒子僅在電場(chǎng)力的作用下做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，虛線(xiàn)表示其運(yùn)動(dòng)軌跡，實(shí)線(xiàn)表示電場(chǎng)線(xiàn)，下列說(shuō)法正確的是

( )

A.粒子帶正電

B.粒子在B點(diǎn)受到的電場(chǎng)力大于在C點(diǎn)受到的電場(chǎng)力

C.粒子在B點(diǎn)時(shí)電勢(shì)能最大

D.粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中動(dòng)能先增大后減小

圖1

【選項(xiàng)分析】帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡向左下彎曲，則帶電粒子所受的電場(chǎng)力沿電場(chǎng)線(xiàn)切線(xiàn)向左下方，帶電粒子帶負(fù)電，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；電場(chǎng)線(xiàn)的疏密程度表示電場(chǎng)強(qiáng)度大小，由圖1可知B點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大于C點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，所以粒子在B點(diǎn)受到的電場(chǎng)力大于在C點(diǎn)受到的電場(chǎng)力，B選項(xiàng)正確；由沿著電場(chǎng)線(xiàn)方向電勢(shì)逐漸降低，可知B點(diǎn)的電勢(shì)最低，再根據(jù)負(fù)電荷在電勢(shì)低的位置電勢(shì)能大可知，粒子在B點(diǎn)時(shí)電勢(shì)能最大，C選項(xiàng)正確；已知帶電粒子僅受電場(chǎng)力，由能量守恒定律可知，動(dòng)能和電勢(shì)能之和保持不變，粒子在B點(diǎn)時(shí)電勢(shì)能最大，動(dòng)能最小，因此，粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中動(dòng)能先減小后增大，D選項(xiàng)錯(cuò)誤。

【歸納總結(jié)】電場(chǎng)線(xiàn)與運(yùn)動(dòng)軌跡的綜合問(wèn)題，可按如下的步驟解答：(1)根據(jù)合力總是指向軌跡的凹側(cè)判斷出電場(chǎng)力的方向，本題中的軌跡向左下彎曲，所以電場(chǎng)力的方向沿電場(chǎng)線(xiàn)切線(xiàn)指向左下方；(2)根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度方向和電場(chǎng)力方向是否相同判斷粒子的帶電性質(zhì)，若方向相同則粒子帶正電，若方向相反則粒子帶負(fù)電，口訣為“正同負(fù)反”，本題中電場(chǎng)線(xiàn)的方向指向右上方，而電場(chǎng)力的方向指向左下方，電場(chǎng)力的方向與電場(chǎng)強(qiáng)度的方向相反，所以粒子帶負(fù)電；(3)在電場(chǎng)線(xiàn)與軌跡線(xiàn)的交點(diǎn)處，通過(guò)作切線(xiàn)的方式畫(huà)出電場(chǎng)力的方向和速度的方向，根據(jù)兩個(gè)方向間的夾角判斷出電場(chǎng)力做功情況，若夾角為銳角則電場(chǎng)力做正功，若夾角為鈍角則電場(chǎng)力做負(fù)功，本題中假設(shè)帶電粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡在A點(diǎn)的切線(xiàn)指向右上方(即A點(diǎn)速度方向指向右上方)，而A點(diǎn)電場(chǎng)力方向沿電場(chǎng)線(xiàn)在A點(diǎn)的切線(xiàn)指向左下方，此時(shí)電場(chǎng)力方向與速度方向之間的夾角為鈍角，電場(chǎng)力做負(fù)功，同理可知，在B點(diǎn)電場(chǎng)力方向垂直速度方向，在C點(diǎn)電場(chǎng)力方向與速度方向成銳角，電場(chǎng)力做正功；(4)根據(jù)電場(chǎng)力做功情況判斷出電勢(shì)能的變化情況，若電場(chǎng)力做正功則電勢(shì)能減小，若電場(chǎng)力做負(fù)功則電勢(shì)能增加。對(duì)于本題而言，帶電粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)再運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力先做負(fù)功后做正功，電勢(shì)能先增大后減小，即B點(diǎn)電勢(shì)能最大；(5)根據(jù)動(dòng)能定理或能量守恒定律判斷出動(dòng)能的變化情況，若合力做正功則動(dòng)能增加，若合力做負(fù)功則動(dòng)能減小。對(duì)于本題而言，帶電粒子僅受電場(chǎng)力，動(dòng)能與電勢(shì)能之和保持不變，帶電粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)再運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，電勢(shì)能先增大后減小，則動(dòng)能先減小后增大，即B點(diǎn)動(dòng)能最小。

【例2】一帶負(fù)電的粒子只在電場(chǎng)力作用下沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，其電勢(shì)能Ep隨位移x變化的關(guān)系如圖2所示，其中0～x2段是關(guān)于直線(xiàn)x=x1對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)，x2～x3段是直線(xiàn)，下列說(shuō)法正確的是

( )

圖2

A.粒子經(jīng)過(guò)x1處時(shí)，其受到的電場(chǎng)力為零

B.粒子在0～x2段做勻變速運(yùn)動(dòng)

C.在0、x1、x2、x3處電勢(shì)φ0、φ1、φ2、φ3的關(guān)系為φ3<φ2=φ0<φ1

D.在x2～x3段，粒子的加速度保持不變

二、點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的功能關(guān)系

【例3】(2019年全國(guó)卷Ⅲ第21題)如圖3所示，在正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)上分別固定電荷量為q和-q(q>0)的點(diǎn)電荷，關(guān)于正方體另外兩個(gè)頂點(diǎn)a、b處的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)，下列說(shuō)法正確的是

( )

圖3

A.a點(diǎn)的電勢(shì)大于b點(diǎn)的電勢(shì)

B.a、b兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，方向相同

C.a、b兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，方向不同

D.將負(fù)電荷從a點(diǎn)移到b點(diǎn)，電勢(shì)能增加

【選項(xiàng)分析】如圖4所示，取無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，b點(diǎn)更加靠近正電荷，φb為正值，a點(diǎn)更加靠近負(fù)電荷，φa為負(fù)值，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

圖4

( )

圖5

B.b、d兩點(diǎn)電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度都相同

C.四個(gè)點(diǎn)中c點(diǎn)電勢(shì)最高

D.將一個(gè)試探電荷+q沿圓周由a點(diǎn)移至c點(diǎn)，+q的電勢(shì)能減小

三、勻強(qiáng)電場(chǎng)中的功能關(guān)系

1.帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常用動(dòng)能定理尋找相應(yīng)的功能關(guān)系；

2.帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)時(shí)，通常用“運(yùn)動(dòng)合成與分解”的方法結(jié)合動(dòng)能定理分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況和能量轉(zhuǎn)化情況。

【例5】(2018年全國(guó)卷Ⅱ第21題)如圖6所示，a、b、c、d、M、N是勻強(qiáng)電場(chǎng)中的六個(gè)點(diǎn)，勻強(qiáng)電場(chǎng)方向與此六點(diǎn)所在的平面平行，M、N分別為ac連線(xiàn)和bd連線(xiàn)的中點(diǎn)。將一電荷量為q的帶正電的粒子從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，其電勢(shì)能減小W1；將該粒子從c點(diǎn)移動(dòng)到d點(diǎn)，其電勢(shì)能減小W2。已知c、d之間的距離為L(zhǎng)，下列說(shuō)法正確的是

( )

A.勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)方向一定與ab連線(xiàn)平行

D.若W1=W2，則a、M兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差一定等于b、N兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差

圖6

【例6】(2020年全國(guó)卷Ⅰ第25題)如圖7所示，以O(shè)為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向與圓形區(qū)域所在平面平行，現(xiàn)將質(zhì)量為m，電荷量為q的正粒子從圓周上的A點(diǎn)以不同的速率射入電場(chǎng)，入射速度方向均與電場(chǎng)方向垂直，已知粒子的入射速度為零時(shí)，粒子將從圓周上的C點(diǎn)以速率v0穿出勻強(qiáng)電場(chǎng)，弦AC與直徑AB間的夾角θ=60°，粒子僅受電場(chǎng)力作用。求：

圖7

(1)電場(chǎng)強(qiáng)度的大?。?/p>

(2)為使粒子穿過(guò)電場(chǎng)后的動(dòng)能增加量最大，該粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速率為多大？

(3)為使粒子穿過(guò)電場(chǎng)前后動(dòng)量變化量的大小為mv0，該粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速率為多大？

圖8

【點(diǎn)評(píng)】(1)要善于把電學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為力學(xué)問(wèn)題，建立帶電粒子在電場(chǎng)中加速和偏轉(zhuǎn)的模型，能夠從帶電粒子的受力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系及功能關(guān)系兩條途徑進(jìn)行分析與研究。對(duì)于本題，當(dāng)帶電粒子從A點(diǎn)由靜止釋放時(shí)，粒子在恒定電場(chǎng)力作用下做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榇藭r(shí)粒子從C點(diǎn)射出，這說(shuō)明AC連線(xiàn)為此時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡，同時(shí)說(shuō)明電場(chǎng)力的方向從A點(diǎn)指向C點(diǎn)，對(duì)于勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，只要用動(dòng)能定理或牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式便可求解。當(dāng)帶電粒子從A點(diǎn)以一定的初速度垂直電場(chǎng)射入時(shí)，帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，此時(shí)采用正交分解法處理，把類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)分解成沿著初速度方向的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和沿著電場(chǎng)力方向的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，分別列出每個(gè)分運(yùn)動(dòng)的速度公式、位移公式和加速度公式(用牛頓第二定律求加速度)，最后再結(jié)合幾何關(guān)系便能求出相應(yīng)的未知量；(2)第二問(wèn)中的臨界條件可以采用三角形定則來(lái)尋找，粒子的末位置為圓上的某點(diǎn)B，把初位置A和末位置B連起得到合位移，把合位移正交分解成沿著電場(chǎng)力的分位移和垂直電場(chǎng)力的分位移，再把垂直電場(chǎng)力的分位移沿著電場(chǎng)力方向平移，該分位移和圓相切時(shí)，電場(chǎng)力做功最大。