基于無味變換的邊坡可靠性分析

向子林　許曉亮　黃聞捷　陳將宏

摘 要：巖土工程不確定性問題是近年研究的熱點(diǎn)之一，以邊坡可靠性分析為出發(fā)點(diǎn)，通過介紹無味變換原理，給出基于無味變換的邊坡可靠性分析方法及實(shí)施步驟，借助已有研究中的均質(zhì)邊坡和分層邊坡算例，探討了基于無味變換的邊坡可靠性分析方法的合理性和適用性，結(jié)果表明：基于無味變換原理開展邊坡可靠性分析可不依賴于變量的分布類型，應(yīng)用方便且計(jì)算效率高;在分析可靠性較高的邊坡時(shí)，由于失效概率量值較小，引起的相對誤差較大，應(yīng)謹(jǐn)慎選擇，但對于工程上更為關(guān)注的可靠性較低（較高失效概率，Pf>7%）的邊坡，與蒙特卡洛方法相比，基于無味變換方法的計(jì)算結(jié)果相對誤差約在5%以內(nèi)，且變量相關(guān)系數(shù)的變化引起的誤差波動(dòng)較小，適用性較好。

關(guān)鍵詞：邊坡;可靠性分析;無味變換;抗剪強(qiáng)度參數(shù);相關(guān)性;失效概率

中圖分類號：TU457? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ??文章編號：2096-6717（2021）02-0076-08

Abstract： The uncertainty problem of geotechnical engineering is one of the research hotspots in recent years. The slope reliability analysis is a foundation.According to the principle of unscented transformation，the analysis methods and implementation steps of slope reliability are given.Based on the existing examples of the homogeneous slope and the layered slope， the rationality and applicability of slope reliability analysis method based on unscented transformation are discussed. The results show that the reliability analysis of slope based on the unscented transformation does not depend on the distribution types of variables，and this method is convenient in application and efficient in calculation. When the slope with higher reliabilityis analyzed，a large relative error is caused because the value of failure probability is small.Therefore， the method should be chosen carefully.But for the slope with lower reliability （higher failure probability，Pf>7%） is more concerned in the engineering，the method of slope reliability analysis has better applicability than the Monte Carlo method. Mean while，the relative error of this method is approximately within 5% and the error fluctuation caused by the change of variable correlation coefficient is small.

Keywords：slope; reliability analysis; unscented transformation; shear strength parameters; correlation; failure probability

由于邊坡工程巖土體力學(xué)參數(shù)及破壞模式的隨機(jī)性和復(fù)雜性，可靠性分析逐漸成為了邊坡穩(wěn)定評價(jià)及工程設(shè)計(jì)的另一主要途徑和參考依據(jù)[1-2]。

目前，在邊坡可靠性分析方面的研究大致可以分為兩類[3]。一類是邊坡單一破壞模式的單元可靠性分析，如：祝玉學(xué)等[4]研究了巖質(zhì)邊坡雙滑面破壞模式的可靠性計(jì)算方法;Low[5]提出了基于Excel的可靠指標(biāo)計(jì)算新算法，并將結(jié)果用于巖質(zhì)邊坡單滑面破壞的可靠度分析，采用Beta分布描述黏聚力和摩擦角的分布，采用截尾指數(shù)分布描述張裂縫中充水深度系數(shù)的分布。第二類是多滑面或多個(gè)失效模式的邊坡體系可靠性分析，如鄭智洋等[6]利用雙折減系數(shù)法對多滑面邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行分析和研究;譚曉慧等[7]采用Ditle-vsen窄界限公式估算了巖質(zhì)邊坡各失穩(wěn)模式組成的串聯(lián)體系的可靠指標(biāo);Jimenez-Rodriguez等[8]提出了采用不相交的割集來分析楔體多失效模式的體系可靠度問題，并采用順序條件重要抽樣方法計(jì)算體系可靠指標(biāo)。

與此同時(shí)，在傳統(tǒng)的一階可靠度分析方法（first-order reliability，F(xiàn)ORM）、蒙特卡洛法（Monte Carlo method，MCS method）、響應(yīng)面法（response surface methodology，RSM）的基礎(chǔ)上，新的邊坡可靠性分析方法也不斷得到了豐富和發(fā)展，如隨機(jī)有限元法[9]、重要抽樣法[10]、copula積分法[2，11]，分別在變量相關(guān)性描述、高效抽樣、功能函數(shù)逼近方面做了有益的探索。上述方法中，蒙特卡洛法作為計(jì)算失效概率最直接的方法，其計(jì)算精度高，已被廣泛應(yīng)用，但當(dāng)需要大量抽樣時(shí)，蒙特卡洛法的計(jì)算效率較低，特別是對于復(fù)雜系統(tǒng)的多維相關(guān)變量及非線性問題的求解;此外，工程中比較常用的中心點(diǎn)、驗(yàn)算點(diǎn)等一階可靠度分析方法通常需要將相關(guān)非正態(tài)變量進(jìn)行獨(dú)立化和標(biāo)準(zhǔn)化[12]，增加了計(jì)算的近似程度與復(fù)雜程度。

因此，有必要進(jìn)一步探究具有更大靈活性、更高計(jì)算效率和更強(qiáng)非線性處理能力的邊坡可靠性分析方法。無味變換[13-16]是利用變量的均值和協(xié)方差來近似其非線性轉(zhuǎn)換后變量統(tǒng)計(jì)特性的方法，相對于蒙特卡洛及一階可靠度分析方法等，具有計(jì)算效率高、精度高（均值、協(xié)方差傳播精度均可達(dá)到二階以上）、不依賴于分布類型以及應(yīng)用方便（無需求解非線性方程的Jacobi矩陣[14]，甚至無需知道非線性方程的顯式方程）等優(yōu)點(diǎn)，能夠較好地處理高維抽樣及非線性傳遞問題，已在自動(dòng)控制、導(dǎo)航制導(dǎo)、人工智能等領(lǐng)域得到成功的應(yīng)用[13]。筆者將無味變換引入到邊坡可靠性分析之中，給出了基于無味變換的邊坡可靠性分析方法，開展了算例邊坡的可靠度指標(biāo)和失效概率計(jì)算，并通過不同方法結(jié)果的對比分析，闡述所提出方法的合理性和適用性。

1 基于無味變換的邊坡可靠性分析方法

1.1 無味變換原理介紹

傳統(tǒng)線性化方法的基本思路是對非線性映射做某種線性近似，然后再運(yùn)用各種線性近似的方法進(jìn)行分析，相比較于傳統(tǒng)的線性化方法，用有限的參數(shù)來近似隨機(jī)變量的概率特性要比近似任意的非線性映射函數(shù)更為容易，而且用更少的計(jì)算量可以達(dá)到更高的精度?；诖?，Savin等[15]、Julier等[16]提出了無味變換（unscented transformation，UT），其核心在于借助有限個(gè)特征點(diǎn)的信息來近似表達(dá)n維隨機(jī)變量的整體信息（概率密度函數(shù)）。

假設(shè)有隨機(jī)變量x的均值矩陣為mx，協(xié)方差矩陣為Vx，隨機(jī)變量y是關(guān)于x的函數(shù)，通過式（1）所示方式進(jìn)行映射。

1.2 基于無味變換的邊坡可靠性分析步驟

無味變換計(jì)算效率高，運(yùn)用方便[13]，能夠用有限的數(shù)據(jù)點(diǎn)信息近似整體概率分布信息，且不依賴于變量的分布類型，可用于邊坡工程的可靠性分析。此時(shí)，通過確定抗剪強(qiáng)度參數(shù)黏聚力c和摩擦角φ等隨機(jī)變量的均值、方差，并借助FS=f（c，φ，…）映射關(guān)系（即功能函數(shù)），便可得出安全系數(shù)FS的均值方差，進(jìn)而計(jì)算邊坡的可靠度指標(biāo)β及失效概率Pf。圖1給出了基于無味變換的邊坡可靠性分析方法的技術(shù)路線，其主要實(shí)施步驟：

1）分析選定對邊坡可靠性更為敏感的參數(shù)作為隨機(jī)變量，如通常將邊坡土體的黏聚力c和摩擦角φ作為隨機(jī)變量[11];

2）根據(jù)參數(shù)黏聚力c和摩擦角φ的均值、方差及相關(guān)系數(shù)ρcφ，計(jì)算得到隨機(jī)變量的均值矩陣和協(xié)方差矩陣;

3）利用Step2得到的協(xié)方差矩陣進(jìn)行平方根分解，并結(jié)合均值矩陣和引入的尺度參數(shù)，計(jì)算得到2n+1個(gè)σ點(diǎn)，見式（2）～式（7）;

4）建立目標(biāo)邊坡計(jì)算模型，同時(shí)，將Step3得到的2n+1個(gè)σ點(diǎn)代入模型，并開展二維極限平衡計(jì)算，通過搜索最危險(xiǎn)的滑面，得到2n+1個(gè)安全系數(shù)FS的值，見式（8）;

5）利用權(quán)值的定義和λ、η等參數(shù)，分別得出2n+1個(gè)FS的均值和協(xié)方差的權(quán)值，見式（11）～式（13）;

6）根據(jù)Step4得到的2n+1個(gè)FS值，并結(jié)合Step5計(jì)算得到的權(quán)值，分別借助式（9）、式（10）計(jì)算得到FS的均值和方差;

7）借助可靠度指標(biāo)的定義（均值與標(biāo)準(zhǔn)差的比）直接計(jì)算邊坡可靠度指標(biāo)β值，同時(shí)，可借助失效概率與可靠度指標(biāo)的關(guān)系進(jìn)一步計(jì)算相應(yīng)的失效概率。

2 算例分析

2.1 均質(zhì)邊坡算例

算例1為軟土層上的均質(zhì)邊坡[17]，典型剖面見圖2，圖中各層土體的參數(shù)見表1，且分布類型為正態(tài)分布[17-18]。借助Slide軟件，采用簡化的Bishop法進(jìn)行極限平衡計(jì)算，得出坡體參數(shù)采用均值時(shí)的安全系數(shù)為1.165，安全系數(shù)與最危險(xiǎn)滑面的位置均與Cho[18]計(jì)算（FS=1.164）非常接近。

在不考慮邊坡土體黏聚力c和摩擦角φ的相關(guān)性時(shí)，根據(jù)表1土體參數(shù)黏聚力c和摩擦角φ的均值和方差，計(jì)算得到個(gè)9個(gè)σ點(diǎn)，并利用Slide開展二維極限平衡計(jì)算，從而得到9組安全系數(shù)，如表2所示，進(jìn)而通過無味變換的邊坡可靠度分析法得到算例1中邊坡的失效概率為19.66%，與相應(yīng)蒙特卡洛法（MCS）和一階可靠度分析（FORM）驗(yàn)算點(diǎn)法得到的失效概率計(jì)算結(jié)果基本一致，相對誤差在6%以內(nèi)，如表3所示。

在考慮邊坡土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)間相關(guān)性時(shí)，表4為給出不同c和φ的相關(guān)系數(shù)ρcφ條件下分別采用無味變換法及蒙特卡洛（MCS）模擬得到的邊坡失效概率。由于邊坡主要的破壞模式（最危險(xiǎn)滑面）均出現(xiàn)在土層1，土層2參數(shù)對于邊坡穩(wěn)定性及可靠度結(jié)果幾乎沒有影響，計(jì)算中土層2中c和φ的相關(guān)系數(shù)與土層1保持一致。綜合表3和表4可知，在ρcφ由負(fù)到正的過程中，邊坡失效概率明顯增大，土體黏聚力c和摩擦角φ的相關(guān)性對坡體可靠性分析結(jié)果影響顯著，這與一般結(jié)論相吻合[11，20]。

此外，表4還給出了以MCS的失效概率為基準(zhǔn)值的當(dāng)量比值R，其結(jié)果介于1.05～1.12之間，且隨著c和φ的負(fù)相關(guān)性逐漸增強(qiáng)（ρcφ逐漸減?。?，R值逐漸增大，即無味變換法的相對誤差δ（δ=|R-1|×100%）不斷增大，而當(dāng)c和φ呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系時(shí)，R≤1.08，即相對誤差均在8%以內(nèi)。進(jìn)一步分析可知，造成上述誤差變化的主要原因在于失效概率量值的差異性，失效概率量值較大時(shí)，兩種方法結(jié)果的差異性越不顯著，反之，引起的相對誤差較大?？梢?，本例中，在較低失效概率（Pf<15%）時(shí)，可靠性分析結(jié)果對計(jì)算方法的選擇比較敏感。

2.2 分層邊坡算例

算例2為一個(gè)分層邊坡，計(jì)算剖面見圖3，邊坡土層參數(shù)見表5，不確定參數(shù)服從正態(tài)分布[21]。采用抗剪強(qiáng)度參數(shù)均值，應(yīng)用簡化的Bishop法得出相應(yīng)的坡體安全系數(shù)為1.509。

本例中，兩層土坡共涉及抗剪強(qiáng)度參數(shù)黏聚力c和摩擦角φ等4個(gè)變量，依據(jù)表6中相關(guān)系數(shù)及各變量的均值和方差獲取相應(yīng)的均值矩陣及協(xié)方差矩陣，進(jìn)而確定出9個(gè)σ點(diǎn)，得出基于無味變換的邊坡可靠度指標(biāo)β，見表6。

為分析兩種方法結(jié)果的差異性，表6中還給出了以文獻(xiàn)[21]中MCS得出的可靠度指標(biāo)為基準(zhǔn)值的當(dāng)量比值R，同時(shí)，圖4給出了無味變換與蒙特卡洛法[21]（MCS）計(jì)算結(jié)果的對比。分析發(fā)現(xiàn)，ρcφ越小，（負(fù)相關(guān)性越顯著）R值越大，β>3時(shí)，相對誤差整體超過了10%，但進(jìn)一步結(jié)合圖4和表5分析發(fā)現(xiàn)，本例中坡體安全系數(shù)達(dá)到1.509，整體可靠度指標(biāo)較大，特別是當(dāng)ρcφ越小時(shí)，β越大，相應(yīng)Pf更低，與算例1所述相同，說明較低失效概率易增加不同計(jì)算結(jié)果的差異性。

為進(jìn)一步驗(yàn)證上述結(jié)論，通過不同程度地降低坡體土層c和φ的均值，即減小坡體安全系數(shù)，增大相應(yīng)失效概率，得出了不同安全系數(shù)下無味變換法和MCS法的可靠度指標(biāo)，見表7和圖5。由表7和圖5可見，邊坡安全系數(shù)越小、可靠度越低時(shí)，相關(guān)系數(shù)的變化引起的誤差波動(dòng)越小，在β<1.5，即Pf>7%時(shí)，相對于MCS法，基于無味變化方法得出的誤差均在5%以內(nèi)，兩種方法的計(jì)算結(jié)果差異性較小。

可見，相對于穩(wěn)定性較好的邊坡，基于無味變換的邊坡可靠性分析方法能更好地應(yīng)用于較低可靠度β<1.5（較高失效概率，Pf >7%）的坡體分析中，而該類邊坡往往是工程中更為關(guān)注的對象，進(jìn)而體現(xiàn)了所提出的基于無味變換的邊坡可靠性分析方法的適用性。

3 計(jì)算效率分析

為了更好地說明基于無味變換的邊坡可靠性分析方法的計(jì)算效率，從花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間角度分別對算例1和算例2進(jìn)行了分析?；跓o味變換的邊坡可靠性分析的計(jì)算時(shí)間由3部分組成：利用Matlab計(jì)算得到σ點(diǎn)的用時(shí)，利用σ點(diǎn)開展二維極限平衡計(jì)算，得到安全系數(shù)和利用無味變換法進(jìn)行失效概率計(jì)算的用時(shí)。對于算例1和2，表8給出了以上各部分計(jì)算用時(shí)及總時(shí)間情況。

同樣，仍以蒙特卡洛法作為對比對象，由于該方法計(jì)算時(shí)間與計(jì)算精度均與抽樣次數(shù)有關(guān)，一般需要進(jìn)行20 000次以上的模擬才會收斂[22]，同時(shí)，抽樣次數(shù)越多，計(jì)算精度越高，但耗時(shí)更長。故分別選取20 000次（所需最少計(jì)算次數(shù)）和500 000次的蒙特卡洛模擬與無味變換方法進(jìn)行計(jì)算時(shí)間對比，兩種方法均考慮變量相互獨(dú)立的情況，且均在配置內(nèi)存為8 GB、處理器為Intel（R）Corei7、CPU主頻為2.00 GHz的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行，計(jì)算用時(shí)結(jié)果如表9所示。顯然，兩個(gè)算例中，相對于蒙特卡洛模擬，無味變換方法用時(shí)更少，效率更高，對于最少計(jì)算次數(shù)（20 000次抽樣）和較高精度（500 000次抽樣）的蒙特卡洛模擬，算例1（均質(zhì)邊坡）中，無味變換法用時(shí)分別減少了17.9%和58.95%，而對于非均質(zhì)邊坡（算例2），無味變換法用時(shí)分別減少了8.21%和55.46%。

4 結(jié)論

1）基于無味變換的邊坡可靠性分析方法應(yīng)用方便，不依賴于變量的分布類型，能夠顯著提高計(jì)算效率，對于有n個(gè)主控隨機(jī)變量的功能函數(shù)，只需2n+1次計(jì)算。

2）算例結(jié)果顯示，在低失效概率時(shí)（Pf ≤7%），基于無味變換方法的計(jì)算結(jié)果誤差達(dá)到5%以上，可靠性分析結(jié)果對計(jì)算方法的選擇較為敏感，直接采用基于無味變換的方法會引起對可靠性結(jié)果過高的估計(jì);但對于工程中關(guān)注更多的較高失效概率（Pf>7%）的邊坡，基于無味變換方法計(jì)算結(jié)果相對誤差在5%以內(nèi)，且相關(guān)系數(shù)的變化引起的誤差波動(dòng)較小，適用性好。

3）借助無味變換原理豐富了邊坡可靠性分析方法，但針對低失效概率條件下計(jì)算誤差較大的內(nèi)在機(jī)理以及如何實(shí)現(xiàn)較高計(jì)算精度的問題，還需從推求具有更佳逼近效果的σ點(diǎn)入手展開進(jìn)一步的探索，期待提出的基于無味變換的邊坡可靠性分析方法有更多的關(guān)注與發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1] 蘇永華， 趙明華， 蔣德松， 等. 響應(yīng)面方法在邊坡穩(wěn)定可靠度分析中的應(yīng)用[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)， 2006， 25（7）： 1417-1424.

SU Y H， ZHAO M H， JIANG D S， et al. Application of response surface method to reliability analysis of slope stability [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2006， 25（7）： 1417-1424. （in Chinese）

[2] 許曉亮， 李建林， 龔家偉， 等. Copula理論下基于g-line失效域的邊坡可靠性分析[J]. 巖土力學(xué)， 2017， 38（5）： 1445-1453， 1462.

XU X L， LI J L， GONG J W， et al. Copula-based slope reliability analysis using g-line failure domain [J]. Rock and Soil Mechanics， 2017， 38（5）： 1445-1453， 1462. （in Chinese）

[3] 李典慶， 周創(chuàng)兵. 考慮多失效模式相關(guān)的巖質(zhì)邊坡體系可靠度分析[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)， 2009， 28（3）： 541-551.

LI D Q， ZHOU C B. System reliability analysis of rock slope considering multiple correlated failure modes [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2009， 28（3）： 541-551. （in Chinese）

[4] 祝玉學(xué)， 沈大用. 可靠性指標(biāo)法在雙滑面破壞模式分析中的應(yīng)用[J]. 礦山技術(shù)， 1989（3）： 1-4.

ZHU Y X， SHEN D Y. Application of reliability index method in failure mode analysis of double sliding surface.[J]. China Mining Magazine， 1989（3）： 1-4. （in Chinese）

[5] LOW B K. Efficient probabilistic algorithm illustrated for a rock slope [J]. Rock Mechanics and Rock Engineering， 2008， 41（5）： 715-734.

[6] 鄭智洋， 蘇培東， 劉波，等. 基于雙折減系數(shù)法的多滑面邊坡穩(wěn)定性分析方法研究 [J]. 工程地質(zhì)學(xué)報(bào)， 2018， 26（Sup1）：99-106.

ZHENG Z Y， SU P D， LIU B， et.al Study on the stability analysis method of multi slide slope based on double reduction coefficient method [J]. Journal of Engineering Geology， 2018， 26（Sup1）：99-106. （in Chinese）

[7] 譚曉慧， 王建國， 劉新榮， 等. 邊坡穩(wěn)定的有限元可靠度計(jì)算及敏感性分析[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)， 2007， 26（1）： 115-122.

TAN X H， WANG J G， LIU X R， et al. Finite element reliability computation and sensitivity analysis of slope stability [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2007， 26（1）： 115-122. （in Chinese）

[8] JIMENEZ-RODRIGUEZ R， SITAR N. Rock wedge stability analysis using system reliability methods [J]. Rock Mechanics and Rock Engineering， 2007， 40（4）： 419-427.

[9] GRIFFITHS D V， HUANG J S， FENTON G A. Influence of spatial variability on slope reliability using 2-D random fields [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering， 2009， 135（10）： 1367-1378.

[10] CHING J， PHOON K K， HU Y G. Efficient evaluation of reliability for slopes with circular slip surfaces using importance sampling [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering， 2009， 135（6）： 768-777.

[11] 唐小松， 李典慶， 周創(chuàng)兵， 等. 基于Copula函數(shù)的抗剪強(qiáng)度參數(shù)間相關(guān)性模擬及邊坡可靠度分析[J]. 巖土工程學(xué)報(bào)， 2012， 34（12）： 2284-2291.

TANG X S， LI D Q， ZHOU C B， et al. Modeling dependence between shear strength parameters using Copulas and its effect on slope reliability [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2012， 34（12）： 2284-2291. （in Chinese）

[12] LOW B K. Reliability analysis of rock slopes involving correlated nonnormals [J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences， 2007， 44（6）： 922-935.

[13] 程水英. 無味變換與無味卡爾曼濾波[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用， 2008， 44（24）： 25-35.

CHENG S Y. Unscented transformation and unscented Kalman filtering [J]. Computer Engineering and Applications， 2008， 44（24）： 25-35. （in Chinese）

[14] 李勝全， 歐陽永忠， 常國賓， 等. 用無味變換法求解交會測量及其協(xié)方差傳播[J]. 海洋測繪， 2012， 32（4）： 38-40.

LI S Q， OUYANG Y Z， CHANG G B， et al. Solving intersection measurement problem and its covariance transformation using unscented transformation method [J]. Hydrographic Surveying and Charting， 2012， 32（4）： 38-40. （in Chinese）

[15] SAVIN A A， GUBA V G， MAXSON B D. Covariance based uncertainty analysis with unscented transformation [C]//82nd ARFTG Microwave Measurement Conference， November 18-21， 2013. Columbus， OH， USA. IEEE， 2013.

[16] JULIER S J. The scaled unscented transformation [C]//Proceedings of the 2002 American Control Conference （IEEE Cat. No.CH37301）， May 8-10， 2002. Anchorage， AK， USA. IEEE， 2002.

[17] CHOWDHURY R N， XU D W. Geotechnical system reliability of slopes [J]. Reliability Engineering & System Safety， 1995， 47（3）： 141-151.

[18] CHO S E. First-order reliability analysis of slope considering multiple failure modes [J]. Engineering Geology， 2013， 154： 98-105.

[19] ZHANG J， HUANG H W， JUANG C H， et al. Extension of Hassan and Wolff method for system reliability analysis of soil slopes [J]. Engineering Geology， 2013， 160： 81-88.

[20] TANG X S， LI D Q， CHEN Y F， et al. Improved knowledge-based clustered partitioning approach and its application to slope reliability analysis [J]. Computers and Geotechnics， 2012， 45： 34-43.

[21] WU X Z. Probabilistic slope stability analysis by a copula-based sampling method [J]. Computational Geosciences， 2013， 17（5）： 739-755.

[22] 吳振君， 王水林， 葛修潤. LHS方法在邊坡可靠度分析中的應(yīng)用[J]. 巖土力學(xué)， 2010， 31（4）： 1047-1054. WU Z J， WANG S L， GE X R. Application of Latin Hypercube Sampling technique to slope reliability analysis [J]. Rock and Soil Mechanics， 2010， 31（4）： 1047-1054. （in Chinese）

（編輯 胡玲）