例談不等式部分易錯(cuò)題型及解法探討

◎ 王艷青

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中很多時(shí)候會(huì)結(jié)合數(shù)列或?qū)?shù)以壓軸題的形式出現(xiàn)，并且其在填空題和選擇題中占有不少分值。下面筆者將以四類易錯(cuò)題型為例，對(duì)其解法進(jìn)行探討，力求為高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)提供有益的理論借鑒。

一、端點(diǎn)取舍類問題

利用命題的充分必要條件求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象。

實(shí)例分析1.若關(guān)于x的不等式|x-1|

此題常用數(shù)軸法求解，大部分學(xué)生會(huì)這樣做：由題意知0 3，由此選C。但本題的正確不等式組的寫法是，正確答案是D。產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：沒有注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，如果學(xué)生注意了端點(diǎn)值的取舍，就會(huì)舉一反三，從而獲得準(zhǔn)確答案。若把不等式“|x-1

二、基本不等式類問題

利用基本不等式求最值，使用前提是必須同時(shí)滿足“一正，二定，三相等”。

學(xué)生的第一反應(yīng)就是利用基本不等式解得最小值為2，判斷選正確，本題的正確答案是判斷為錯(cuò)誤。產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：忽略了使用基本不等式的前提是要滿足a>0,b>0。

實(shí)例分析3.若不等式x2+ax+1 ≥0 對(duì)一切成立，則a的最小值為( )。A.0，B.-2，C.。此題學(xué)生首先分離參數(shù)a，得到，然后令，利用基本不等式求函數(shù)，由此得出a≥2，得出錯(cuò)解B，本題正確的答案是C。產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：學(xué)生沒有考慮到使用基本不等式的前提為當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)，“＝”成立。而本題當(dāng)且僅當(dāng)“時(shí)，解得x=±1 不在的范圍之內(nèi)，所以“＝”不成立，本題不能利用基本不等式求解，可以使用其他方法，如利用二次函數(shù)圖像，通過數(shù)形結(jié)合對(duì)a進(jìn)行分類討論求解。

三、參數(shù)不等式類問題

參數(shù)不等式是解不等式中比較難的一種題型，解決參數(shù)不等式的關(guān)鍵是對(duì)不等式中的未知參數(shù)進(jìn)行具體分析，高中數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生形成分類討論的數(shù)學(xué)思維，要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)討論結(jié)果必須涵蓋所有的情況，做到不重不漏。

實(shí)例分析4.對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4 <0 恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。A.(-∞,2)，B.(-∞,2 ]，C.(-2,2)，D.(-2,2 ]。對(duì)任意的x，y<0 恒成立，所以函數(shù)的圖像開口向下，圖像都在x軸下方，這告訴我們圖像與x軸沒有交點(diǎn)，所以滿足，得到-2

實(shí)例分析5.解關(guān)于x的不等式ax2-2 ≥2x-ax(x∈R)。第一步，需要先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論。(1)當(dāng)a=0 時(shí)，原不等式化為x+1 ≤0，解得x≤-1。(2) 當(dāng)a>0 時(shí)，原不等式化為，解得或x≤-1。(3)當(dāng)a<0 時(shí)，原不等式化為。第二步，再比較(相應(yīng)方程)根的大小，當(dāng)，即a<-2 時(shí)，解得，即a=-2 時(shí)，解得x=-1 滿足題意；當(dāng)，即-2

四、高次不等式類問題

學(xué)生在求解高次不等式的解集時(shí)往往無從下手，主要原因是未掌握“穿針引線法”的函數(shù)升降規(guī)律。

實(shí)例分析6.求不等式(x+1)(x-2)(x-3)>0的解集。教師可以引導(dǎo)學(xué)生先求出不等式對(duì)應(yīng)方程的三個(gè)根x1=-1,x2=2,x3=3，利用三個(gè)根把區(qū)間分成四個(gè)部分，再利用穿針引線法，從“最右根”的右上方穿過根，往左下畫線，然后穿過“次右根”上去，一上一下依次穿過各根，教師注意引導(dǎo)學(xué)生在草稿紙上標(biāo)注好代表不等式大于零的區(qū)域以及小于零的區(qū)域，可以通過正負(fù)號(hào)表示出來。本題大于零的區(qū)域?yàn)?，小于零的區(qū)域?yàn)?，所以本題不等式的解集為。若兩個(gè)解都是同一個(gè)數(shù)字，如，那么穿的時(shí)候不要透過根1，口訣為“自上而下，從右至左，奇次根一穿而過，偶次根一穿不過”。

五、結(jié)束語

不等式雖然是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，但是只要我們肯對(duì)不等式易錯(cuò)題型進(jìn)行歸納與總結(jié)，并針對(duì)性地進(jìn)行解法探討，就能掌握不等式一般題型的解題方法，有效提高學(xué)生的解題正確性，建立較完善的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。高中數(shù)學(xué)教師要在教學(xué)過程中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，汲取教訓(xùn)，提高不等式易錯(cuò)題型及解題探究教學(xué)水平。