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    例談不等式部分易錯(cuò)題型及解法探討

    2021-04-07 19:35:47王艷青
    關(guān)鍵詞:利用學(xué)生

    ◎ 王艷青

    不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,在高考中很多時(shí)候會(huì)結(jié)合數(shù)列或?qū)?shù)以壓軸題的形式出現(xiàn),并且其在填空題和選擇題中占有不少分值。下面筆者將以四類易錯(cuò)題型為例,對(duì)其解法進(jìn)行探討,力求為高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)提供有益的理論借鑒。

    一、端點(diǎn)取舍類問(wèn)題

    利用命題的充分必要條件求解參數(shù)的取值范圍時(shí),不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍,處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象。

    實(shí)例分析1.若關(guān)于x的不等式|x-1|

    此題常用數(shù)軸法求解,大部分學(xué)生會(huì)這樣做:由題意知0 3,由此選C。但本題的正確不等式組的寫法是,正確答案是D。產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因:沒有注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn),如果學(xué)生注意了端點(diǎn)值的取舍,就會(huì)舉一反三,從而獲得準(zhǔn)確答案。若把不等式“|x-1

    二、基本不等式類問(wèn)題

    利用基本不等式求最值,使用前提是必須同時(shí)滿足“一正,二定,三相等”。

    學(xué)生的第一反應(yīng)就是利用基本不等式解得最小值為2,判斷選正確,本題的正確答案是判斷為錯(cuò)誤。產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因:忽略了使用基本不等式的前提是要滿足a>0,b>0。

    實(shí)例分析3.若不等式x2+ax+1 ≥0 對(duì)一切成立,則a的最小值為( )。A.0,B.-2,C.。此題學(xué)生首先分離參數(shù)a,得到,然后令,利用基本不等式求函數(shù),由此得出a≥2,得出錯(cuò)解B,本題正確的答案是C。產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因:學(xué)生沒有考慮到使用基本不等式的前提為當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí),“=”成立。而本題當(dāng)且僅當(dāng)“時(shí),解得x=±1 不在的范圍之內(nèi),所以“=”不成立,本題不能利用基本不等式求解,可以使用其他方法,如利用二次函數(shù)圖像,通過(guò)數(shù)形結(jié)合對(duì)a進(jìn)行分類討論求解。

    三、參數(shù)不等式類問(wèn)題

    參數(shù)不等式是解不等式中比較難的一種題型,解決參數(shù)不等式的關(guān)鍵是對(duì)不等式中的未知參數(shù)進(jìn)行具體分析,高中數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生形成分類討論的數(shù)學(xué)思維,要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)討論結(jié)果必須涵蓋所有的情況,做到不重不漏。

    實(shí)例分析4.對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4 <0 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。A.(-∞,2),B.(-∞,2 ],C.(-2,2),D.(-2,2 ]。對(duì)任意的x,y<0 恒成立,所以函數(shù)的圖像開口向下,圖像都在x軸下方,這告訴我們圖像與x軸沒有交點(diǎn),所以滿足,得到-2

    實(shí)例分析5.解關(guān)于x的不等式ax2-2 ≥2x-ax(x∈R)。第一步,需要先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論。(1)當(dāng)a=0 時(shí),原不等式化為x+1 ≤0,解得x≤-1。(2) 當(dāng)a>0 時(shí),原不等式化為,解得或x≤-1。(3)當(dāng)a<0 時(shí),原不等式化為。第二步,再比較(相應(yīng)方程)根的大小,當(dāng),即a<-2 時(shí),解得,即a=-2 時(shí),解得x=-1 滿足題意;當(dāng),即-2

    四、高次不等式類問(wèn)題

    學(xué)生在求解高次不等式的解集時(shí)往往無(wú)從下手,主要原因是未掌握“穿針引線法”的函數(shù)升降規(guī)律。

    實(shí)例分析6.求不等式(x+1)(x-2)(x-3)>0的解集。教師可以引導(dǎo)學(xué)生先求出不等式對(duì)應(yīng)方程的三個(gè)根x1=-1,x2=2,x3=3,利用三個(gè)根把區(qū)間分成四個(gè)部分,再利用穿針引線法,從“最右根”的右上方穿過(guò)根,往左下畫線,然后穿過(guò)“次右根”上去,一上一下依次穿過(guò)各根,教師注意引導(dǎo)學(xué)生在草稿紙上標(biāo)注好代表不等式大于零的區(qū)域以及小于零的區(qū)域,可以通過(guò)正負(fù)號(hào)表示出來(lái)。本題大于零的區(qū)域?yàn)?,小于零的區(qū)域?yàn)?,所以本題不等式的解集為。若兩個(gè)解都是同一個(gè)數(shù)字,如,那么穿的時(shí)候不要透過(guò)根1,口訣為“自上而下,從右至左,奇次根一穿而過(guò),偶次根一穿不過(guò)”。

    五、結(jié)束語(yǔ)

    不等式雖然是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn),但是只要我們肯對(duì)不等式易錯(cuò)題型進(jìn)行歸納與總結(jié),并針對(duì)性地進(jìn)行解法探討,就能掌握不等式一般題型的解題方法,有效提高學(xué)生的解題正確性,建立較完善的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。高中數(shù)學(xué)教師要在教學(xué)過(guò)程中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn),汲取教訓(xùn),提高不等式易錯(cuò)題型及解題探究教學(xué)水平。

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