基于差和共陣的新型高自由度互質(zhì)陣

陳禹蒲 馬曉川 李 璇

(中國科學院聲學研究所水下航行器信息技術(shù)重點實驗室 北京 100190)

(中國科學院大學 北京 100049)

1 引言

波達方向(Direction Of Arrival, DOA)估計作為陣列信號處理的一大熱點問題，在雷達、通信和聲吶等研究領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用[1–3]，而陣列自由度(Degree Of Freedom, DOF)限制了一個陣列DOA估計時所能分辨的最大信號個數(shù)。對于一個長度為 N的均勻線列陣(Uniform Linear Array,ULA)其自由度往往受限于陣元個數(shù)，因此能否獲得比陣元個數(shù)更多的自由度成為學者的研究焦點。人們發(fā)現(xiàn)，從共陣的角度對稀疏陣進行處理，可以獲得遠大于陣元個數(shù)的自由度[4–6]，并在共陣的基礎(chǔ)上給出了合理的處理方法[7]，后文稱為共陣MUSIC算法，使用該算法時，共陣中最長的ULA段直接決定了稀疏陣的最大自由度。最小冗余陣(Minimum Redundancy Array, MRA)作為稀疏陣的一大代表，在要求共陣全為ULA的條件下對陣列結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化[5]，具有最大的無孔洞共陣。最小孔洞陣(Minimum Hole Array, MHA)則把最小化孔洞數(shù)目當作優(yōu)化目標，同時要求共陣的權(quán)重系數(shù)為1[8]。MRA和MHA都能在 N 個陣元下獲得O (N2)的自由度，使得自由度較相同陣元數(shù)下的ULA有大幅度提高。然而，它們都沒有陣元位置的閉式解，且大陣元下的陣元位置求解復雜度高。因此嵌套陣(Nested Array, NA)應(yīng)運而生，它由兩個子陣形成嵌套結(jié)構(gòu)[9]，同樣能在 N 個陣元下獲得O (N2)的自由度，并且陣元位置清晰明了，易于計算。但嵌套陣有一個半波長間距的子陣，該子陣較密的陣元排布導致嵌套陣的互耦效應(yīng)較其他稀疏陣更強，會影響DOA的估計效果[10–12]。

互質(zhì)陣(Coprime Array, CA)既有閉式解，其互耦效應(yīng)也優(yōu)于嵌套陣，它由兩個陣元數(shù)分別為M和 N 的子陣構(gòu)成， M與 N互質(zhì)，子陣陣元間距分別為 Nd和M d ，可以獲得的自由度為O (MN)[13]，其中d 為半波長間距。借助互質(zhì)陣進行DOA估計的算法有很多，如共陣MUSIC類算法[7,14]和壓縮感知類算法[15,16]，但估計類算法都無法彌補互質(zhì)陣的共陣中存在孔洞的問題，相較NA，共陣中的連續(xù)線陣不夠長，使得它的自由度遜色于嵌套陣，因此學者在提高互質(zhì)陣共陣中的ULA段長度方面進行了大量研究。最為簡單的方法是將一個子陣的陣元個數(shù)改為 2M ，其余條件不變，使得共陣在? MN到MN內(nèi)均是連續(xù)的[7]，為了方便區(qū)分，將這種陣型稱為擴展互質(zhì)陣，同時將原始的互質(zhì)陣稱為原型互質(zhì)陣。在此之上，又出現(xiàn)了廣義互質(zhì)陣，廣義互質(zhì)陣包括兩種陣型結(jié)構(gòu)，一種是CACIS(Coprime Array with Compressed Inter-element Spacing)，一種是CADiS(Coprime Array with Displaced Subarrays)[17], CACIS壓縮了某一子陣的陣元間距，且壓縮因子越大，共陣ULA越長，前述的擴展互質(zhì)陣僅是CACIS的一個特例，CADiS則是將互質(zhì)陣的某一子陣移至距另一子陣一定距離的位置。放置多級級聯(lián)子陣的稀疏陣也嘗試構(gòu)建新的陣列結(jié)構(gòu)，它將多個相同的稀疏陣級聯(lián)在一起，并給出了各子陣間的放置距離，稀疏子陣的自由度越高，獲得的級聯(lián)陣自由度就越高[18]。精簡互質(zhì)陣(Thinned Coprime Array, TCA)討論了擴展互質(zhì)陣的共陣冗余，提出即使刪掉M/2」個陣元，擴展互質(zhì)陣的性質(zhì)依舊不會改變[19]，也就意味著同等陣元總數(shù)下，TCA的自由度會高于擴展互質(zhì)陣。還有一種借助矩陣填充理論，通過重構(gòu)Toeplitz協(xié)方差矩陣來使共陣ULA變長的方法[20]。

前面所提的方法都是基于差分共陣來提高互質(zhì)陣的自由度，那么和共陣對于原型互質(zhì)陣自由度的提高是否有幫助？針對這一問題已有文獻進行了解答，文中借助矢量化由時域與空域信息共同構(gòu)成的共軛增廣協(xié)方差矩陣(Vectorize Conjugate Augmented MUSIC, VCAM)，在虛擬域構(gòu)建了差分陣與和共陣共存的差和共陣[21]，和共陣不但能填補差分陣的部分孔洞，還能提供一段額外的ULA，致使原型互質(zhì)陣在差和共陣下?lián)碛羞h超于僅使用差分陣的自由度。但是仔細觀察原型互質(zhì)陣和共陣與差共陣的陣元位置，可以發(fā)現(xiàn)兩者的陣元除了互補關(guān)系外，還存在重疊關(guān)系，即有不少的和共陣陣元與差共陣陣元重疊，從而導致陣元冗余，無形中丟失了一部分的自由度。

為了最大限度上利用和共陣所提供的陣元，希望和共陣能夠在填補差共陣孔洞的同時產(chǎn)生與差共陣之間盡量少甚至沒有的陣元重疊。借此，本文提出了一種新的陣型，在廣義互質(zhì)陣CACIS的基礎(chǔ)上添加一個位于原點處的單陣元，并將CACIS整體放置在與該單陣元相隔一定距離的位置，文中將這種陣型命名為放置互質(zhì)陣(Displaced Coprime Array,DCA)。通過一定的放置距離，讓陣型的和共陣與差共陣相互錯開，使它們正好互補，又沒有多余的陣元重疊，最大限度上利用了和共陣帶來的自由度。之所以選用CACIS結(jié)構(gòu)，是因為它相較普通互質(zhì)陣連續(xù)陣元更加集中，在兩者錯開一定距離后，更便于和共陣與差共陣之間的性質(zhì)互補。文中給出了DCA的放置距離以及陣元位置的閉式表達，并對和共陣與差共陣的連續(xù)陣元和孔洞位置以及兩者之間的關(guān)系進行了理論推導。此外，還給出了DCA所能提供的最大自由度的理論表達式，并借助仿真實驗驗證了放置互質(zhì)陣的有效性。

2 放置互質(zhì)陣

以半波長為基本單位描述陣元位置，子陣1和子陣2的陣元位置S1和S2分別表示為

圖1 放置互質(zhì)陣

3 VCAM算法

4 放置互質(zhì)陣的差和共陣特性

4.1 差和共陣的定義

差和共陣包含差共陣與和共陣，它們的陣元位置分別由差集與和集給出，這兩個集合都是由陣列各陣元相互加減得來的，根據(jù)相加減的陣元所屬子陣不同，將差集與和集進一步分為互差集、自差集、互和集與自和集，具體定義如下所述， m和n 取值范圍均為0 ≤m ≤M ?1,0 ≤n ≤N ?1。

4.2 差和共陣的性質(zhì)

要想得知差和共陣的性質(zhì)，有必要先討論差集與和集的性質(zhì)，放置互質(zhì)陣的差集 Ld與廣義互質(zhì)陣CACIS的差集定義一樣，除了滿足文獻[17]中證明過的幾個性質(zhì)外，差集還滿足命題1中的性質(zhì)。

命題1 互差集 Lcd在范圍[MN ?(N ?1),MN ?N]內(nèi)的孔洞為

3個命題的證明略。圖2給出了( M,N)=(6,5)，壓縮因子p =2時 DCA的4個重要集合與共陣 D的結(jié)構(gòu)，黑點代表陣元，× 代表孔洞。從圖中可以看到，自和集能夠延長和集整體的連續(xù)段范圍，且互差集與互和集間存在互補關(guān)系，通過讓CACIS整體與原點陣元相隔 L，和集整體后移了 2L，在這里2L=18，這一放置操作既讓互差集與互和集的孔洞互補，也避免了兩者連續(xù)段的重疊而導致的自由度損失，能夠最大限度上利用和集帶來的自由度增益，最終得到的差和共陣D如圖2(e)所示。

4.3 自由度分析

根據(jù)命題3性質(zhì)(2)給出的范圍，由于2 ?N ≤0，因此當=1時，差和共陣D能得到最長的連續(xù)整數(shù)段為[ ?(2MN ?N +1),2MN ?N +1]，此時DCA能獲得最大自由度，取值為2 MN ?N +1。以往稀疏陣的算法中較多的都是借助矢量化數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣得到差分共陣來進行DOA處理，所以它們所提供的自由度不會超過物理孔徑[24]，但差和共陣的使用能夠突破這個限制，因此使用差和共陣的陣列所得到的自由度會遠大于僅僅使用差分共陣得到的自由度，下面對使用差和共陣的兩種陣型，DCA與原型互質(zhì)陣[21]進行自由度的比較，將后者記為CA(VCAM)。在相同陣元數(shù) P下，兩者子陣陣元數(shù)的最優(yōu)選擇以及所能獲得的最大自由度如表1所示，為使兩者都能獲得最大的自由度，默認DCA的=1, CA(VCAM)的M >2。

在滿足 M與N 互質(zhì)的條件下，借助算術(shù)平均幾何平均不等式(Arithmetic Mean-Geometric Mean(AM-GM) inequality)[25]，根據(jù)兩陣型DOF的表達式可以得到不同陣元總數(shù) P下的陣列最優(yōu)配置?；ベ|(zhì)陣的子陣陣元數(shù)至少為2個，要想DCA存在，則P ≥7 ，對表1中DCA和CA(VCAM)以 P為表達式的自由度進行比較，根據(jù) P的取值情況，通過簡單的作差計算不難得出結(jié)論：DCA的自由度不小于CA(VCAM)且當 P 為P ≥12 的偶數(shù)或 P 為P ≥9的奇 數(shù)時，DCA能獲得比CA(VCAM)更高的自由度。

5 仿真驗證

前文從理論分析證明中給出了DCA的諸多性質(zhì)，這一節(jié)將討論包括NA, CACIS, CADiS, CA(VCAM)和DCA在內(nèi)的幾種陣型的性能，為保證各陣型都能獲得最大的自由度，涉及壓縮子陣間距的陣型都令壓縮后的子陣間距為1，CADiS兩子陣間的距離為 LDiS=N +1，D C A 的放置距離為LDCA=(MN ?N +1)/2，子陣陣元數(shù)的選取均以最大化自由度為目標。

圖2 放置互質(zhì)陣(M,N,p)=(6,5,2)

表1 兩種陣型的最優(yōu)設(shè)計及最大自由度

5.1 自由度比較

以總陣元數(shù) P 為變量，給出了 P從7到99變化時，5種陣型的自由度變化曲線如圖3所示。隨陣元總數(shù)的增大，各陣型的自由度都越來越高，且放置互質(zhì)陣DCA相較其他幾種陣型自由度上升速度更快， P越大，DCA的自由度與其他陣型相隔越大，從圖中可以看出，使用差和共陣的兩種陣型CA(VCAM)和DCA的自由度始終大于其他幾種陣型，由于DCA較CA(VCAM)更加合理地利用了和共陣的陣元位置，避免了和共陣與差共陣的陣元冗余，其在所獲得的自由度上更占優(yōu)勢，同時DCA通過一定的放置距離擁有了近似于CACIS兩倍的自由度。上文給出的有關(guān)DCA自由度比較的結(jié)論在圖中也得到了驗證。

5.2 同陣元數(shù)下的蒙特卡羅實驗

下面通過蒙特卡羅實驗對幾種陣型在不同條件變化下DOA估計的均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)進行對比，假設(shè)蒙特卡羅試驗次數(shù)為 I 次，則 K個信號入射時，陣列DOA估計得到的RMSE定義為

圖3 各陣型自由度隨陣元總數(shù)的變化

5.3 同孔徑下的蒙特卡羅實驗

圖4 同陣元數(shù)下各陣型的RMSE變化曲線

在相同陣元數(shù)的條件下，各陣型由于陣元排布方式不同具有不同的陣列孔徑，下面觀察陣列孔徑相同時，各陣型DOA估計的均方根誤差，同樣進行500次獨立實驗，對5種陣型進行RMSE的比對，各陣型在同孔徑下的陣型配置如表2所示，孔徑以d為單位，其中DCA用最少的陣元個數(shù)獲得了最高的自由度。

假設(shè)有43個遠場信號從[ ?60o,60o]入射，其他條件不變，RMSE在–30 dB到20 dB內(nèi)隨信噪比的變化曲線如圖5(a)所示。固定信噪比為–20 dB,RMSE隨快拍數(shù)的變化曲線如圖5(b)所示。從圖5中不難看出同孔徑條件下，各陣型的估計誤差不會完全一致，這也許是因為共陣MUSIC算法是基于共陣ULA段進行處理的，使用差分共陣的CACIS,CADiS和NA，它們的最長共陣ULA段孔徑受限于物理孔徑，因此在同孔徑條件下的實驗中，三者的RMSE近似相等，而DCA在兩種變化情況下均展現(xiàn)出了其優(yōu)越的估計性能。由此可見，對于使用了差和共陣的陣型，物理孔徑對其估計性能的影響不起決定性作用。

6 結(jié)論

本文提出了一種名為放置互質(zhì)陣的新型互質(zhì)陣，并在差和共陣的基礎(chǔ)上進行DOA估計，陣型把CACIS與原點處單陣元分開放置一定距離，這樣能夠讓差共陣與和共陣的陣元位置恰好互補，避免差共陣與和共陣的陣元重疊，充分利用和共陣所提供的自由度，使得在相同的陣元數(shù)下，DCA所能獲得的最大自由度近似是CACIS最大自由度的2倍。為了更好地認知DCA的共陣構(gòu)成，文中分析討論了DCA差共陣與和共陣的連續(xù)陣元及孔洞位置，結(jié)合兩者關(guān)系給出了DCA所能獲得自由度的閉式表達，最后的理論分析和仿真實驗表明了DCA的高自由度特性及優(yōu)越的DOA估計特性。

表2 各陣型同孔徑下的陣型配置

附錄1 命題1的證明

附錄2 命題2的證明

(1) 設(shè)整數(shù)lcs∈Lcs, lcs滿足

圖5 同孔徑下各陣型的RMSE變化曲線