考慮輸入飽和的PMSM命令濾波離散控制

徐雨夢，于金飛，崔英英，于金鵬，劉加朋

(1.青島大學(xué) 自動化學(xué)院，青島 266071；2.淄博市技師學(xué)院，淄博 255025；3.山東勞動職業(yè)技術(shù)學(xué)院，濟(jì)南 250022)

0 引 言

近幾十年，永磁同步電機(jī)(以下簡稱PMSM)憑借使用壽命長、操作簡單以及造價(jià)低等優(yōu)點(diǎn)，在電機(jī)拖動系統(tǒng)中得到較大的關(guān)注。但是，PMSM具有強(qiáng)耦合、多變量以及高度非線性等特點(diǎn)，并且具有外部負(fù)載擾動、參數(shù)不確定的設(shè)計(jì)難題。為克服以上缺點(diǎn)，許多學(xué)者提出了不同的控制方法，如反步控制[1]、滑?？刂芠2]和自適應(yīng)控制[3-4]等。

反步法在解決非線性問題中具有重大突破，并在PMSM中應(yīng)用廣泛。文獻(xiàn)[5]在設(shè)計(jì)控制器的過程中需要計(jì)算虛擬控制函數(shù)的差分，隨著系統(tǒng)階數(shù)的增加，“計(jì)算復(fù)雜性”問題產(chǎn)生。通過進(jìn)一步改進(jìn)，文獻(xiàn)[6]采用動態(tài)面技術(shù)解決了文獻(xiàn)[5]中產(chǎn)生的“計(jì)算復(fù)雜性”問題，但是在使用一階濾波器的過程中會產(chǎn)生濾波誤差，降低了PMSM的控制性能。文獻(xiàn)[7-8]將命令濾波技術(shù)與反步法結(jié)合，不僅避免反步法中的“計(jì)算復(fù)雜性”問題，而且還消除了濾波誤差，提高了控制器的控制精度。

然而，上述控制方法沒有充分考慮輸入飽和非線性帶來的不利影響。在控制系統(tǒng)中不可避免地存在飽和非線性項(xiàng)，這將增加算法的計(jì)算量，系統(tǒng)的穩(wěn)定性也會降低。輸入飽和非線性對PMSM的影響，學(xué)者們采用輸入飽和技術(shù)解決。文獻(xiàn)[9]將輸入飽和以及命令濾波技術(shù)結(jié)合，來解決輸入飽和問題。然而，文獻(xiàn)[9]是基于連續(xù)時(shí)間電機(jī)控制器設(shè)計(jì)的，與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相比，離散系統(tǒng)在可實(shí)現(xiàn)性和穩(wěn)定性方面具有優(yōu)越性，且在數(shù)字計(jì)算機(jī)中應(yīng)用廣泛，更易于描述實(shí)際問題。因此，本文提出了輸入飽和的PMSM命令濾波離散控制。與傳統(tǒng)的控制方法相比，本文設(shè)計(jì)控制器的優(yōu)點(diǎn)有：

(1) 將輸入飽和技術(shù)應(yīng)用于離散系統(tǒng)，并采用分段光滑函數(shù)來逼近輸入飽和問題，避免對電機(jī)造成危害，更適用于實(shí)際控制中。

(2) 采用命令濾波技術(shù)克服了傳統(tǒng)反步法中出現(xiàn)的“計(jì)算復(fù)雜性”問題，運(yùn)用補(bǔ)償信號能夠解決濾波誤差問題，降低了控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜度，提高了控制精度。

(3) 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)用來逼近系統(tǒng)中的飽和非線性函數(shù)，降低輸入飽和對系統(tǒng)造成的不良影響。

從仿真結(jié)果可以看出，設(shè)計(jì)的控制器在考慮飽和非線性的影響下仍具有良好的位置跟蹤性能，提高了PMSM運(yùn)行的穩(wěn)定性。

1 PMSM離散模型

在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d,q軸下，描述PMSM的離散模型[10]：

Θ(k+1)=ΔTω(k)+Θ(k)

式中：Θ為轉(zhuǎn)子角度；ω為轉(zhuǎn)子角速度；J為轉(zhuǎn)動慣量；ids,iqs為d軸和q軸的電流；uds,uqs為d軸和q軸的電壓；B為摩擦系數(shù)；p為磁極對數(shù)；Rs為定子等效電阻；ld,lq為定子側(cè)的等效電感；Φ為永磁體的磁鏈；ΔT為采樣周期；Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

利用新定義的符號，PMSM離散模型如下：

(1)

uqs(k)為PMSM的電壓輸入信號，uqs(k)描述：

式中：uqsmax>0和uqsmin<0是未知的常數(shù)；vq(k)是飽和非線性的輸入信號。

通過使用分段的平滑函數(shù)來近似飽和函數(shù)，定義函數(shù)如下：

將uqs(k)改寫成：

uqs(k)=sat[vq(k)]=g[vq(k)]+Y[vq(k)]

式中:Y[vq(k)]=sat[vq(k)]-g[vq(k)]是有界函數(shù)，其邊界：

|Y[vq(k)]|=|sat[vq(k)]-g[vq(k)]|≤max{uqsmax[1-tan(1)],uqsmin[tan(1)-1]}=D

式中：D是一個(gè)常數(shù)。

根據(jù)中值定理可知，存在0<λ<1，使得:

g[vq(k)]=g[vq(0)]+gvλ(k)[vq(k)-vq(0)]

其中，gvλ(k)={g[vq(k+1)]-g[vq(k)]}|vq(k)=vλ(k)，vλ(k)=λvq(k)+(1-λ)vq(0)，vq(0)=0，可以得到：g[vq(k)]=gvλ(k)vq(k)，從而,uqs(k)=gvλ(k)vq(k)+Y[vq(k)]。

同理可得：uds(k)=gvλ(k)vd(k)+Y[vd(k)]。

引理1[12]：

定義命令濾波如下：

Zl,1(k+1)=WnZl,2ΔT+Zl,1(k)

Zl,2(k+1)=[-2ξWnZ2(k)-Wn[Zl,1(k)]-

αl(k)]ΔT+Zl,2(k)

如果輸入信號|αl(k+1)-αl(k)|≤ρ1和|αl(k+2)-2αl(k+1)+αl(k)|≤ρ2，對于所有的k≥1均成立，其中ρ1和ρ2是正的常數(shù)，并且Zl,1(0)=αl(0)，Zl,2(0)=0，對于任意ε>0，存在ξ∈(0,1]和Wn>0，例如|Zl,1(k)αl(k)|≤ε是有界的。

本文設(shè)計(jì)控制器的目的是，考慮系統(tǒng)的輸入飽和影響后，設(shè)計(jì)的控制器仍保證位置跟蹤性能，使控制器的輸入信號x1穩(wěn)定跟蹤給定信號x1d。

2 命令濾波控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)反步法原理，定義系統(tǒng)誤差和補(bǔ)償信號：

式中：x1d(k)為給定的期望信號；命令濾波器的輸入和輸出信號分別為αr，αrd，r=1,2；ξj為補(bǔ)償信號，j=1,2,3,4。

1) 將離散模型式(1)的第1個(gè)方程寫成：

v1(k+1)=e1(k+1)-ξ1(k+1)=x1(k)+

ΔTx2(k)-x1d(k+1)-ξ1(k+1)

(2)

構(gòu)造虛擬控制函數(shù)α1(k)和補(bǔ)償信號ξ1(k)：

(3)

ξ1(k+1)=ΔT[ξ2(k)+α1d(k)-α1(k)+t1ξ1(k)]

(4)

式中：|t1|≤1。由式(3)和式(4)可得：

(5)

2) 將離散模型式(1)的第2個(gè)方程寫成：

v2(k+1)=e2(k+1)-ξ2(k+1)=

(1+ΔTa2)x2(k)+a1ΔTx3(k)+

a3ΔTx3(k)x4(k)+a4ΔTTl-

α1d(k+1)-ξ2(k+1)

a3ΔTx3(k)x4(k)+a4ΔTTl-

α1d(k+1)-ξ2(k+1)]2-

(6)

構(gòu)造虛擬控制函數(shù)α2(k)和補(bǔ)償信號ξ2(k)：

(7)

ξ2(k+1)=a1ΔT[ξ3(k)+α2d(k)-α2(k)+t2ξ2(k)]

(8)

式中：|t2|≤1。由式(7)和式(8)可得：

a3ΔTx3(k)x4(k)+a4ΔTTl}2-

在實(shí)際PMSM系統(tǒng)中，由于所帶負(fù)載都是有限的，故假設(shè)|Tl|≤d，d為正常數(shù)。

根據(jù)楊氏不等式可得：

(9)

3) 將離散模型式(1)的第3個(gè)方程寫成：

v3(k+1)=e3(k+1)-ξ3(k+1)=

(1+b1ΔT)x3(k)+b2ΔTx2(k)+

b3ΔTx2(k)x4(k)+b4ΔTuqs(k)-

α2d(k+1)-ξ3(k+1)

(10)

f3(k)=(1+b1ΔT)x3(k)+b2ΔTx2(k)-

α2d(k+1)+b3ΔTx2(k)x4(k)-ξ3(k+1)

(11)

式中：f3(k)為一未知的非線性函數(shù)，z3(k)=[x1(k),x2(k),x3(k),x4(k)]T，τ3表示逼近誤差，并滿足不等式|τ3|≤ε3，‖W3‖是向量W3的范數(shù)。

(12)

‖S3[z3(k)]‖e3(k+1)

(13)

(14)

4) 將離散模型式(1)的第4個(gè)方程寫成：

v4(k+1)=x4(k+1)-ξ4(k+1)=(1+c1ΔT)x4(k)+c2ΔTx2(k)x3(k)+c3ΔTuds(k)-ξ4(k+1)

(15)

f4(k)=(1+c1ΔT)x4(k)+c2ΔTx2(k)x3(k)

(16)

式中：f4(k)為一未知的非線性函數(shù)，z4(k)=[x1(k),x2(k),x3(k),x4(k)]T，τ4表示逼近誤差，并滿足不等式|τ4|≤ε4，‖W4‖是向量W4的范數(shù)。

(17)

γ4‖S4[z4(k)]‖e4(k+1)

(18)

(19)

將式(5)、式(9)和式(14)代入式(19)可得：

(20)

3 穩(wěn)定性分析

(21)

ei(k+1)-2γi‖Si[zi(k)]‖·

由楊氏不等式和‖Si[zi(k)]‖2≤li可得：

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

式中：

4 仿真結(jié)果分析

為了證實(shí)本文方法的可行性，把命令濾波和動態(tài)面方法進(jìn)行對比，并且考慮輸入飽和的影響，在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行仿真。

表1 PMSM模型參數(shù)

表2 控制器參數(shù)

仿真結(jié)果如圖1～圖4所示。圖1、圖2為命令濾波和動態(tài)面的位置跟蹤波形以及位置跟蹤誤差曲線。可以看出，命令濾波控制的跟蹤誤差比動態(tài)面的誤差小，跟蹤效果更好。文獻(xiàn)[5]在反步法中會產(chǎn)生“計(jì)算復(fù)雜性”問題，而命令濾波控制相比于動態(tài)面控制不僅解決了“計(jì)算復(fù)雜性”問題，而且引進(jìn)補(bǔ)償信號消除了濾波誤差，使控制器的算法設(shè)計(jì)更加簡單，位置跟蹤效果更好。圖3表示命令濾波和動態(tài)面q軸電壓軌跡曲線。可以看出，兩種方法都能夠解決輸入飽和的影響。uqs是PMSM的電壓輸入信號，vq是飽和非線性輸入信號，電壓突變損壞電機(jī)正常運(yùn)行，因此利用輸入飽和技術(shù)將飽和非線性輸入信號限制在合理范圍。圖4表示命令濾波和動態(tài)面d軸電壓軌跡曲線。與文獻(xiàn)[6]的動態(tài)面方法相比，本文的命令濾波控制的位置跟蹤效果更好，跟蹤誤差更小。

(a) 命令濾波

(b) 動態(tài)面

(a) 命令濾波

(b) 動態(tài)面

(a) 命令濾波

(b) 動態(tài)面

(a) 命令濾波

(b) 動態(tài)面

5 結(jié) 語

本文研究了PMSM命令濾波離散控制方法，設(shè)計(jì)的控制器考慮了輸入飽和的影響。應(yīng)用命令濾波技術(shù)，解決了傳統(tǒng)反步法中存在的“計(jì)算復(fù)雜性”問題，引入補(bǔ)償信號，消除了濾波誤差；運(yùn)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)逼近系統(tǒng)中的飽和非線性函數(shù)。最后，利用Lyapunov穩(wěn)定性證明了閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。仿真結(jié)果驗(yàn)證，本文的控制方法在輸入飽和的影響下有較好的位置跟蹤性能。