基于Fisher最優(yōu)分割法的龍灘水庫(kù)汛期分期研究

李東琴，黃 亞，易 靈，侯貴兵，李媛媛

(1.保定市水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，河北 保定 071000;2.中水珠江規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)有限公司，廣東 廣州 510610)

截至2018年，中國(guó)已建成各類水庫(kù)9.8萬(wàn)座，水庫(kù)作為重要供水水源，其運(yùn)行調(diào)度在緩解中國(guó)水資源供需矛盾中起著重要作用[1-2]。為使水庫(kù)以超汛限水位運(yùn)行，實(shí)現(xiàn)洪水資源的安全利用，大量學(xué)者基于流域暴雨和洪水變化規(guī)律進(jìn)行流域汛期分期和分期設(shè)計(jì)洪水的研究[3-4]。在確保水庫(kù)大壩及下游防洪安全的前提下，如何科學(xué)合理地制定汛期分期，實(shí)現(xiàn)洪水資源安全、有效利用已成為當(dāng)下發(fā)揮水庫(kù)興利效益，緩解防洪興利矛盾成為近些年研究熱點(diǎn)[5]。目前，汛期分期主要研究方法有定性分析法、統(tǒng)計(jì)分析法及聚類分析法三大類。其中定性分析法依靠豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)與主觀判斷，一般僅定性分析使用，統(tǒng)計(jì)分析法原理簡(jiǎn)單，但是存在主觀強(qiáng)、精度低等不足之處，聚類分析法具有較強(qiáng)的物理數(shù)學(xué)背景，理論依據(jù)較充分，計(jì)算量大，分期成果的精度較高。聚類分析法種類較多，如模糊集合分析法[6]、分形法、系統(tǒng)聚類法[7]、變點(diǎn)分析法[8]、灰色定權(quán)聚類法[9]及投影尋蹤法[10]、Fisher最優(yōu)分割法等。但以上方法均存在各自的缺陷。模糊集合法和分形法僅考慮單因子指標(biāo);變點(diǎn)分析法和系統(tǒng)聚類法雖可考慮多指標(biāo)，但在變點(diǎn)數(shù)和指標(biāo)閾值確定方面具有較強(qiáng)的主觀性；投影尋蹤法在構(gòu)造指標(biāo)函數(shù)時(shí)存在的差異會(huì)對(duì)分期計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大影響；Fisher最優(yōu)分割法考慮多因子影響，計(jì)算繁瑣。鑒于此，F(xiàn)isher 最優(yōu)分割法在不改變汛期時(shí)序性的基礎(chǔ)上，既能綜合考慮汛期的多因子指標(biāo)，又能確定最優(yōu)的汛期分期數(shù)目，具有較強(qiáng)的綜合性能。目前Fisher最優(yōu)分割法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、氣象和地質(zhì)災(zāi)害預(yù)報(bào)等領(lǐng)域[11-13]。本研究以龍灘水庫(kù)1960—2015年降雨和徑流的逐日資料為基礎(chǔ)，采用Fisher最優(yōu)分割法對(duì)龍灘水庫(kù)汛期分期開展研究，研究結(jié)果可為水庫(kù)分期汛限水位或動(dòng)態(tài)汛限水位的調(diào)整提供依據(jù)。

1 Fisher最優(yōu)分割法

1.1 具體分割步驟

a)數(shù)據(jù)歸一化。由于不同類型的數(shù)據(jù)存在數(shù)據(jù)量級(jí)上的差異，為避免其對(duì)分期結(jié)果的影響，需要先將分割的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理：

(1)

(2)

同時(shí)，根據(jù)各項(xiàng)指標(biāo)對(duì)樣本分類的重要程度賦予指標(biāo)權(quán)重，加權(quán)計(jì)算后得到特征向量Y，以Y作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)進(jìn)行汛期分期，Y計(jì)算公式如下：

(3)

b)定義分段直徑。分段直徑是反映分段內(nèi)部差異程度的指標(biāo)，差異越大，則直徑越大；反之亦然。設(shè)樣本分段后的某一分段為Q={yi,yi+1,…,yj}(j>i)，則有：

(4)

(5)

c)定義分類目標(biāo)函數(shù)。將n個(gè)有序樣本分為k類，則定義分類目標(biāo)函數(shù)為：

(6)

d)求解最優(yōu)分割。根據(jù)文獻(xiàn)[12]，有序樣本的最優(yōu)分割總是建立在截?cái)嗄┪沧佣蔚淖顑?yōu)k-1分割的基礎(chǔ)上，且存在以下核心遞推公式：

(7)

(8)

當(dāng)分為k類時(shí)，找jk使遞推公式(8)達(dá)到最小，從而求出k類。然后再推求ik-1分割點(diǎn)，以此類推所有分割點(diǎn)求出最優(yōu)分期數(shù)。

e)確定最優(yōu)分割數(shù)目k。通常取e[P(n，k)]-k曲線拐點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的k值即最優(yōu)分類數(shù)，或者計(jì)算：

r(k)=|e[P(n,2)]-e[P(n,k-1)]|

(9)

然后與k繪制r(k)-k曲線，最大對(duì)應(yīng)的k也是最優(yōu)分類數(shù)。

2 實(shí)例分析

2.1 基本資料及指標(biāo)選取

龍灘水庫(kù)是紅水河梯級(jí)開發(fā)的龍頭水庫(kù)，位于珠江干流紅水河上游廣西天峨縣境內(nèi)。水庫(kù)集水區(qū)面積約98 500 km2，壩址下游14 km處天峨水文站集水面積為105 830 km2，占紅水河流域面積的71.2%。庫(kù)區(qū)汛期為每年4—10月，根據(jù)多年降水統(tǒng)計(jì)結(jié)果，汛期降水占全年降水總量的89%，徑流占全年的84%。本研究基于龍灘水庫(kù)1960—2015年共56年的逐日降水和徑流系列，以旬為單位將汛期劃分為21份。共選取了6個(gè)能夠反映流域暴雨洪水變化特征指標(biāo)：旬平均降雨量(P)、旬平均最大1日降雨量(P1)、旬平均最大3日降雨量(P3)、旬平均最大7日降雨量(P7)、旬內(nèi)暴雨日數(shù)(N)、旬多年平均入庫(kù)流量(Q)。

2.2 汛期分期計(jì)算步驟

步驟1：歸一化數(shù)據(jù)。根據(jù)式(1)、(2)將選取的6個(gè)指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，歸一化后的數(shù)據(jù)見表1。

步驟2：計(jì)算特征向量Y。在使用Fisher最優(yōu)分割法過(guò)程中，指標(biāo)的合理選取及權(quán)重系數(shù)的確定是研究的關(guān)鍵[11]。本研究選取專家咨詢權(quán)數(shù)法[14]、獨(dú)立性權(quán)數(shù)法[15]、因子分析權(quán)數(shù)法[16]、信息量權(quán)數(shù)法[16]共4種權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法進(jìn)行特征向量計(jì)算。根據(jù)式(3)對(duì)表1中歸一化后的指標(biāo)特征值進(jìn)行加權(quán)計(jì)算，表2為基于4種權(quán)重系數(shù)計(jì)算得到特征向量Y。

表1 汛期分期劃分指標(biāo)及歸一化數(shù)據(jù)

表2 基于不同權(quán)重系數(shù)的特征向量值

步驟3：計(jì)算分段直徑。根據(jù)式(4)、(5)計(jì)算特征向量Y的每一分段的直徑D(i,j)，其中i=1,2,…,20；j=i+1,…,21。

步驟4：計(jì)算分類目標(biāo)函數(shù)。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)性質(zhì)和式(7)、(8)可以計(jì)算出每一種分割情況下的目標(biāo)函數(shù)值e[P(n,k)]。

步驟5：計(jì)算最優(yōu)分割數(shù)。按照?qǐng)D1尋找最優(yōu)k分割，并由式(9)確定r(k)值。

2.3 最優(yōu)分割數(shù)確定及對(duì)比分析

圖1所示，最小目標(biāo)函數(shù)e[P(n,k)]隨k值單調(diào)遞減，曲線在k值為3、4、5處拐點(diǎn)最大，當(dāng)k值超過(guò)5以后，k值再增加目標(biāo)函數(shù)已變化不大，說(shuō)明將汛期分為3、4、5期最好。由公式β(k)=e[P(n,k-1)]/e[P(n,k)]，計(jì)算比值β(5)=2.99>β(3)=1.92>β(4)=1.52，因此5期為最優(yōu)分割數(shù)，其次為3期。

圖1 e[P(n,k)]-k關(guān)系曲線

表3比較了當(dāng)k=3時(shí)龍灘水庫(kù)汛期分期結(jié)果與其他學(xué)者成果。由表可知，當(dāng)k=3時(shí)，F(xiàn)isher最優(yōu)分割法將汛期4—10月被分成3期，前汛期為4月上旬至5月中下旬，主汛期為5月中下旬至8月中下旬，后汛期為8月中下旬至10月下旬，基于不同權(quán)重系數(shù)的分期結(jié)果略相差1旬。而前人的研究結(jié)果中，前汛期主要為4月上旬至6月上旬，主汛期為6月上旬至8月下旬，后汛期為9月上旬至10月下旬。基于Fisher最優(yōu)分割法的后汛期與前人結(jié)果基本一致，主汛期開始時(shí)間略有提前。

表3 Fisher分期成果與已有研究成果匯總

表4為k=5時(shí)，基于不同權(quán)重系數(shù)的Fisher最優(yōu)分割法的龍灘水庫(kù)汛期分期結(jié)果?；谧顑?yōu)分期結(jié)果可將汛期分為汛前過(guò)渡期(4月上旬至下旬)、前汛期(5月上旬至中旬)、主汛期(5月中旬至7月中旬)、后汛期(7月下旬至9月上旬)、汛后過(guò)渡期(9月中旬至10月下旬)。Fisher最優(yōu)分割法基于4種不同權(quán)重系數(shù)的分期計(jì)算結(jié)果基本一致，在后汛期和汛后過(guò)渡期劃分略有差異?；贔isher最優(yōu)分割法的汛期分期結(jié)果能較好地反映龍灘水庫(kù)流域在汛期的暴雨洪水變化特征，且保持了汛期樣本的時(shí)序性，在分期過(guò)程中綜合考慮了汛期降水、徑流的多種特征指標(biāo)，同時(shí)還能根據(jù)數(shù)據(jù)時(shí)間尺度確定汛期最優(yōu)分期數(shù)。

表4 基于最優(yōu)分割數(shù)的汛期分期成果

3 結(jié)語(yǔ)

本研究選取反映龍灘水庫(kù)流域暴雨洪水季節(jié)性變化規(guī)律的6項(xiàng)指標(biāo)作為Fisher汛期分期計(jì)算樣本。從主觀、客觀角度出發(fā)，采用4種不同的權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法進(jìn)行樣本特征向量的計(jì)算。結(jié)果表明，汛期最優(yōu)分期數(shù)為5期：汛前過(guò)渡期(4月上旬至下旬)、前汛期(5月上旬至中旬)、主汛期(5月中旬至7月中旬)、后汛期(7月下旬至9月上旬)和汛后過(guò)渡期(9月中旬至10月下旬)。在龍灘水庫(kù)水情預(yù)報(bào)系統(tǒng)的預(yù)報(bào)成果基礎(chǔ)上，在汛期不同分期實(shí)施不同的汛限水位，尤其對(duì)后汛期和汛后過(guò)渡期汛限水位的動(dòng)態(tài)控制，可提高在汛末期的龍灘水庫(kù)蓄滿率。

Fisher最優(yōu)分割法對(duì)龍灘水庫(kù)汛期的分期結(jié)果能夠較好地反映流域汛期的暴雨洪水變化特點(diǎn)。在以旬為計(jì)算單位的情況下，各權(quán)重系數(shù)對(duì)分期結(jié)果影響不大，究其原因可能是以旬為劃分單位對(duì)于指標(biāo)權(quán)重系數(shù)變化不敏感。未來(lái)可選取更多反映汛期暴雨洪水的特征指標(biāo)，根據(jù)各指標(biāo)對(duì)汛期分期的影響程度賦予不同的權(quán)重，以取得更為合理可靠的汛期分期結(jié)果。同時(shí)，也可將劃分的時(shí)間尺度進(jìn)一步縮小到日尺度，利用Fisher最優(yōu)分割法獲取更精準(zhǔn)的分期時(shí)間，在實(shí)際工作中還需要結(jié)合實(shí)際的工程情況進(jìn)行分析驗(yàn)證。