基于無跡卡爾曼濾波的電池SOC估算與仿真?

（青島大學(xué)電氣工程學(xué)院 青島 266071）

1 引言

電動(dòng)汽車行業(yè)的蓬勃發(fā)展，帶動(dòng)了車載鋰電池的電池管理系統(tǒng)（Battery Management System，BMS）的研究深化，作為電池管理系統(tǒng)中的重要一環(huán)，電池剩余電量（State Of Charge，SOC）的精確級(jí)數(shù)制約著對(duì)電池能源的利用效率［1］，而如何提高估算精度，一直是電池領(lǐng)域科研事業(yè)的重中之重。目前國內(nèi)通用的SOC估算方法［2］有基于電池自身特性的安時(shí)積分法，開路電壓法，內(nèi)阻法等；也有通過算法優(yōu)化基礎(chǔ)方法的卡爾曼濾波算法，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法［3］，粒子濾波算法等。其中鮑慧論文在原有安時(shí)積分法基礎(chǔ)上進(jìn)行四個(gè)系數(shù)的修正［4］，使SOC估算精度提高到5%以內(nèi)，但其固有的系統(tǒng)累積誤差沒辦法消除；林春景的基于電池內(nèi)阻隨溫度變化進(jìn)而求得電池狀態(tài)［5］，對(duì)電池內(nèi)阻特性進(jìn)行了深入研究，不過內(nèi)阻在電池滿電時(shí)其變化特性和電池狀態(tài)函數(shù)關(guān)系不明顯，故該算法有一定局限性；商云龍所研究的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和擴(kuò)展卡爾曼濾波結(jié)合［6］，使電池估算精度極大地提高，可筆者認(rèn)為該算法過于復(fù)雜，對(duì)器件要求精度過高，不適合應(yīng)用在普通電池的BMS中。

本文基于二階Thevenin模型下的無跡卡爾曼（Unscented Kalman Filter，UKF）算法，通過對(duì)得到的電池?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行UT變換，得到相同概率密度下的SOC估算值，從而提高SOC估算精度。

2 鋰電池模型

2.1 鋰電池模型原理

本文在傳統(tǒng)的Thevenin模型的基礎(chǔ)上搭建二階Thevenin模型，如圖1。相較于一階模型，二階模型綜合考慮了電池的電化學(xué)極化和濃差極化現(xiàn)象，能更精確地反映化學(xué)反應(yīng)程度，實(shí)時(shí)模擬電池狀態(tài)，進(jìn)而提高SOC的估算精度［7］。

圖1 二階Thevenin模型

該模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

通過對(duì)電池研究發(fā)現(xiàn)，電池模型中各個(gè)路原件隨著電池剩余電荷量的變化不斷波動(dòng)，為更好反映電池本身情況，分別對(duì)電池模型中電路原件和SOC進(jìn)行擬合確定函數(shù)關(guān)系。對(duì)電池進(jìn)行HPPC脈沖放電實(shí)驗(yàn)，分別截取不同電池初值放電后的靜置曲線［8］。在CFtool工具中，結(jié)合基爾霍夫定律和二階電路全響應(yīng)分析得到該模型的擬合方程。

圖2 HPPC脈沖放電實(shí)驗(yàn)電流電壓變化曲線

以圖2為例對(duì)180s～300s電壓曲線以式（3）進(jìn)行擬合得到該SOC下的各個(gè)參數(shù)，分別擬合不同SOC初值下的極化現(xiàn)象曲線并進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。其中已知電池的脈沖電流，電池的開路電壓a為穩(wěn)定后的電壓值，電池濃差極化現(xiàn)象的時(shí)間常數(shù)c取值固定，而由于電化學(xué)極化現(xiàn)象不明顯，其時(shí)間常數(shù)的取值總是波動(dòng)，為提高擬合曲線的精度，對(duì)各SOC值下時(shí)間常數(shù)e的取值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理將其固定。則各SOC初值情況系的電路元件系數(shù)可求。截取部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1。

表1 截取部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

在Cftool工具中分別將R0、R1、C1、R2、C2…與SOC擬合，并將擬合函數(shù)用于搭建仿真模型。同時(shí)根據(jù)記錄下來的電壓值可得到電池的SOC-OCV曲線，如圖3。對(duì)其關(guān)系進(jìn)行五階函數(shù)擬合得到關(guān)系式：

圖3 SOC-OCV曲線

2.2 二階仿真模型

根據(jù)已有電池原件及其函數(shù)關(guān)系在Matlab/Simulink搭建電池模型，如圖4。

采用國標(biāo)QCT 897-2011中的工況電流三來測(cè)試該模型的穩(wěn)定性，其真實(shí)電壓和模擬電壓對(duì)比如圖5，其誤差控制在1.5%以內(nèi)，分析電池模型可知該誤差主要由工況電流反向充電引起，因本仿真只考慮電池放電故其存在的仿真誤差在接下來放電實(shí)驗(yàn)可避免。

圖4 二階仿真模型

圖5 工況電流三實(shí)驗(yàn)電壓對(duì)比

3 卡爾曼那濾波

3.1 卡爾曼濾波原理

卡爾曼濾波器實(shí)際上可以看做是狀態(tài)變量在由觀測(cè)矩陣生成的線性空間上的映射，進(jìn)而通過觀測(cè)矩陣來修正估計(jì)的狀態(tài)方程。由于電池狀態(tài)的變化是非線性的，所以應(yīng)生出擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，將非線性的電池系統(tǒng)離散化，使之適用于線性的卡爾曼濾波器［9～11］。其中卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和測(cè)量方程分別為

狀態(tài)方程：

觀測(cè)方程：

式中Xk為狀態(tài)矩陣，Uk為控制矩陣，Yk為觀測(cè)矩陣，Ak狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Bk為狀態(tài)控制矩陣，Ck為觀測(cè)矩陣，Dk為觀測(cè)控制矩陣，wk為k時(shí)刻的動(dòng)態(tài)噪聲，vk為k時(shí)刻的觀測(cè)噪聲。將卡爾曼濾波算法，安時(shí)積分法和二階Thevenin模型結(jié)合得到式（6）和式（7）。

將卡爾曼濾波算法和電池模型相結(jié)合的程序框圖如圖6所示，將電池的輸出電流和端電壓作為輸入，電池的SOC作為輸出，用已經(jīng)求得的開路電壓曲線來修正安時(shí)積分法所輸出的SOC值。

圖6 卡爾曼濾波算法

3.2 無跡卡爾曼濾波原理

無跡卡爾曼濾波也是基于卡爾曼濾波原理的一種應(yīng)用［12］，不同于擴(kuò)展卡爾曼濾波對(duì)電池模型進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開并略去高階無窮小項(xiàng)，雖然使電池模型線性化，但在其過程中被忽略的高階所帶來的誤差，會(huì)引起濾波器精確度降低以至于發(fā)散［13］。

UKF算法對(duì)電池模型中函數(shù)關(guān)系的概率密度進(jìn)行分析［14］，通過無跡變換得到估計(jì)值對(duì)應(yīng)的sig?ma點(diǎn)，由一系列的sigma點(diǎn)來逼近狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度，從而保證估計(jì)值的準(zhǔn)確性，避免了對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和觀測(cè)矩陣求其雅各比矩陣的復(fù)雜運(yùn)算，同時(shí)也沒有忽略高階項(xiàng)對(duì)矩陣的影響，從而保證估計(jì)值的準(zhǔn)確性，式（8～9）為UT變化方程，即通過UT轉(zhuǎn)化確定sigma點(diǎn)及其權(quán)重。

其中下標(biāo)c表示協(xié)方差的權(quán)重，下標(biāo)m表示均方差的權(quán)重，λ=α2(n+κ)-n，λ代表縮放比，α=0.01表示采樣點(diǎn)的分布狀態(tài)，當(dāng)α較大時(shí)表明平均值處sigma點(diǎn)權(quán)重越大，β=2是權(quán)數(shù)，用來合并方程中高階項(xiàng)的動(dòng)差，κ=3-n。

首先列寫基本的狀態(tài)方程和從測(cè)量方程。

代入式（8～9）進(jìn)行UT變換，得到k時(shí)刻的X列向量的sigma點(diǎn)矩陣。

將矩陣式（11）代入式（10）中的狀態(tài)方程，求得下一時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)。

此時(shí)得到的是X(k+1|k)時(shí)刻的狀態(tài)矩陣，由式（9）求X(k+1|k)的加權(quán)均值和更新后的協(xié)方差矩陣。

根據(jù)更新后的狀態(tài)矩陣式（13）和協(xié)方差矩陣式（14），再次使用UT變換，產(chǎn)生新的sigma點(diǎn)集，并將該點(diǎn)集代入式（10）中的觀測(cè)方程得到估計(jì)的觀測(cè)值，通過兩次的UT變換使估測(cè)的觀測(cè)值具有系統(tǒng)代表性。

同樣的由式（10）加權(quán)求得到估計(jì)預(yù)測(cè)值及其協(xié)方差。

根據(jù)式（18～19）可求得Kalman增益系數(shù)K，并通過增益系數(shù)K更新系統(tǒng)的狀態(tài)和協(xié)方差矩陣。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與仿真

在Matlab/Simulink中搭建電池放電電路［15］，通過Pulse Generator模塊產(chǎn)生周期為200s占空比為80%的電流脈沖信號(hào)，同時(shí)為模擬工況，分別在電流采集和電壓采集處添加高斯白噪聲，將帶有噪聲的信號(hào)作為輸入，經(jīng)S-Function中的UKF濾波后，輸出到示波器中，仿真如圖7。

圖7 仿真圖

將輸出結(jié)果用Matlab畫圖表示，圖8是在SOC初值為85%時(shí)的電池模型輸出結(jié)果，圖9是EKF算法UKF算法分別和真實(shí)值做殘差；由圖像分析得相較于EKF算法3%的誤差，UKF算法可將誤差控制在1.5%以內(nèi)。

圖8 初值為85%時(shí)SOC估算曲線

圖9 初值為85%時(shí)誤差對(duì)比曲線

圖10和圖11是在SOC初值錯(cuò)誤的情況，觀察其對(duì)應(yīng)算法的修正能力，由圖11殘差對(duì)比圖可以較為明顯地觀察到UKF算法會(huì)超前于EKF算法追蹤到真實(shí)的電池狀態(tài)，驗(yàn)證了UKF算法具有更優(yōu)秀的收斂性和魯棒性。

圖10 初值有誤差時(shí)SOC估算曲線

圖11 初值有誤差時(shí)誤差對(duì)比曲線

5 結(jié)語

本文從常規(guī)的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法框架中加入無跡變換，提出了一種基于無跡卡爾曼濾波算法的電池SOC估算方法，建立二階Thevenin電池模型，并在Matlab/Simulink對(duì)EKF和UKF算法進(jìn)行了仿真對(duì)比。結(jié)果表明UKF算法相較于EKF算法具有更優(yōu)秀的收斂性和魯棒性，具有實(shí)際價(jià)值。本算法的局限性在于沒有對(duì)電池充電情況進(jìn)行考慮，如電池模型仿真時(shí)，在工況電流條件下電池存在反向充電電流，其電池模型相對(duì)于放電模型有細(xì)微差別，故該實(shí)驗(yàn)仍有很大的優(yōu)化空間。