等值與位置：促進(jìn)學(xué)生對小數(shù)意義的深度理解

鄭華恒

[摘 要]學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)的意義有兩個難點，一是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)與小數(shù)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，二是計數(shù)單位“1”的進(jìn)一步細(xì)分。合理利用形如“[110] = 0.1”的等值關(guān)系能幫助學(xué)生對分?jǐn)?shù)與小數(shù)形成結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)，促使學(xué)生通過探索小數(shù)在數(shù)軸上的位置以及小數(shù)的計數(shù)單位在數(shù)位順序表上的自然生成，在更高層面內(nèi)化和理解小數(shù)的意義。

[關(guān)鍵詞]小數(shù)的意義;結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián);數(shù)與數(shù)位;多元表征

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）11-0062-02

“小數(shù)的意義”是小學(xué)“數(shù)概念”教學(xué)的一個重要領(lǐng)域，是學(xué)生在整數(shù)認(rèn)知基礎(chǔ)上對數(shù)系認(rèn)識的拓展。學(xué)生對小數(shù)意義的認(rèn)知有兩個難點：其一，從認(rèn)知心理學(xué)上看，學(xué)生對“關(guān)系”的學(xué)習(xí)是有困難的，而與整數(shù)的學(xué)習(xí)不同，小數(shù)的學(xué)習(xí)高度依賴十進(jìn)制分?jǐn)?shù);其二，從數(shù)系的拓展來看，學(xué)生因為深受整數(shù)學(xué)習(xí)的影響，對小數(shù)在數(shù)軸上的位置及其計數(shù)單位在數(shù)位順序表上的生成，接受起來有困難。如何突破這兩個難點，幫助學(xué)生內(nèi)化小數(shù)概念，很值得研究。

一、突出等值，多元表征分?jǐn)?shù)與小數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系

小數(shù)是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的另一種表示形式。多數(shù)學(xué)生認(rèn)為，小數(shù)是一類數(shù)，分?jǐn)?shù)是另一類數(shù)，兩者是獨(dú)立的。借助人民幣、長度單位、正方形、數(shù)線等模型，以等值為內(nèi)核，可以多元表征小數(shù)和分?jǐn)?shù)間的聯(lián)系，從而幫助學(xué)生真正理解“分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示”“小數(shù)可以用來表示分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)”。

【教學(xué)片段1】借助正方形模型，初步建立分?jǐn)?shù)與小數(shù)的聯(lián)系。

師（課件演示把正方形平均分成10份）：其中的一份可以用哪些數(shù)來表示？

生1：可以用分?jǐn)?shù)[110]表示。

生2：也可以用0.1表示。

師：同樣的這一份，為什么會這樣？

（結(jié)合圖形，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)是因為它們表示的是相同的一份，從而建立起0.1與[110]相等的關(guān)系，初步理解0.1表示十分之一，以及十分之一就是0.1。）

師：借助正方形模型說說0.2表示的意義。

生3：0.2表示十分之二。

師：0.2是小數(shù)，[210]是分?jǐn)?shù)。這兩個不同的數(shù)為什么會相等呢？

生4：因為它們都是把這個正方形平均分成10份，表示這樣的2份。

【教學(xué)片段2】借助米尺，溝通整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)間的關(guān)系。

師：剛才我們借助正方形表示了一位小數(shù)。你能在這把米尺中找到一位小數(shù)嗎？

生1：長度是3厘米既可以表示成0.3分米，也可以表示成0.03米;0.3分米和0.03米就是3厘米。

生2：把1米平均分成100份，3份的長度就是3厘米，也就是[3100]米;[3100]米用分?jǐn)?shù)表示就是0.03米。

（教師板書：3厘米= [310]分米= 0.3分米，3厘米=[3100]米= 0.03米。學(xué)生根據(jù)板書再對比，分享各自的想法。）

兩個教學(xué)片段，都是巧妙借助等值關(guān)系，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想，構(gòu)建小數(shù)與分?jǐn)?shù)的本質(zhì)聯(lián)系。從“以數(shù)解形”角度看，0.1等價于十分之一;從“以形助數(shù)”角度看，十分之一和0.1都表示“把一個正方形平均分成10份，取其中的1份”。至此，學(xué)生直觀感受到了小數(shù)與分?jǐn)?shù)間的關(guān)系，初步感悟“小數(shù)是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的另一種表現(xiàn)形式”。最后，教師再用整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)來表示等長（同樣的3厘米），進(jìn)一步幫助學(xué)生感悟整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

二、突出位置，在數(shù)軸和數(shù)位順序表上生長出小數(shù)

數(shù)學(xué)發(fā)展史表明，人類很早就掌握了小數(shù)的數(shù)學(xué)意義，但探求用簡單而又貼切的符號來表示小數(shù)，卻經(jīng)歷了漫長的歲月。學(xué)生認(rèn)知的困難往往與數(shù)學(xué)發(fā)展史一樣，受整數(shù)認(rèn)知的影響，學(xué)生自然地以為相鄰兩個整數(shù)間沒有其他數(shù)，對兩個整數(shù)間還有數(shù)不清的小數(shù)“心理上有遙遠(yuǎn)的陌生感”，他們對小數(shù)在數(shù)軸上的位置、小數(shù)數(shù)位在數(shù)位順序表中的位置大多心存疑慮，難以理解還有比“1”還小的計數(shù)單位。

【教學(xué)片段3】小數(shù)在數(shù)軸上的“家”。

1.教師出示標(biāo)注了整數(shù)0～4的數(shù)軸;學(xué)生觀察數(shù)軸，估測小數(shù)在數(shù)軸上的可能位置。

師：每個數(shù)都有自己的家。這些小數(shù)（出示有代表性的小數(shù)，如0.1、0.6、0.01、3.14、3.15、0.45、0.99等）的“家”在哪里？

生1：小數(shù)都比0大，位置都在0的右邊。

生2：0.6的位置在0～1的中間略微偏右。

生3：3.14和3.15的位置在3至4的范圍內(nèi)，并且離“3” 更近些。

2.根據(jù)需要逐步細(xì)分?jǐn)?shù)軸，學(xué)生精準(zhǔn)找到小數(shù)在數(shù)軸上的相應(yīng)位置。

師：我們剛才大致估計了這些小數(shù)的位置，但每個小數(shù)在數(shù)軸上的位置是精準(zhǔn)的，怎么能找到它們精準(zhǔn)的位置？

生4：先從容易的一位小數(shù)0.1、0.6、0.7開始找。因為這三個一位小數(shù)都表示十分之幾，因此，先得把0～1這段平均分成10份。

生5：要找到0.45和0.99的位置，就要把0～1這條線段平均分成100份。

（教師根據(jù)學(xué)生的需求將數(shù)軸上相應(yīng)的線段平均分成10份、100份、1000份。學(xué)生找到給定小數(shù)的位置后，再觀察整個數(shù)軸，會發(fā)現(xiàn)：兩個整數(shù)之間有很多小數(shù);小數(shù)數(shù)位越多，數(shù)軸就平均分得越細(xì);等等。）

上述教學(xué)再現(xiàn)了小數(shù)在數(shù)軸上的動態(tài)生成過程。學(xué)生在粗略估測小數(shù)在數(shù)軸上的位置的過程中很好地培育了數(shù)感。估測時，學(xué)生也會產(chǎn)生繼續(xù)細(xì)分下去的沖動，真切感受到：小數(shù)數(shù)位越多，小數(shù)就刻畫得越精細(xì)。一一對應(yīng)、極限、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法也在這樣的動態(tài)過程中得到滲透。學(xué)生親眼看見，親身經(jīng)歷了小數(shù)的產(chǎn)生，這時的小數(shù)才會真正走入童心，學(xué)生才會心悅誠服接受新知，陌生的小數(shù)也變得熟悉起來。

【教學(xué)片段4】小數(shù)數(shù)位在數(shù)位順序表上的“家”。

師：在計數(shù)器上撥出小數(shù)2.1。

（教師在課前已為學(xué)生準(zhǔn)備了畫有多個計數(shù)器模型的練習(xí)紙（只出示個位至千位，沒有標(biāo)出小數(shù)點和小數(shù)數(shù)位）;學(xué)生用畫圓的方式在計數(shù)器模型上撥出2019，在交流畫法中回顧數(shù)與數(shù)位的關(guān)系。）

生1：在千位畫2個圓，百位上不畫，十位上畫1個圓，個位上畫9個圓，表示這個數(shù)由2個千、0個百、1個十和9個一組成。

師：請迎接新的挑戰(zhàn)——“撥出”2.1。

（教師選擇兩份有代表性的作品進(jìn)行展示）

作品1：十位上畫2個圓，個位上畫1個圓，小數(shù)點標(biāo)在個位和十位中間。

作品2：在個位上畫兩列圓，左邊2個，右邊1個。

生2：作品1不對，十位畫2個圓，已經(jīng)表示2個十了，比2.1大多了。

生3：作品2也不對，一個數(shù)位只能有一個數(shù)，把2和1都畫在個位下面是不對的。

師：，你們認(rèn)為表示小數(shù)2.1最困難的是什么？

生4：“2”很好表示，就在個位上畫2個圓就行?！?1”應(yīng)該畫在哪？一個圓平均分成10份，只畫一小塊，放到個位上，好像也不行。

生5： “.1”沒有滿一，肯定是不能畫在個位上的?！?1”究竟該畫在哪呢？

（學(xué)生發(fā)現(xiàn)把0.1和0.01放在整數(shù)數(shù)位的任何位置都不對）

生6：這個計數(shù)器數(shù)位不夠了。

生7：我一直以為“一”就是最小的計數(shù)單位，難道還有比“一”更小的計數(shù)單位？

（學(xué)生在爭辯中逐漸形成共識，“.1”應(yīng)該放在個位后面;現(xiàn)在的計數(shù)單位中，個位后面一定有新的計數(shù)單位，創(chuàng)造出“新的數(shù)位”——十分位、百分位……教師相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生理解“0.1”表示十分之一，新的計數(shù)單位就是十分位;“0.01”表示百分之一，新的計數(shù)單位就是百分位……學(xué)生在原有計數(shù)器模型的右邊標(biāo)識新的數(shù)位：十分位、百分位、千分位……最后，順利畫出了“2.1”。 ）

師：我們一起完善數(shù)位順序表，再觀察新的數(shù)位表，說說你的認(rèn)識。

（教師介紹小數(shù)產(chǎn)生的歷史）

上述教學(xué)再次應(yīng)驗了“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”，人類原有的認(rèn)知已經(jīng)無法解決新的問題時，就會逼著人類創(chuàng)造新的知識。學(xué)生在數(shù)位上進(jìn)一步認(rèn)識小數(shù)，是對小數(shù)意義的進(jìn)一步抽象。畫“2.1”的過程，突出了數(shù)位的重要作用，啟發(fā)學(xué)生從數(shù)系層面理解小數(shù)的意義。學(xué)生在整數(shù)數(shù)位的基礎(chǔ)上不斷嘗試，發(fā)現(xiàn)不能表示出“0.1”，“被迫創(chuàng)造”出小數(shù)數(shù)位。這樣的拓展才是屬于學(xué)生自己的真正意義的數(shù)系“拓展”。因此，教師要避免通過簡單的介紹，將小數(shù)數(shù)位“空降”到數(shù)位表上，再通過強(qiáng)化訓(xùn)練讓學(xué)生理解接受，而忽視學(xué)生經(jīng)歷小數(shù)數(shù)位生長的過程。

多元表征是數(shù)概念教學(xué)的重要策略，數(shù)與數(shù)之間的等值關(guān)系，數(shù)在數(shù)軸（數(shù)線）和數(shù)位順序表上的位置，為更有意義的表征提供了工具。用好這些工具，能觸及學(xué)生心靈，吸引學(xué)生主動參與，激發(fā)學(xué)生在數(shù)概念學(xué)習(xí)中深層次思考，找準(zhǔn)知識的“生長點”，真正讓數(shù)學(xué)概念內(nèi)化于心，使深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 蔡宏圣.數(shù)學(xué)史走進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂：案例與剖析[M]. 北京：教育科學(xué)出版社，2019.

[2] 馬云鵬，吳正憲.深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)（學(xué)科指南·小學(xué)數(shù)學(xué)） [M]. 北京：教育科學(xué)出版社，2019.

【本文系重慶市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度重點課題“學(xué)生立場下融和教育的架構(gòu)與踐行研究”（課題批準(zhǔn)號：2018-14-233）階段性研究成果。】

（責(zé)編 金 鈴）