《隨機(jī)事件與概率》教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

蔡金梅 宋程

隨機(jī)事件廣泛存在于生活中，學(xué)生對(duì)隨機(jī)事件和概率都有一些體驗(yàn)，但是認(rèn)識(shí)不深.在這節(jié)課中，執(zhí)教老師借助信息技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概率試驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概率意義的理解，同時(shí)在教學(xué)中滲透隨機(jī)思想，讓學(xué)生探究計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件概率的方法.

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

師：電影《我和我的祖國(guó)》正在熱播，一名教師組織學(xué)生去看電影，不小心多買了一張電影票，于是就有了這一幕.（播放視頻：小明聽(tīng)說(shuō)老師多買了一張電影票，就想問(wèn)老師要.小紅也想要.小明不同意，認(rèn)為多出來(lái)的那張電影票是他的.小紅認(rèn)為這不公平.）

師：多出來(lái)的這張電影票是給小明還是小紅呢？請(qǐng)同學(xué)們利用桌面上的工具（硬幣、轉(zhuǎn)盤(pán)、撲克牌以及除顏色外大小相同的小球），設(shè)計(jì)一個(gè)體現(xiàn)公平原則的游戲，通過(guò)勝負(fù)來(lái)決定誰(shuí)可以得到這張電影票.請(qǐng)將你的方案寫(xiě)在導(dǎo)學(xué)案上.

生分小組合作設(shè)計(jì)游戲方案，完成導(dǎo)學(xué)案.

師：下面請(qǐng)各小組代表跟大家分享本小組設(shè)計(jì)的游戲方案（手機(jī)投屏，如圖1、圖2）.

師：這兩個(gè)小組用硬幣和撲克牌設(shè)計(jì)游戲，很不錯(cuò)！

生：我們小組利用工具“轉(zhuǎn)盤(pán)”設(shè)計(jì)的方案是二人比賽旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤(pán)，誰(shuí)轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)盤(pán)上的數(shù)字1就算獲勝.

師：轉(zhuǎn)盤(pán)上共有10個(gè)數(shù)字，轉(zhuǎn)到每一個(gè)數(shù)字的可能性一樣嗎？請(qǐng)用一個(gè)數(shù)值表示轉(zhuǎn)到數(shù)字1的可能性大小.

生：轉(zhuǎn)到每個(gè)數(shù)字的可能性都一樣，可以用[110]表示轉(zhuǎn)到數(shù)字1的可能性.

師：很好，我們?cè)賮?lái)看這個(gè)小組設(shè)計(jì)的游戲方案.

生：我們小組利用的工具是“小球”，設(shè)計(jì)的方案是——往袋子里放入一個(gè)紅球和一個(gè)黃球，再?gòu)拇永锶〕鲆粋€(gè)小球，若取出的是紅球則小紅獲勝，反之則小明勝出.

師：請(qǐng)你用一個(gè)數(shù)值表示摸到黃球的可能性大小.

生：可以用[12]表示.

【評(píng)析】執(zhí)教老師利用微視頻展示生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)解決問(wèn)題的方案，初步感受生活中簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象，并用數(shù)值刻畫(huà)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小.

二、實(shí)踐探究，交流新知

師：像這樣，用[12]，[110]表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小，我們把這個(gè)數(shù)值稱為概率.請(qǐng)同學(xué)們?cè)跁?shū)中找到概率的概念.（課件出示概率的概念：一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們把刻畫(huà)其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為[P（A）]）

師：我們回顧最后一個(gè)小組設(shè)計(jì)的方案（左手拿一個(gè)紅球，右手拿一個(gè)黃球，兩個(gè)小球除顏色外大小均相同），如果將黃球換成較大的黃色海洋球，抽到黃球的概率還是[12]嗎？

生：不是，此時(shí)一定能摸出黃球，概率是1.

師：對(duì).我們?cè)谟?jì)算隨機(jī)事件的概率時(shí)，要確保每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.概率符號(hào)通常用大寫(xiě)字母P表示，比如摸到黃球的概率記為P=[12].這里的[12]是怎么得來(lái)的呢？

生：袋子里只有紅球和黃球，并且球的大小和形狀相同，黃球占總數(shù)的一半，所以，發(fā)生的概率是[12].

師：說(shuō)得好！如果有[n]個(gè)質(zhì)地均勻、大小形狀都相同的小球，其中有[m]個(gè)黃球，那么，摸到黃球的概率是多少？

生：概率是[mn]，黃球有[m]個(gè)，占總數(shù)的[mn].

師：對(duì).一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有[n]種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的[m]種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率就是[P（A）=mn].請(qǐng)你思考，概率[P（A）]的取值范圍是什么？

生：0<[P（A）]<1.

師：誰(shuí)有不一樣的想法？為什么這里不能取到0或者1呢？如果等于0，會(huì)是什么事件？如果等于1呢？

生：概率等于0是不可能事件，概率等于1是必然事件.

師：也就是說(shuō)，在[P（A）]=[mn]中，由[m]和[n]的含義，可知0[≤][m][≤][n]，進(jìn)而有0[≤][mn][≤]1.如果0[≤][P（A）][≤]1，特別地，當(dāng)A為必然事件時(shí)，[P（A）]=1;當(dāng)A為不可能事件時(shí)，[P（A）]=0.

師生小結(jié)：事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1;事件發(fā)生的可能性越小，它的概率越接近0.

【評(píng)析】在探索概率這一概念的形成、概率的計(jì)算公式以及概率的取值范圍過(guò)程中，執(zhí)教老師讓學(xué)生經(jīng)歷了從實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象過(guò)程，發(fā)展了學(xué)生的抽象思維;通過(guò)提問(wèn)和追問(wèn)，使學(xué)生全程參與數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，無(wú)形中培養(yǎng)了學(xué)生的歸納推理能力.

三、開(kāi)放訓(xùn)練，體現(xiàn)應(yīng)用

課件出示例1：盒子中有5個(gè)紅球，5個(gè)黃球，4個(gè)藍(lán)球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，求下列事件的概率：（1）摸出紅球的概率;（2）摸出藍(lán)球的概率;（3）摸出黃球或藍(lán)球的概率.

師：剛才我們知道了概率的計(jì)算公式，接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們完成例1（1），計(jì)算摸出紅球的概率是多少.

生：[514].

師：14表示什么？

生：球的總個(gè)數(shù).

師：每種顏色的球出現(xiàn)的可能性相等嗎？

生：相等.

師：所以，我們可以這樣書(shū)寫(xiě)（師板書(shū)解題過(guò)程如下）——

解：共有14種結(jié)果，它們出現(xiàn)的可能性相等.

∴[P]（摸出紅球）=[514]

請(qǐng)同學(xué)們按照這樣的格式完成例1中的（2）（3）.

師：我發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)做第（3）題時(shí)是這樣寫(xiě)的：[514+][414=914]，誰(shuí)有不一樣的想法嗎？

生：盒子里總共有3種顏色的球，要摸出黃球或藍(lán)球，排除紅球即可，所以，可以寫(xiě)成[1-514=914].

師：像這樣不是摸出紅球，就是摸出黃球或藍(lán)球的事件，我們將它稱為對(duì)立事件，可以用加法或減法來(lái)解決.現(xiàn)在，老師給出概率，你能知道盒子里都有哪些顏色的球嗎？（利用平板電腦的拖拽功能出示變式練習(xí)“摸球游戲”如下）.

如圖3，根據(jù)所給球的概率把球放入箱子：（1）摸到紅球的概率是[23];（2）摸到紅球的概率是[23]，同時(shí)摸到綠球的概率是[16].

師：我發(fā)現(xiàn)每個(gè)小組都有不同的想法，哪個(gè)小組來(lái)和大家分享你們的想法.

生：摸出紅球的概率是[23]，并不是說(shuō)球的總個(gè)數(shù)是3，因此，可以同時(shí)擴(kuò)大分子和分母的倍數(shù).這道題可能有很多種情況.

師：說(shuō)得好！概率反映的是一種比值關(guān)系，分母是3，并不表示只有3個(gè)球.如果增加一個(gè)條件，摸到紅球的概率是[23]，同時(shí)摸到綠球的概率是[16]，可以怎么擺放呢？

生：同時(shí)滿足兩個(gè)概率，那么球的總數(shù)是3和6的公倍數(shù)，分子對(duì)應(yīng)乘倍數(shù)即可，如果球的總個(gè)數(shù)為6，紅球就是4個(gè)，綠球?yàn)?個(gè)，另一種球可以是黃球或藍(lán)球.

【評(píng)析】設(shè)計(jì)例題的目的是讓學(xué)生鞏固對(duì)概率意義的理解.要求學(xué)生計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，理解指定事件發(fā)生所包含的試驗(yàn)結(jié)果，這樣的教學(xué)有梯度也有針對(duì)性.變式練習(xí)設(shè)計(jì)了一個(gè)逆向的開(kāi)放性的探究問(wèn)題，執(zhí)教老師利用平板電腦的拖拽功能，適時(shí)將信息技術(shù)融入教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)概率意義的理解.

四、合作探究，深入學(xué)習(xí)

師：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率是0.5.拋擲20次硬幣，會(huì)有10次正面朝上，這個(gè)說(shuō)法正確嗎？為什么？請(qǐng)同學(xué)們按照以下步驟，用實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證猜想.

小組合作探究：①二人一組，拋擲20次硬幣;②一名同學(xué)拋擲硬幣，一名同學(xué)記錄硬幣正面朝上的次數(shù)（有數(shù)字的為正面）;③拋擲硬幣過(guò)程中注意高度，避免硬幣掉在桌面和地面.

師：有的小組記錄硬幣正面朝上的次數(shù)是10次，有的小組記錄的是15次，有的小組記錄的是11次.只是單純地實(shí)驗(yàn)20次，并不能準(zhǔn)確地驗(yàn)證猜想.因此，我們需要經(jīng)過(guò)大量反復(fù)的實(shí)驗(yàn)，才能證明結(jié)論是否正確.請(qǐng)同學(xué)們利用平板電腦模擬實(shí)驗(yàn)，增加實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，觀察硬幣正面朝上的頻率會(huì)有什么樣的變化？

模擬實(shí)驗(yàn)：請(qǐng)?jiān)谄桨咫娔X上輸入拋擲硬幣的次數(shù)，觀察硬幣出現(xiàn)正面朝上的頻率.

師：（手機(jī)投屏學(xué)生實(shí)驗(yàn)的結(jié)果）請(qǐng)你們組來(lái)說(shuō)一說(shuō)增加實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，硬幣正面朝上的頻率有什么變化？

生：我們輸入的實(shí)驗(yàn)次數(shù)從300到幾千，發(fā)現(xiàn)得出的頻率越來(lái)越接近0.5.

師：為進(jìn)一步觀察拋擲硬幣次數(shù)與拋得硬幣正面朝上次數(shù)的關(guān)系，請(qǐng)你利用幾何畫(huà)板進(jìn)行大量的實(shí)驗(yàn)，觀察隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，硬幣正面朝上的頻率將會(huì)有什么變化？

幾何畫(huà)板模擬實(shí)驗(yàn)：圖4是老師利用幾何畫(huà)板演示的初始狀態(tài)，圖5是幾何畫(huà)板演示的部分結(jié)果.

生：我發(fā)現(xiàn)剛開(kāi)始硬幣正面朝上的頻率波動(dòng)幅度很大，有起有落，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，硬幣正面朝上的頻率越來(lái)越穩(wěn)定，趨向于0.5，并且在0.5附近波動(dòng)的幅度越來(lái)越小.

師：從這里我們可以知道，概率針對(duì)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)而言，大量的重復(fù)的實(shí)驗(yàn)體現(xiàn)的規(guī)律并非在每一次試驗(yàn)中都會(huì)發(fā)生，所以，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率是0.5，并不意味著拋擲20次硬幣，一定會(huì)有10次正面朝上.

【評(píng)析】執(zhí)教老師讓學(xué)生開(kāi)展拋擲硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)，嘗試收集數(shù)據(jù)和描述數(shù)據(jù)，再次體會(huì)隨機(jī)事件概率的意義，培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)觀念.借助H5模擬拋擲硬幣動(dòng)畫(huà)和幾何畫(huà)板，可以將硬幣正面朝上與反面朝上的頻率波動(dòng)性與穩(wěn)定性直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，信息技術(shù)的介入適時(shí)、適度、有效.

五、課堂小結(jié)，能力提升

師：這節(jié)課你的收獲是什么？

生1：我知道概率的概念和求概率的計(jì)算公式.

生2：概率針對(duì)大量的重復(fù)的試驗(yàn)而言，當(dāng)某一件事的頻率波動(dòng)穩(wěn)定在某一個(gè)數(shù)值時(shí)，可以估計(jì)成這個(gè)事件的概率.

生3：我知道抽獎(jiǎng)游戲是如何設(shè)計(jì)的，中獎(jiǎng)率完全可以因人設(shè)計(jì)，所以，不能盲目地相信手機(jī)上小程序發(fā)送的抽獎(jiǎng)游戲.

師：這節(jié)課也讓我們知道，任何一個(gè)實(shí)驗(yàn)猜想都需要大量的實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證.在信息技術(shù)飛速發(fā)展的時(shí)代，可以巧妙地利用信息技術(shù)幫助我們解決生活中的問(wèn)題.

師：請(qǐng)同學(xué)們完成以下習(xí)題.

1.判斷下列說(shuō)法是否正確.

（1）不可能事件發(fā)生的概率為0.

（2）某種彩票中獎(jiǎng)概率為1%，買100張彩票一定有1張中獎(jiǎng).

2.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察向上一面的點(diǎn)數(shù)，點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是? ? .

3.在一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤(pán)中，紅、黃、藍(lán)三個(gè)扇形的圓心角度數(shù)分別為60°，90°，210°，讓轉(zhuǎn)盤(pán)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，指針停止后落在黃色區(qū)域的概率是? ? .

A.[16]? ?B.[14]? ?C.[13]? ?D.[712]

4.小組設(shè)計(jì)一個(gè)總數(shù)為24人的抽獎(jiǎng)小游戲，每人抽一次，要求：一等獎(jiǎng)的概率是[124]，二等獎(jiǎng)的概率是[112]，三等獎(jiǎng)的概率是[16].

師：概率不僅出現(xiàn)在我們的練習(xí)題中，生活中也很常見(jiàn)，如幸運(yùn)大轉(zhuǎn)盤(pán)、刮刮樂(lè)等抽獎(jiǎng)游戲.請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，設(shè)計(jì)一個(gè)總數(shù)為24人的抽獎(jiǎng)游戲，按照要求計(jì)算獲獎(jiǎng)人數(shù)，看誰(shuí)能抽中一等獎(jiǎng).

師：請(qǐng)同學(xué)們分小組，利用網(wǎng)絡(luò)查找概率在生活中有哪些應(yīng)用，并跟身邊的同學(xué)、朋友一起分享.

【評(píng)析】在梳理本課所學(xué)知識(shí)時(shí)，執(zhí)教老師通過(guò)習(xí)題檢測(cè)，檢查學(xué)生達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)的情況.知識(shí)的拓展與延伸，讓學(xué)生真實(shí)地感受到數(shù)學(xué)源于生活，同時(shí)也服務(wù)于生活.

【總評(píng)】

執(zhí)教老師在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)《隨機(jī)事件與概率》過(guò)程中，結(jié)合真實(shí)情景中的案例，幫助學(xué)生理解概率的概念，啟發(fā)學(xué)生歸納概率的計(jì)算公式，學(xué)會(huì)用公式計(jì)算概率，有效地落實(shí)了數(shù)學(xué)課標(biāo)對(duì)這一教學(xué)內(nèi)容的要求.這節(jié)課亮點(diǎn)比較多，主要體現(xiàn)在四個(gè)方面.

第一，重視隨機(jī)觀念的培養(yǎng).隨機(jī)觀念的培養(yǎng)是初中階段統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)習(xí)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，執(zhí)教老師設(shè)計(jì)了電影票分配、摸球、拋硬幣、抽獎(jiǎng)等練習(xí)，讓學(xué)生在操作中體驗(yàn)隨機(jī)事件的不確定性，深刻理解在大量的重復(fù)的實(shí)驗(yàn)中呈現(xiàn)出來(lái)的規(guī)律性，這是培養(yǎng)學(xué)生隨機(jī)觀念非常重要的兩個(gè)方面.

第二，加強(qiáng)概率意義的理解.學(xué)生在小學(xué)階段對(duì)事件發(fā)生可能性的大小已有初步認(rèn)識(shí)，但只限于定性的描述，這節(jié)課從具體的實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生從定量的角度刻畫(huà)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，總結(jié)出一般規(guī)律，歸納得出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的計(jì)算公式，有利于學(xué)生加深對(duì)概率意義的理解，同時(shí)也滲透了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想.

第三，緊密聯(lián)系生活實(shí)際.這節(jié)課將電影票的分配問(wèn)題作為教學(xué)切入點(diǎn)，設(shè)計(jì)開(kāi)放性的問(wèn)題，說(shuō)明數(shù)學(xué)源于生活.在知識(shí)的形成過(guò)程中，執(zhí)教老師設(shè)計(jì)了摸球、拋硬幣等問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力，在應(yīng)用概率公式解決抽獎(jiǎng)等問(wèn)題過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)到概率與生活實(shí)際密切相關(guān)，提高了學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

第四，注重信息技術(shù)的應(yīng)用.執(zhí)教老師從學(xué)生自主設(shè)計(jì)游戲開(kāi)始引入教學(xué)，善于將信息技術(shù)與教學(xué)相融合，同屏展示學(xué)生設(shè)計(jì)的方案及時(shí)有效.利用H5動(dòng)畫(huà)完成拖球游戲，同屏展示各小組實(shí)驗(yàn)結(jié)果，讓學(xué)生分享和交流想法，發(fā)展了學(xué)生的思維.學(xué)生小組合作完成拋硬幣實(shí)驗(yàn)后，執(zhí)教老師借助H5動(dòng)畫(huà)和幾何畫(huà)板模擬實(shí)驗(yàn)，減少了課堂實(shí)驗(yàn)時(shí)間，并且把硬幣正面朝上與反面朝上的頻率波動(dòng)性與穩(wěn)定性直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，更好地突破了教學(xué)難點(diǎn).

注：本課例在2019年第17屆全國(guó)初中信息技術(shù)與教學(xué)融合創(chuàng)新同課異構(gòu)觀摩課中獲一等獎(jiǎng).

（責(zé)編 歐孔群）