螺栓對(duì)壓電換能器性能參數(shù)影響的數(shù)學(xué)建模與仿真

謝歆鑫

（西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，西安 710089）

目前在大多數(shù)理論計(jì)算中，關(guān)于壓電換能器的大 量研究直接忽視了螺栓影響性。在換能器實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)，螺栓直徑一般都是以陶瓷孔大小為依據(jù)，長度則是人為給定，根本無法保障換能器性能參數(shù)準(zhǔn)確性[1]。據(jù)此，本文對(duì)壓電換能器頻率與有效機(jī)電耦合系數(shù)，在螺栓尺寸與材料等影響的具體變化進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模與仿真研究。

1 壓電換能器結(jié)構(gòu)

壓電換能器結(jié)構(gòu)[2]具體如圖1所示。

圖1 壓點(diǎn)換能器結(jié)構(gòu)Fig.1 Pressure point transducer configuration

圖中，1與2代表換能器前蓋板；3代表由壓電陶瓷片構(gòu)成的壓電陶瓷晶堆；4 與5 代表換能器后蓋板；6 代表螺栓；L3代表陶瓷片厚度；L6代表螺栓總長；L1、L2代表前蓋板的1與2段長度；L4、L5則代表后蓋板的4與5段長度。

2 壓電換能器波長振子頻率數(shù)學(xué)建模

換能器為中心對(duì)稱結(jié)構(gòu)形式，位移界面處于中心位置，可促使有效機(jī)電耦合系數(shù)保持最大狀態(tài)[3]。螺栓總長即：

一般來說壓電換能器包含2 個(gè)1/4 波長振子。換能器為中心對(duì)稱結(jié)構(gòu)形式，因此只分析一個(gè)波長振子即可，其機(jī)電等效電路[4]具體如圖2所示。

圖2 四分之一波長振子的機(jī)電等效電路Fig.2 Electromechanical equivalent circuit of quarterwavelength oscillator

其中，C0代表壓電換能器靜態(tài)電容；n 代表機(jī)電轉(zhuǎn)換系數(shù)，阻抗值則：

其中：

L6為螺栓總長的1/2；ρ、c、k分別代表陶瓷片、后蓋板與螺栓的密度、波速、波數(shù)；S代表截面積。

基于螺栓的1/4 波長振子機(jī)電等效電路圖，輸入電導(dǎo)納[5]即：

在Yje→0 時(shí)，共振頻率數(shù)學(xué)方程即：

在Yje=∞時(shí)，反共振頻率數(shù)學(xué)方程即：

3 螺栓對(duì)壓電換能器性能參數(shù)影響的仿真分析

以壓電換能器前后蓋板為硬鋁，前蓋板長度即90mm；后蓋板長度即50mm；陶瓷片厚度即7mm；換能器總長即142mm。

3.1 螺栓長度的影響仿真

螺栓長度對(duì)壓電換能器的共振頻率、反共振頻率、有效機(jī)電耦合系數(shù)影響仿真結(jié)果[6]具體如圖3、圖4所示。

圖3 長度與頻率的關(guān)系Fig.3 Relationship between length and frequency

圖4 長度與機(jī)電耦合系數(shù)的關(guān)系Fig.4 Relationship between length and electromechanical coupling coefficient

在計(jì)算時(shí)，壓電換能器前蓋板、后蓋板、陶瓷片、螺栓直徑處于既定狀態(tài)。通過圖3、圖4 可知，在長度變化影響下，頻率與有效機(jī)電耦合系數(shù)等性能參數(shù)并未表現(xiàn)出單一形式的變化形態(tài)，相應(yīng)某長度時(shí)，換能器的有效機(jī)電耦合系數(shù)達(dá)到最佳狀態(tài)。然而在相應(yīng)頻率最大的時(shí)候，螺栓長度與有效機(jī)電耦合系數(shù)最大值狀態(tài)下的螺栓長度不一致。

3.2 螺栓直徑的影響仿真

螺栓直徑的影響仿真結(jié)果[7]具體如圖5、圖6所示。

圖5 直徑與振頻率的關(guān)系Fig.5 Relationship between diameter and vibration frequency

圖6 直徑與有效機(jī)電耦合系數(shù)的關(guān)系Fig.6 Relationship between diameter and effective electromechanical coupling coefficient

由圖5、圖6 可知，隨著螺栓直徑逐漸增大，壓電換能器共振頻率、反共振頻率呈現(xiàn)單一的逐步增大趨勢，但有效機(jī)電耦合系數(shù)保持持續(xù)縮減狀態(tài)。因此，可以適度縮小螺栓直徑，提升有效機(jī)電耦合次數(shù)，然而因?yàn)槁菟ㄖ睆阶冃?，變?xì)，壓電換能器容易折斷裂縫，因此在壓電換能器設(shè)計(jì)時(shí)必須做到全方位統(tǒng)籌兼顧。

3.3 螺栓材料的影響仿真

螺栓材料的影響仿真結(jié)果[8]具體如圖7、圖8所示。

圖7 材料與振頻率的關(guān)系Fig.7 Relationship between material and vibration frequency

圖8 材料與有效機(jī)電耦合系數(shù)的關(guān)系Fig.8 Relationship between material and effective electromechanical coupling coefficient

由圖7、圖8 可知，在螺栓長度既定狀態(tài)下，以45#鋼為材料，則換能器共振頻率、反共振頻率最大，其次是鈦，最小為銅。而45#鋼與鈦、銅對(duì)比，其有效機(jī)電耦合次數(shù)最小。在螺栓直徑既定時(shí)，鈦與銅作為螺栓材料，在長度大約60mm時(shí)，換能器有效機(jī)電耦合系數(shù)基本一致；而螺栓長度小于60mm 時(shí)，以鈦為材料，有效機(jī)電耦合系數(shù)相對(duì)較小，但差異不明顯；而螺栓長度大于60mm時(shí)，以鈦為材料，有效機(jī)電耦合系數(shù)相對(duì)較大，且在螺栓長度不斷增加影響下，有效機(jī)電耦合系數(shù)可達(dá)到最大值，因此，以鈦為材料最佳。

3.4 螺栓位置的影響仿真

螺栓位置的影響仿真結(jié)果[9]具體如圖9、圖10所示。

圖9 位置與頻率的關(guān)系Fig.9 Relationship between location and frequency

圖10 位置與有效機(jī)電耦合系數(shù)的關(guān)系Fig.10 Relationship between location and effective electromechanical coupling coefficient

其中，橫坐標(biāo)代表螺栓后端和壓電換能器后端的具體間隔距離。由圖9、圖10可知，在螺栓處于壓電換能器內(nèi)，從后端逐步向前移動(dòng)時(shí)，相對(duì)應(yīng)間距約22mm 左右時(shí)，壓電換能器頻率趨向于最大值狀態(tài)，然而換能器有效機(jī)電耦合系數(shù)卻表征為不斷縮減狀態(tài)。

就壓電換能器而言，科學(xué)合理設(shè)計(jì)螺栓，在確保機(jī)械強(qiáng)度的基礎(chǔ)上，以鈦為材料，螺栓較長、較細(xì)，則可在很大程度上顯著優(yōu)化壓電換能器整體性能。

4 結(jié)語

綜上所述，本文基于螺栓對(duì)壓電換能器性能參數(shù)的影響，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并通過仿真驗(yàn)證了螺栓具體影響作用。仿真結(jié)果表明，螺栓長度增加時(shí)，有效機(jī)電耦合系數(shù)呈現(xiàn)明顯增加趨勢；螺栓直徑增大時(shí)，換能器有效機(jī)電耦合系數(shù)則表征為縮減形態(tài)；而隨著螺栓位置的具體演變，換能器有效機(jī)電耦合系數(shù)隨之發(fā)生相應(yīng)變化；螺栓材料選擇45#鋼時(shí)，有效機(jī)電耦合系數(shù)處于最低狀態(tài)，而選擇鈦或者銅時(shí)，有效機(jī)電耦合系數(shù)相對(duì)較大，而綜合考慮螺栓強(qiáng)度與耐腐蝕性，以鈦為最佳材料；綜上就壓電換能器而言，科學(xué)合理設(shè)計(jì)螺栓，在確保機(jī)械強(qiáng)度的基礎(chǔ)上，以鈦為材料，螺栓較長、較細(xì)，則可在很大程度上顯著優(yōu)化壓電換能器整體性能。