一類(lèi)2×2無(wú)界算子矩陣的壓縮半群生成充要條件

劉 杰

(呼和浩特民族學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院, 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

0 引 言

下是Hilbert空間.進(jìn)一步, 在乘積空間Y⊕X中, 定義內(nèi)積

(v1,v2)Y⊕X=(f1,f2)Y+(g1,g2)X=

(1)

式中：v1=(f1g1)t,v2(f2g2)t∈Y⊕X，則在內(nèi)積(1)下，Y⊕X是Hilbert空間.

本文通過(guò)算子矩陣的因式分解, 借助 Schur 補(bǔ)算子和二次補(bǔ)算子, 研究無(wú)界算子矩陣

(2)

(3)

式中：A和D為稠定可閉算子.并給出式(2)和式(3)定義的算子矩陣M生成Hilbert空間Y⊕X(?X⊕X)中壓縮半群的充分必要條件.

文中D(A)和R(A)分別為算子A的定義域和值域,A|S表示算子A在線(xiàn)性子空間S上的限制，Re(z)為復(fù)數(shù)z的實(shí)部.

定義1[10]設(shè)(T(t))t≥0是從 Banach 空間X到X的有界線(xiàn)性算子的單參數(shù)族, 稱(chēng)(T(t))t≥0為強(qiáng)連續(xù)有界線(xiàn)性算子半群(簡(jiǎn)稱(chēng)C0半群), 如果

1)T(0)=I,I為X上的單位算子,

2)T(t+s)=T(t)T(s),t,s≥0,

進(jìn)一步, 若‖T(t)‖≤1,t≥0, 則稱(chēng)(T(t))t≥0為壓縮半群.

定義2[10]若Hilbert空間X中的線(xiàn)性算子A滿(mǎn)足Re((Av,v))≤0,v∈D(A), 則稱(chēng)A為耗散算子.

1 主要結(jié)論及證明

下面給出本文的主要結(jié)論.

定理1設(shè)M為式(2)和式(3)所定義的算子矩陣, 則M生成Y⊕X上的壓縮半群, 當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立:

因此，由式

Re((Af,f)Y+(g,f)Y+(Cf,g)X+(Dg,g)X)=

(Cf,g)X+(Dg,g)X)=Re((Af,f)Y+

(g,-Cf)X+(Cf,g)X+(Dg,g)X)=

Re((Af,f)Y+(Dg,g)X),

v=(fg)t∈D(M)，

可知

Re((Mv,v)Y⊕X)≤0,v∈D(M),

即M是Y⊕X中的耗散算子.

(4)

式中：T1(λ)=C-(D-λ)(A-λ).

記

推論1設(shè)Hamilton算子矩陣為

Y⊕X→Y⊕X，

則H生成Y⊕X(?X⊕X)上的壓縮半群, 當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立:

定理2設(shè)M是式(2)和式(3)所定義的算子矩陣, 若A是閉算子, 則M在Y⊕X中生成壓縮半群, 當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立:

證明充分性.由條件(1)可知, 算子M為耗散算子, 其證明過(guò)程與定理1相同.因0∈ρ(C),M-λ(λ>0)具有如下分解

M-λ=

(5)

式中：T2(λ)=I-(A-λ)C-1(D-λ).

記

結(jié)合A的閉性和D(C)?D(A)可知,AC-1在X中有界, 因而E3是雙射.因此,M-λ是滿(mǎn)射當(dāng)且僅當(dāng)T2(λ)是滿(mǎn)射.由條件R(T2(λ))=Y可知,R(M-λ)=Y⊕X.所以,M生成Y⊕X上的壓縮半群.

定理3設(shè)M是式(2)和式(3)所定義的算子矩陣, 若D為X中一個(gè)壓縮半群的生成元, 則M在Y⊕X中生成壓縮半群, 當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立:

2)R(S1(λ))=Y, 其中S1(λ)=A-λ-(D-λ)-1C,λ>0.

證明充分性.由條件(1)可知, 算子M是耗散算子, 其證明過(guò)程與定理1相同.因D為X中一個(gè)壓縮半群的生成元, 故此，λ∈ρ(D),λ>0.因而M-λ(λ>0)有如下分解

M-λ=

(6)

記

由λ∈ρ(D)可知,D-λ是單射且(D-λ)-1在X中有界, 故E5是雙射, 進(jìn)而,M-λ是滿(mǎn)射當(dāng)且僅當(dāng)S1(λ)是滿(mǎn)射.由條件R(S1(λ))=Y可知,R(M-λ)=Y⊕X.所以,M生成Y⊕X上的壓縮半群.

定理4設(shè)M是式(2)和式(3)所定義的算子矩陣, 若A為Y中一個(gè)壓縮半群的生成元, 則M在Y⊕X中生成壓縮半群, 當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立:

2)R(S2(λ))=X, 其中S2(λ)=D-λ-C(A-λ)-1,λ>0.

證明充分性.由條件(1)可知, 算子M為耗散算子, 其證明過(guò)程與定理1相同.因A為Y中一個(gè)壓縮半群的生成元, 故此，λ∈ρ(A),λ>0.因而，M-λ(λ>0)具有如下分解

M-λ=

(7)

記

由0∈ρ(C)和λ∈ρ(A)可知,E7是雙射, 進(jìn)而M-λ是滿(mǎn)射當(dāng)且僅當(dāng)S2(λ)是滿(mǎn)射.由條件R(S2(λ))=X可知,R(M-λ)=Y⊕X.所以,M生成Y⊕X上的壓縮半群.

2 算 例

考慮阻尼波動(dòng)方程混合問(wèn)題

(8)

式中：a>0,c>0,(x,t)∈[0,l]×(0,∞).

設(shè)X=L2[0,l],A=-aI,

D(C)={v(x)∈X,v′(x),v″(x)∈X,

v(0)=v(l)=0},

v(0)=v(l)=0}.

(9)

Y⊕X→Y⊕X.

算子矩陣M滿(mǎn)足定理4的條件, 故M生成Y⊕X上的壓縮半群.

事實(shí)上,M的Schur補(bǔ)算子為

D(S2(λ))=D(C).

對(duì)任意g∈X, 考慮二階非齊次常微分方程S2(λ)f=g, 即

(10)

設(shè)τ1,τ2為非齊次方程(10)的特征方程

(11)

的兩個(gè)根, 則方程(10)有如下通解

式中：C1和C2為任意常數(shù)；

結(jié)合條件f(0)=f(1)=0，得

因此,R(S2(λ))=X.

另一方面, 算子矩陣M可以分解為