指向數(shù)學(xué)素養(yǎng) 理解概念本質(zhì)

周蓉蓉 鄧雙英

【摘? ?要】分數(shù)認識教學(xué)橫跨兩個學(xué)段?！斗謹?shù)再認識》是學(xué)生在學(xué)習(xí)三年級上冊“初步認識分數(shù)”的基礎(chǔ)上再次認識分數(shù)的意義。教師在教學(xué)時應(yīng)基于學(xué)情前測，抓住分數(shù)意義學(xué)習(xí)的生長點與延伸點，幫助學(xué)生理解概念本質(zhì)。具體可從“數(shù)形結(jié)合，喚醒經(jīng)驗，再認識‘[34]的特征”“理性思辨，深化內(nèi)涵，再認識‘一個整體”“從點到面，抽象概括，再認識‘分數(shù)意義”“充分體驗，借助推理，再認識‘分數(shù)相對性”四個方面實施教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】分數(shù)再認識;分數(shù)的意義;概念本質(zhì);數(shù)學(xué)素養(yǎng)

【課前思考】

目前，國內(nèi)各版本教材都將分數(shù)安排在兩個階段進行教學(xué)。第一階段一般安排在三年級，主要內(nèi)容為借助直觀模型，引導(dǎo)學(xué)生通過直觀操作，經(jīng)歷分數(shù)的產(chǎn)生過程，并從部分與整體的關(guān)系初步理解分數(shù)的意義。第二階段一般安排在五年級，將學(xué)生對分數(shù)的感性認識上升到理性認識，概括出分數(shù)的意義，從分數(shù)與除法的關(guān)系等方面加深對分數(shù)意義的理解。五年級下冊《分數(shù)的意義》一課的主要教學(xué)內(nèi)容是通過實例概括出分數(shù)表示整體與部分之間關(guān)系的意義，進一步理解分數(shù)表示多少的相對性。

從三年級的分數(shù)初步認識到本節(jié)課的分數(shù)再認識，學(xué)生對分數(shù)意義的理解掌握情況是怎么樣的？知識的銜接點和困難點在哪里？為了更好地了解學(xué)情，課前筆者對本校五年級225名學(xué)生進行了問卷調(diào)查，前測題及結(jié)果如下。

結(jié)果

統(tǒng)計 1個圖形的[34]：61.9% 4個圖形的[34]：26.2% 8個圖形的[34]：2.4% 錯誤率：9.5% ]

從前測結(jié)果看，40%左右的學(xué)生用[26]來表示題1中的三個圖，將1個小方格作為一份來理解圖形所表達的分數(shù)意義，關(guān)注的是物體或圖形的個數(shù)，忽略了③號圖形中橢圓的作用，沒有順利地建立2個小方格是一份的概念，也就是關(guān)于“子集與集合”的分數(shù)含義并沒有真正理解。90%的學(xué)生能有效地轉(zhuǎn)換[34]的符號表征與圖形表征，但61.9%的學(xué)生只能用一個物體作為一個整體來表征[34]。訪談后發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生認為只有在一個物體不夠分時才用分數(shù)，幾個物體中的一部分不能用分數(shù)表示。部分學(xué)生認為一個整體中的物體或圖形必須是完整的、同類型的、明確數(shù)量的。而且用“多個物體”表示一個整體時，學(xué)生都偏好用分母的倍數(shù)個物體，一方面是因為這樣的數(shù)量容易平均分，另一方面也是教材所呈現(xiàn)的學(xué)習(xí)資源造成的。

根據(jù)前測分析，以下問題值得思考：①如何幫助學(xué)生完善對于“一份的概念”的理解？②如何改編教材，呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料，幫助學(xué)生突破對“整體”認識的局限性？③除了從“平均分成幾份，取若干份”份數(shù)定義角度認識分數(shù)，這節(jié)課還需要“再認識”什么？

結(jié)合課前思考，筆者從以下幾個方面展開教學(xué)。

【教學(xué)實踐】

（一）數(shù)形結(jié)合，喚醒經(jīng)驗，再認識“[34]的特征”

分數(shù)是一個非常抽象的概念，需要有足夠的直觀表象作為支撐。課始教師從兩組圖入手（見圖1），引導(dǎo)學(xué)生回憶已學(xué)的按單個計數(shù)的策略，再借助已有的“表示一個正方形的[34]”的經(jīng)驗，理解不同圖形的[34]的意思。在這一過程中產(chǎn)生認知沖突，引發(fā)思考：“為什么左邊4個圖用4個不同的數(shù)表示，右邊4個不同的圖形卻能用同一個數(shù)表示？”在從按個計數(shù)法轉(zhuǎn)換到用分數(shù)表示圖的過程中，找出分數(shù)與之前學(xué)習(xí)的數(shù)的不同點，深刻理解[34]表示部分與整體的關(guān)系的本質(zhì)特征。

（二）理性思辨，深化內(nèi)涵，再認識“一個整體”

“一個整體”是理解分數(shù)的意義的重要組成部分，是學(xué)生真正理解分數(shù)意義的基石。本節(jié)課理解“一個整體”分三步走。

1.結(jié)合理解[34]的特征，認識“一個整體”

在“用[34]表示圖”的學(xué)習(xí)活動中，引導(dǎo)學(xué)生體會只要把這4個圖形作為一個整體就可以表示出[34]的意思，特別是表示2個圓的[34]，打破學(xué)生“一個整體包括的物體數(shù)量必須是分母倍數(shù)”的思維局限性。再通過找一個相同的數(shù)“1”來表示一個整體，并在左邊圖形上圈一圈，感悟用分數(shù)和自然數(shù)表征數(shù)量的不同之處，實現(xiàn)思維方式的轉(zhuǎn)變。

2.拓展外延，理解深化“一個整體”

針對前測中部分學(xué)生認為“一個整體中的物體或圖形必須是完整的、同類型的、明確數(shù)量的”這一狀況，以及學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中會經(jīng)常面對各種各樣的數(shù)量作為“一個整體”的現(xiàn)實，筆者增加了關(guān)于“一個整體”的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，依托三個典型例子，拓展“整體”概念的外延，深刻理解其內(nèi)涵。

（1）3名學(xué)生和1名老師

師：“3名學(xué)生和1名老師”能作為一個整體嗎？

生：可以。

師：它的[34]是什么意思？

生：因為學(xué)生和老師一共有4個人，可以看作一個整體，再把3名學(xué)生分出去，就是[34]。

生2：“3名學(xué)生和1名老師”作為一個整體時，每個人都是4個人的[14]，3名學(xué)生就是其中的[34]。

（2）[12]塊巧克力

師：[12]塊巧克力是什么意思？

生：半塊巧克力，就是一塊巧克力的一半。（根據(jù)學(xué)生的表述，用圖表示出[12]塊巧克力，形成板書）

師：怎么表示出它的[34]？

生：把[12]塊巧克力平均分成4份，然后表示這樣的3份，就是[34]。（根據(jù)學(xué)生的回答，出示相應(yīng)的圖，形成板書）

師：這么說來，[12]塊巧克力能不能作為一個整體，并從中找出它的[34]？

生（齊）：能。雖然它只是半塊巧克力，但依然可以作為一個整體。

（3）6米（7米，……，[x]米）

師：我們用一條線段來表示6米，它可以作為一個整體嗎？

生：可以把它看成一個整體，每份1.5米，然后取其中的3份，就是[34]。（根據(jù)學(xué)生的回答，出示相應(yīng)的圖，形成板書）

師：把6米換成7米，還行嗎？

生：7米也可以看成1，把7米除以4，取其中的3份就可以表示[34]。（根據(jù)學(xué)生的回答，出示相應(yīng)的圖，形成板書）

師：6米、7米可以作為一個整體，還可以是多少米？怎么找到x米的[34]？

生：可以把x平均分成4份，取出其中的3份就行了。

師：這個不確定的數(shù)量依然可以作為一個整體。如果把[x]米換成m千克，還可以嗎？（生答）

師：再換。（出示0.8米的繩子、買5本書的總錢數(shù)、學(xué)校占地面積）

生（齊）：都是可以的。

板書：

3.學(xué)生再次舉例，內(nèi)化一個整體的意義

師：像這些都是可以作為一個整體來表示[34]的，你們能不能再說幾個？

……

這里的學(xué)習(xí)材料形式多樣，有用圖表示的，也有用語言表述的;有具體的，也有不確定的;有教師提供的材料，也有學(xué)生舉的例子，充分體現(xiàn)了“一個整體”的豐富性與全面性。這個學(xué)習(xí)過程，從圖到文字，從數(shù)到字母，從一個到多個的集合，從具體到抽象，學(xué)生經(jīng)歷了“一個整體”概念形成、發(fā)展、拓展的過程，有效地改變了原有的認知經(jīng)驗，再次認識到“一個整體”外延的豐富性、內(nèi)涵的深刻性。

（三）從點到面、抽象概括，再認識“分數(shù)意義”

每一個數(shù)學(xué)概念的理解都需要經(jīng)歷從具體到抽象，再回到具體的過程，分數(shù)的意義也一樣。雖然前面已經(jīng)利用圖形充分理解了[34]的特征，但隨著“一個整體”的拓展，[34]也有了新的含義。本節(jié)課濃墨重彩地引導(dǎo)學(xué)生理解[34]的意義，幫助學(xué)生建立[34]豐富多彩的直觀表象，充分經(jīng)歷直觀形象到抽象概括的過程。力圖通過以點及面，以一個分數(shù)的深度理解與概念的建立，完善對分數(shù)意義的整體構(gòu)建。

師：同學(xué)們，這就奇怪了，[34]只是一個數(shù)啊，為什么可以找到那么多不同的整體來表示它？

生：因為它的意思就是把一個整體平均分為4份，表示這樣的3份。

生：[34]就是把一個物體平均分成4份，取其中的3份。無論是什么東西都可以平均分成4份。

師：[34]可以用不同的整體表示，那換一個分數(shù)，[57]能不能也用不同的整體來表示？

生：把一個整體平均分成7份，取其中的5份，就是[57]。

師：[1320]呢？

生：把一個整體平均分成20份，取其中的13份，就是[1320]。

師：同學(xué)們，學(xué)到這兒，你能用自己的話來說說什么是分數(shù)嗎？

生：把一個整體平均分成幾份，取其中的幾份，就是這個數(shù)的幾分之幾。

生：把一個整體平均分成n份，取其中的x份，就是分數(shù)的幾分之幾。

師：同學(xué)們，雖然他們的說法不同，但都抓到了分數(shù)的基本特征。數(shù)學(xué)家也是這么說的，一起來讀一讀。

生（讀）：把一個整體平均分成若干份，其中的一份或幾份，可以用分數(shù)表示。

師：這里有一個詞語，若干份，你覺得是什么意思？

生：x份。

生：多少份都可以。

師：是的，不管多少份都可以，這就是分數(shù)的意義。

（四）充分體驗，借助推理，再認識“分數(shù)相對性”

分數(shù)的相對性包括：整體不同，相同分數(shù)所對應(yīng)的具體數(shù)量不同;整體相同，不同分數(shù)所對應(yīng)的具體數(shù)量不同;整體不同，不同分數(shù)所表示的數(shù)量卻可能相同。這與整數(shù)表示數(shù)的多少有很大的區(qū)別，需要教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷、體會、感受、領(lǐng)悟、總結(jié)，讓學(xué)生學(xué)會有根有據(jù)地進行表達，充分認識分數(shù)的相對性，培養(yǎng)推理能力。

活動一：做一做

教師出示問題：“每人都從信封里拿出筆的[12]，拿出的筆的數(shù)量會一樣多嗎？”

（1）學(xué)生猜測，引發(fā)思考

學(xué)生猜測可能一樣多，也可能不一樣多，由此引發(fā)思考：真的是這樣嗎？

（2）合作學(xué)習(xí)，經(jīng)歷過程

猜想：每人從信封里拿出筆的數(shù)量? ?? ? ? ? 。

驗證：①拿：信封里筆的[12]。

②猜：信封里放的筆的總數(shù)。

③討論：大家的猜想對嗎？理由是什么？

結(jié)論：我們組認為每人從信封里拿出筆的數(shù)量? ? ? ?，因為? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（3）小組匯報，補充質(zhì)疑（略）

（4）集體討論，歸納總結(jié)

①都是拿出信封里的筆的[12]，為什么有些時候一樣多，有些時候不一樣多呢？

②信封里的筆的總數(shù)是整體量，拿出的筆的數(shù)量是部分量。整體量不一樣多，相同的分數(shù)表示的部分量也不一樣多。相反，如果部分量一樣多，這個分數(shù)對應(yīng)的整體量也一樣。

本環(huán)節(jié)采用小組合作學(xué)習(xí)的方式，可操作性強。學(xué)生經(jīng)歷了完整的研究數(shù)學(xué)問題的過程，利用不完全歸納法得出結(jié)論，深刻體會分數(shù)的相對性，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

活動二：選一選

教師出示問題：“有一個整體，露出它的[25]是[]，這個整體是什么樣子的？”

這是由部分量推斷整體量，本題需要學(xué)生充分理解[25]的意思，深入分析部分量與整體量之間的關(guān)系，找出正確的答案。下面是學(xué)生的作品，充分展示了學(xué)生不同的思維過程。

生：第①幅圖把原來的長方形平均分成5份，其中的2份和上面的長方形是一樣的，是[25]。第③幅圖和第①幅圖一樣，畫的方法不同。

生：第②幅圖是錯的，因為它表示出5份，是題目中長方形的全部，這個全部并不表示一個整體，只表示[25]。

生：第④幅圖也是對的，題目告訴我們露出它的[25]，是個長方形，它的整體應(yīng)該是[55]，所以在它旁邊再加個[25]，是[45]，[45]再加上[15]，那也就等于1，原來的一個整體。

生：第⑤幅圖也是對的，因為它這里有5個小正方形，有3份沒有涂顏色，有2份涂了顏色，也表示[25]。

本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)活動有效地訓(xùn)練了學(xué)生的辨析能力和推理能力。同時也讓學(xué)生充分體會到如果部分量確定了，整體量也確定了，形狀可以不同。

活動三：辯一辯

教師出示問題：“在為抗擊新冠肺炎舉行的捐款活動中，奇思捐獻了零花錢的[15]，妙想捐獻了零花錢的[35]。妙想捐的錢一定比奇思多嗎？”

脫離具象，從抽象概括的角度去理解分數(shù)的相對性是學(xué)生是否真正理解分數(shù)的意義的表現(xiàn)。在這里，整體量不確定，分數(shù)也不相同，部分量也無法確定。這對學(xué)生來說是一個挑戰(zhàn)，就此引發(fā)他們的質(zhì)疑、討論，學(xué)生通過不斷地探究，拓展了思考問題的角度，深刻體會到關(guān)鍵是看與[15]、[35]相對應(yīng)的整體量，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維的深刻性、靈活性。

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，需要學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，通過外顯性行為及語言，促進學(xué)生對概念的準(zhǔn)確把握，進而理解概念的本質(zhì)。這個過程，也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的過程。

參考文獻：

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[2]何葉飄.深入概念本質(zhì)? ?深化學(xué)生理解：“分數(shù)的再認識”磨課歷程與思考[J].小學(xué)教學(xué)參考，2020（9）.

（浙江省衢州市衢江區(qū)教師進修學(xué)校? ?324022）浙江省衢州市衢江區(qū)第一小學(xué) 324022）