運(yùn)用數(shù)學(xué)工具提升初中物理思維能力

葉義堯，王瑞槐（.遵義市第十六中學(xué)貴州遵義563000；.遵義市教育局貴州遵義563000）

?

運(yùn)用數(shù)學(xué)工具提升初中物理思維能力

葉義堯1，王瑞槐2
（1.遵義市第十六中學(xué)貴州遵義563000；2.遵義市教育局貴州遵義563000）

摘要：物理知識(shí)的理解、掌握和物理問題的解答，都離不開數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。初中物理教學(xué)中，運(yùn)用函數(shù)圖像、解方程和方程組、比值與比例法、幾何知識(shí)等，能幫助學(xué)生理解物理知識(shí)，理順解題思路，進(jìn)一步提高解答物理問題的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)工具；物理思維能力

在自然科學(xué)中，物理是與數(shù)學(xué)結(jié)合得最完美的學(xué)科。物理使數(shù)學(xué)變得具體和真實(shí)，而數(shù)學(xué)使物理變得精確而嚴(yán)謹(jǐn)。大多數(shù)物理問題都要研究物理過程存在的量的關(guān)系，因此，數(shù)學(xué)就成為研究和表達(dá)物理規(guī)律的重要工具。許多物理規(guī)律都用一定的數(shù)學(xué)形式來表達(dá)，物理問題也往往要用數(shù)學(xué)方法來討論解決。值得注意的是，既然是用數(shù)學(xué)工具來解決物理問題，那么首先應(yīng)該分析清楚物理過程和相關(guān)條件，以便正確地運(yùn)用概念和規(guī)律，通過計(jì)算得出結(jié)果，最后還要明確計(jì)算結(jié)果的物理意義。

初中物理用到的數(shù)學(xué)工具，主要是小學(xué)算術(shù)的基本運(yùn)算，也有中學(xué)學(xué)到的代數(shù)和幾何知識(shí)等。筆者通過多年的初中物理教學(xué)實(shí)踐，現(xiàn)就數(shù)學(xué)知識(shí)在物理學(xué)習(xí)中的運(yùn)用作簡單的介紹，以幫助學(xué)生掌握有效學(xué)習(xí)方法，提升物理思維能力。

一、科學(xué)記數(shù)法與有效數(shù)字

1．有效數(shù)字

根據(jù)誤差理論，測量數(shù)據(jù)要按要求保留一定的有效數(shù)字。一個(gè)數(shù)的有效數(shù)字是指該數(shù)據(jù)在左邊第一位不為零的數(shù)算起，直到右邊最后一位為止，總共包含的數(shù)字個(gè)數(shù)。例如，1.52030有六位有效數(shù)字，0.07036有四位有效數(shù)字。若要求保留兩位有效數(shù)字，則第三位有效數(shù)字應(yīng)按“四舍五入”法進(jìn)行取舍。

2.科學(xué)記數(shù)法

《打開物理世界的大門》是滬科版初二物理第一章標(biāo)題，在這一章里，涉及到了物理中的一些大數(shù)。為了方便記錄，數(shù)學(xué)上常將很大的數(shù)采用科學(xué)記數(shù)法來表示。所謂科學(xué)記數(shù)法，就是把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10n次冪的形式（其中1≤a<10，n為整數(shù)）。當(dāng)原數(shù)大于10時(shí)，n值為原數(shù)的整數(shù)位減1。依據(jù)科學(xué)記數(shù)法，在物理中習(xí)慣地把多位數(shù)寫成只有一位整數(shù)的混小數(shù)乘10的若干次冪的形式。這樣，寫時(shí)簡便，看時(shí)明了。例如，光的速度大約是300000000m/s，用科學(xué)記數(shù)法表示，則為3.0×108m/s。又如，地球的半徑為6371Km，用科學(xué)記數(shù)法表示，則為6.4×106m，等等。

二、函數(shù)圖像

圖像是描述物理過程最直觀的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用圖像思維分析物理問題，是學(xué)生學(xué)好物理的重要途徑之一。初中物理中的函數(shù)知識(shí)僅限于一次函數(shù)。在初中物理課堂教學(xué)中，運(yùn)用一次函數(shù)圖像，能讓學(xué)生擴(kuò)展學(xué)習(xí)思維，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，反過來又能促使物理思維得到進(jìn)一步提高。

例如，同學(xué)們在學(xué)習(xí)勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，常常對(duì)路程―時(shí)間圖像難以理解。在初中物理教學(xué)中運(yùn)用st圖像，就可以理解為它與一次函數(shù)圖像相同，因變量s相當(dāng)于y，自變量t相當(dāng)于x，常量v相當(dāng)于k，因?yàn)橥瑢W(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)中的一次函數(shù)圖像很熟悉，它是經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線，所以將s-t圖像應(yīng)用到數(shù)學(xué)一次函數(shù)圖像中去，同學(xué)們就不難理解s-t圖像是一條直線了。同時(shí)，在這樣的轉(zhuǎn)換過程中也可以利用數(shù)學(xué)知識(shí)理解物理概念，提高解決物理問題的能力。如此類推，m= v中的m-v圖像、U=IR中的U-I圖像等等，均可以用此方法進(jìn)行遷移與拓展。在初中物理課程中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決物理問題，這是新課改要求學(xué)生掌握的基本能力之一，它不僅使學(xué)生的物理學(xué)習(xí)有效和靈活，也有利于跨學(xué)科人才的培養(yǎng)，在平時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)思想在解決物理問題中的應(yīng)用。

三、方程與方程組

縱觀物理學(xué)與數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，它們的發(fā)展是彼此滲透、相互促進(jìn)、相輔相成的。當(dāng)然，初中物理還談不到應(yīng)用高深的數(shù)學(xué)知識(shí)。但數(shù)學(xué)中的一元一次方程和二元一次方程組還是經(jīng)常會(huì)運(yùn)用的。在物理課堂中，一些物理規(guī)律、定律都表現(xiàn)為一定的函數(shù)關(guān)系，因此，解方程或方程組就成了我們需要面對(duì)的問題。

例1：火車在進(jìn)入隧道前必須鳴笛。若火車速度為80km/h，聲音在空氣中的傳播速度是340m/s，司機(jī)在鳴笛后2秒時(shí)聽到自隧道口處的山崖反射的回聲，則鳴笛時(shí)火車到隧道口的距離是多少米？

解析：如圖（草圖）1所示，設(shè)火車在A點(diǎn)鳴笛到隧道口C的距離為S，因?yàn)榛疖噺腁點(diǎn)鳴笛發(fā)出的聲音傳播到隧道口C再反射回來到B點(diǎn)經(jīng)過的距離，與火車從A點(diǎn)到B點(diǎn)的距離之和等于2S，所以，建立一元一次方程如下：

聲t+火t=2S

由于火=80km/h=（80/3.6）m/s=22m/s，已知t=2s

于是(340 m/s+22m/s)×2 s =2 S

解方程得：S=362m，即鳴笛時(shí)火車到隧道口的距離是362m。

圖1

例2：若將兩個(gè)定值電阻R1、R2用某種形式連接起來接入電路，則R1消耗的電功率為12W，若將這兩個(gè)電阻以另一種形式連接起來，接入原電路，測得該電路的總電流為9A，此時(shí)電阻R1消耗的電功率為108W，求電阻R1、R2的阻值各是多少？

解析：根據(jù)題意，電源電壓不變，設(shè)為U。跟據(jù)P1=U2/R1，同時(shí)因?yàn)榈谝淮蜶1消耗的電功率12W，小于第二次R1消耗的電功率108W，所以，第一次兩電阻R1與R2為串聯(lián)電路，而第二次R1與R2為并聯(lián)電路，串聯(lián)電路總電流為I=U/(R1+R2)，于是可得：

根據(jù)并聯(lián)電路干路總電流為9A，由U =IR總可得：

又并聯(lián)電路電壓相等，可得：

由①②③建立三元一次方程組，并聯(lián)合解方程組得：R1=3，R2=6

四、受力分析圖

受力分析既是學(xué)習(xí)物理的入門基礎(chǔ)，又是后續(xù)學(xué)習(xí)的必備工具。能正確畫出物理的受力圖是求解物理問題時(shí)列出方程式的關(guān)鍵，同時(shí)還將貫徹于物理學(xué)習(xí)的始終。初中物理所涉及受力分析，主要是力的示意圖，它指用帶箭頭的線段把力的大小、方向、作用點(diǎn)都表示出來的圖。通常受力分析與數(shù)量結(jié)合，是理解物理知識(shí)的有效手段和方法步驟，能提升學(xué)生學(xué)習(xí)物理的識(shí)圖能力。

例3：如圖所示，一個(gè)物體始終只受兩個(gè)力F1和F2的作用，一開始物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，且F1=F0，在t1的時(shí)間內(nèi)保持F1不變，只改變F2的大小，此過程中物體所受合力的方向始終與F1的方向相同。圖2中可以表示F2大小隨時(shí)間變化的圖像是（）

圖2

解析：一物體只受兩個(gè)力F1和F2的作用，當(dāng)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，兩個(gè)力大小相等，方向相反，并且在一條直線上，滿足二力平衡條件，故得F1=F2，把物體視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)其受力如圖3（a）。由于F1= F0，故F2也必須從F0隨時(shí)間t發(fā)生變化，怎樣變化呢？取決于下列條件，在t1的時(shí)間內(nèi)保持F1不變，只改變F2的大小，由于此過程中物體所受合力的方向始終與F1的方向相同,故在改變F2時(shí)，一開始只能使F2減小，不能使F2增大，所以，A、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，應(yīng)排除。于是只能從B、C中去選正確答案。又由于F2在0～t1時(shí)間內(nèi)，從F0開始減小，但不能減小為0，否則就沒有合力而言，如圖3（b）。當(dāng)F2減小到一定值時(shí)，F(xiàn)2又可以增大，但不能無限增大。因?yàn)橐ＷC合力方向與F1的方向相同，故F2在增大時(shí)，不能增大到等于F0，如圖3（c）。故圖B錯(cuò)誤，只有圖C正確。

圖3

五、比值與比例法

比值與比例是小學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的內(nèi)容，若a/b= c/d，即可得ad=bc。在初中物理中常用比值法定義物理量，如速度=s/t,電阻R=U/I,密度=m/V等等；將自變量的比值直接代入相應(yīng)公式，可以得因變量的比值；有關(guān)連續(xù)比例等等。在電學(xué)中也可將比值法運(yùn)用電能表一類問題，它可以幫助學(xué)生理解電能表上2500r/kwh的物理含義，也可以快速求解實(shí)際功率的消耗問題。

例4：一只電能表表盤標(biāo)有2500r/kwh，當(dāng)把它接到電路中開啟一盞燈時(shí)，表盤在5min內(nèi)轉(zhuǎn)了300r，問這只燈泡所消耗的實(shí)際電功率是多少？電能是多少？

解析：用比值與比例法求解：

因?yàn)樵撾娔鼙肀肀P標(biāo)有2500r/kwh，其意義為每消耗1kwh時(shí)的電能，表盤要轉(zhuǎn)2500轉(zhuǎn)，當(dāng)把它接到電路中開啟一盞燈時(shí)，表盤在5min內(nèi)轉(zhuǎn)300轉(zhuǎn)，可得出如下結(jié)果：

1kwh:2500r=P(5/60):300r

P(5/60)×2500r=1kw·h×300r

P=（300×60）kw /(5×2500)=0.144kw=144w

W=Pt=144w×300s=4.32×104J

答：這只燈泡所消耗的實(shí)際電功率是144w，電能是4.32×104J。

六、幾何知識(shí)

在初中物理課程中，平面幾何知識(shí)，主要涉及光學(xué)內(nèi)容，即光的折射。當(dāng)光從一種光疏介質(zhì)斜射入另一種光密介質(zhì)中時(shí)，所發(fā)生的折射情景，如何判斷出入射光線、反射光線、法線和界面，都離不開平面幾何及平面坐標(biāo)知識(shí)。

圖4

如右圖4所示：

1.用平面坐標(biāo)法線和界面垂直知識(shí)，將坐標(biāo)分成四個(gè)象限：第一象限M′ON′、第二象限N′OM、第三象限MON、第四象限NO M′.入射光線和折射光線均分布于一、三象限內(nèi)或二、四象限內(nèi)，不能分布于一、四象限內(nèi)和二、三象限內(nèi)。

2.用平面幾何知識(shí)、判斷反射光線和入射光線分布情況，因反射角等于入射角，因此它們將分布于界面一側(cè)，通過這樣的平面幾何知識(shí)，可以幫助學(xué)生正確地理解物理知識(shí)，準(zhǔn)確地解決物理問題。

七、數(shù)學(xué)最值問題

通常最值分為最大值和最小值兩種，數(shù)學(xué)中的最值問題有多種，求最值的常用方法有：利用函數(shù)值域求最值；利用三角函數(shù)的封閉性求最值；利用均值（算術(shù)平均值、幾何平均值）不等式求最值。在中學(xué)物理中，一些物理概念、規(guī)律、定理都可能應(yīng)用到最值的思想、方法。因此，最值問題就成了我們要面對(duì)的問題。在初中物理課程中，涉及滑動(dòng)變阻器的純電路問題，求解何時(shí)電功率為最大，何時(shí)電功率為最小等，就是屬于此類問題。

例5：如圖5所示，電源電壓恒為18 V，L上標(biāo)有“6V 3W”字樣，電流表量程為0-0.6A，電壓表量程為0-15V，定值電阻R0為20，變阻器R的最大電阻為100。求：在電表的示數(shù)不超過量程，燈泡兩端的電壓不超過額定值的情況下，只閉合S1時(shí)，變阻器連入電路的最小電阻為多少；只閉合S2時(shí)，電路消耗的最小功率為多少？

解析：若只閉合S1，變阻器R與燈L串聯(lián)，由于電流表的量程大于燈的額定電流，則電路中最大電流只能等于燈的額定電流。

圖5

由于RL=（UL）2/PL=(6V)2/3 W=12

IL= PL/ UL=3W/6V=0.5 A

I=U/(R最小+RL)

R最小=（U/ I）- RL=（18 V/0.5A）-12=24

若只閉合S2，定值電阻R0與滑動(dòng)變阻器R串聯(lián)，滑動(dòng)變阻器R兩端電壓為15V時(shí)，變阻器R連入電路中的電阻最大。

由R0/ R最大=（U-U最大）/ U最大

電路消耗的最小功率P最小=U2（/R0+ R最大）= （18V）2/(20+100)=2.7 W

物理知識(shí)的理解、掌握和物理問題的解答，都離不開數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。初中物理教學(xué)中，運(yùn)用函數(shù)圖像、解方程和方程組、比值與比例法、幾何知識(shí)等知識(shí)，能幫助學(xué)生理解物理知識(shí)，理順解題思路，進(jìn)一步提高解答物理問題的能力。新課改中考物理題目的設(shè)置，也開始重視考察學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力。大多數(shù)物理問題的解決，都需要依靠數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，學(xué)生只要運(yùn)用好數(shù)學(xué)工具，并將其與物理的學(xué)習(xí)緊密結(jié)合并靈活運(yùn)用，就能順利地學(xué)習(xí)好物理知識(shí)和解決好物理問題。為此，這就要求初中物理教師在平時(shí)的教學(xué)中，積極引導(dǎo)學(xué)生尋找物理與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，努力培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具的能力，不斷形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決物理問題的思維，才能在物理學(xué)習(xí)中獲得顯著的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]余文森.新課程物理教與學(xué)[M].福州：福建教育出版社，2005.

[3]沈毅，崔允漷.課堂觀察[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2008.

[4]陳孝普.學(xué)校心理學(xué)[M].石家莊：河北人民出版社，1991.

（責(zé)任編輯：徐國紅）

Using Mathematical Tools to Improve the Thinking Ability of Junior High School Students in Physics

YE Yi-yao，WANG Rui-huai
(1. No. 16 High School of Zunyi, Zunyi 563002, China; 2. Education Bureau of Zunyi, Zunyi 563000, China)

Abstract：The mastery of physical knowledge and the solutions to physical problems are closely related to mathematical knowledge. In the presentationof physicsin juniorhighschool,themathematical knowledge such asfunctionalimage,solving equationsandequations, etc. can help students to learn physics.

Key words：mathematical tools; physical thinking ability

作者簡介：葉義堯，男，貴州遵義人，遵義市第十六中學(xué)物理高級(jí)教師。研究方向：中學(xué)物理教學(xué)改革。

收稿日期：2015-09-23

中圖分類號(hào)：G633.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C

文章編號(hào)：1009-3583（2016）-0138-04