熱荷載作用下輸流管道臨界流速解析計(jì)算方法

陳嚴(yán)飛 ，敖川，董紹華，劉昊，馬尚，夏通璟

1 中國(guó)石油大學(xué)(北京)油氣管道輸送安全國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室/城市油氣輸配技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249

2 大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024

輸流管道系統(tǒng)在石油化工領(lǐng)域中扮演著十分重要的角色。因此，如果管道系統(tǒng)因?yàn)檎駝?dòng)而失穩(wěn)，將造成十分嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失。因此，近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外諸多研究者對(duì)輸流管道的振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了深入詳細(xì)的分析研究，使之成為了動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的經(jīng)典模型。

上世紀(jì)70 年代開(kāi)始輸流管道的振動(dòng)分析。Pramila[1]在1991 年使用有限元(FEM)方法分析了輸流管道的振動(dòng)問(wèn)題。 F Tornabene[2]使用廣義微分求積法討論了輸流管道系統(tǒng)在懸臂邊界條件下的臨界流速，并分析了質(zhì)量比對(duì)臨界流速的影響。Ni 等[3]在2011 年使用微分變換法(DTM)方法研究了典型邊界條件下輸流管道的自由振動(dòng)問(wèn)題。Li和Yang[4]在2014 年使用格林函數(shù)方法得到了受迫振動(dòng)輸流管道的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。Li和Yang[5]在2017 年使用變分迭代法(VIM)求解了輸流管道系統(tǒng)的基本運(yùn)動(dòng)方程，得到典型邊界條件下的臨界流速和振動(dòng)頻率。

楊曉東[6]等使用伽遼金方法將輸流管系統(tǒng)的偏微分方程通過(guò)離散化變?yōu)槌Ｎ⒎址匠探M，求解得到系統(tǒng)的固有頻率。在此基礎(chǔ)上，他們還分析了不同流速對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響。金基鐸等[6]在歐拉伯努利梁振動(dòng)方程的基礎(chǔ)上得到了兩端支承梁彎曲振動(dòng)的頻率方程和振型函數(shù)的表達(dá)式，得到了臨界流速表達(dá)式，并進(jìn)行了系統(tǒng)臨界流速關(guān)于扭轉(zhuǎn)剛度﹑重力系數(shù)和軸向預(yù)緊力的敏感性分析。李琳等[8]進(jìn)一步分析了彈性支承輸流管的穩(wěn)定性和臨界流速，探究了臨界流速隨著質(zhì)量比﹑流體壓力和彈性支承剛度等參數(shù)的變化規(guī)律。翟紅波等[9]討論了流速對(duì)輸流管系統(tǒng)共振的可靠度的影響。姬賀炯等[10]對(duì)輸流管道系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和有限元建模研究，有限元模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好，證明了使用數(shù)值模擬方法對(duì)輸流管道系統(tǒng)分析的合理性。包日東等[11]使用數(shù)值仿真方法，討論了流速對(duì)彈性地基支承輸流管道固有頻率和非線性特性的影響。張大千等[12]運(yùn)用有限元軟件，構(gòu)建了輸流管道有限元模型，得到了不同工況下管道的固有頻率和管道模態(tài)。

雖然國(guó)內(nèi)外對(duì)于輸流管道系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究，但除Qian等[13]在2009 年使用微分求積法(DQM)求解熱荷載作用下鉸支輸流管道的穩(wěn)定性問(wèn)題外，對(duì)于熱荷載作用下的輸流管道的研究鮮有報(bào)道。但在工程實(shí)踐中，受熱荷載作用的輸流管道應(yīng)用較多，如加熱輸送原油管道以及供暖管道。上述管道一旦發(fā)生失穩(wěn)，將造成極為嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失和環(huán)境破壞。眾所周知，輸流管道系統(tǒng)中的臨界流速對(duì)于判斷系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)具有十分重要的意義。當(dāng)流體速度低于臨界流速時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，而流速高于臨界流速時(shí)，系統(tǒng)將失穩(wěn)。所以，研究熱荷載作用下輸流管道的臨界流速具有重要的意義。

以往輸流管道問(wèn)題的求解一般都采用數(shù)值方法，往往需要復(fù)雜編程進(jìn)行配合求解，相比于顯式解析求解，不但計(jì)算量大，而且一般的工程技術(shù)人員難以掌握，不利于現(xiàn)場(chǎng)工程應(yīng)用。本文提出的熱荷載作用下輸流管道臨界流速的解析方法可以有效避免以上缺陷，適用于石油石化領(lǐng)域輸油管道常見(jiàn)的管道跨長(zhǎng)和溫差情況，在工程現(xiàn)場(chǎng)可以方便快速地得到準(zhǔn)確的臨界流速，為熱荷載作用下輸流管道系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和安全評(píng)價(jià)提供依據(jù)，對(duì)于指導(dǎo)工程實(shí)際具有一定的意義。

1 輸流管道振動(dòng)方程

1.1 振動(dòng)方程導(dǎo)出

考慮長(zhǎng)為L(zhǎng)的輸送不可壓縮流體的均勻管道，橫截面積為A，管道單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m，彎曲剛度為EI，流體單位長(zhǎng)度質(zhì)量為M，流速為U。

圖1 支承輸流管道模型Fig. 1 Model of supported pipes conveying fluid

不考慮重力作用和管道流體之間的摩擦力作用，假設(shè)管道的自由振動(dòng)為小變形，Ziegler和Rammerstorfer[14]給出系統(tǒng)的應(yīng)變能為

式中，v,w分別表示軸向和橫向位移，γ( ΔT) 表示熱應(yīng)力。線性熱應(yīng)力可表示為

上式在小溫差和小變形條件下是有效的，但是在溫差較大時(shí)將會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。在溫度差較大的情況下，非線性關(guān)系較線性關(guān)系更為精確，非線性熱應(yīng)力可以定位為

上式中，α為熱膨脹系數(shù), ?系數(shù)為，l,m,n為Murnaghan’s常數(shù)，ν為泊松比。

系統(tǒng)的動(dòng)能為

式中，第一項(xiàng)是管道的動(dòng)能，第二項(xiàng)是流體的動(dòng)能。

對(duì)于端部支承輸流管道系統(tǒng)的哈密頓原理可表示為

將式(1)﹑(2)代入式(3)中可得到軸向和橫向的運(yùn)動(dòng)方程分別為

忽略橫向變形對(duì)系統(tǒng)軸向方向上的影響，則軸向上的邊界條件可如下表示

兩端鉸支的橫向邊界條件為

一端固支而一端鉸支橫向邊界條件為

兩端固支橫向邊界條件為

由式(4)可得

將式(10)帶入式(5)可得

上式中第一項(xiàng)表示表示管道和流體的慣性力，第二項(xiàng)表示管道的彈性彎曲回復(fù)力，第三項(xiàng)表示流體的離心力和熱荷載作用引起的管道軸向力，第四項(xiàng)表示流體的科氏力。

1.2 振動(dòng)方程簡(jiǎn)化

令

則式(11)可表示為

假設(shè)系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即

帶入式(12)中得到

對(duì)應(yīng)邊界條件如表1 所示。

表1 支承輸流管道邊界條件Table 1 Boundary conditions for supported pipes conveying fluid

2 臨界流速的解析方法

可以看出簡(jiǎn)化后的熱荷載作用下輸流管道振動(dòng)方程(13)為一元四次齊次常微分方程，但是由于系數(shù)中存在的u,ω均為待求特征值，求其動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)，需要求解給定流速u下管道的振動(dòng)頻率。隨著u的逐漸增大，管道振動(dòng)頻率逐漸減小，當(dāng)一階振動(dòng)頻率減小為0 時(shí)，此時(shí)的流速就是輸流管道系統(tǒng)的臨界流速。Paidoussis[15]得出結(jié)論，兩端支承(一端固定一端鉸支，兩端鉸支，兩端固定)的輸流管道為無(wú)耗散的保守系統(tǒng)，其臨界流速在ω=0 時(shí)取得。根據(jù)該臨界流速條件，令式(13)中ω=0 有

以兩端鉸支邊界條件為例，施加邊界條件后，得到

為得到非平凡解，令上式中的系數(shù)矩陣行列式等于0，得到

所以

同理，可求得左端固支右端鉸支條件下臨界流速為

兩端固支時(shí)，臨界流速表達(dá)式為

值得注意的是，式(16)和(17)為超越方程，可由數(shù)值方法求解得到臨界流速。求得的臨界流速公式如下

根據(jù)式(15)﹑(18)﹑(19)即可非常方便地求得各邊界條件下不同熱荷載作用下的臨界流速。

3 算例分析

Qian[13]使用微分求解法求解了熱荷載作用下鉸支輸流管的臨界流速問(wèn)題。為了驗(yàn)證本文提出的解析方法的正確性，使用Qian[13]中的算例進(jìn)行計(jì)算以作對(duì)比。該算例的輸流管系統(tǒng)參數(shù)如表2 所示，邊界條件為兩端鉸支。原文使用微分求積法(DQM)進(jìn)行求解，本文提出的解析方法與其結(jié)果對(duì)比如表3 所示。

表2 算例參數(shù)Table 2 Parameters of calculation example

從表3 中可以觀察到，本文給出的解析解與DQM結(jié)果相對(duì)誤差均小于0.2%，說(shuō)明本文提出的靜態(tài)解析方法是正確的。由于DQM方法是一種數(shù)值近似方法，其結(jié)果與解析法得到的準(zhǔn)確值相比具有一定的誤差，且隨著溫度的增加，相對(duì)誤差逐漸增大。所以，相對(duì)于DQM方法而言，本文提出的解析方法計(jì)算更簡(jiǎn)單，準(zhǔn)確性更高，可以更方便的得到輸流管系統(tǒng)的臨界流速值。

對(duì)于邊界條件為兩端固支和一端鉸支一端固支邊界條件，求得的臨界流速如表4﹑5 所示。從表3﹑4﹑5 中可以看出，隨著熱荷載的增加，臨界流速逐漸降低，且下降速度越來(lái)越快。

3 種邊界條件下線性和非線性熱應(yīng)力作用對(duì)輸流管系統(tǒng)臨界流速影響如圖2 所示。從圖2 中可以看出，非線性熱應(yīng)力作用下管道系統(tǒng)的臨界流速大于線性熱應(yīng)力作用下的臨界流速，在溫差較小時(shí)兩者差別不大，在溫差較大時(shí)兩者有一定的差別，對(duì)于不同的邊界條件影響也所有不同。相同熱荷載條件下，兩端固定邊界條件下的輸流管道臨界流速最高，一端固定一端鉸支邊界條件次之，兩端鉸支邊界條件下系統(tǒng)的臨界流速最低。同時(shí)可以看出，兩端固定邊界條件下系統(tǒng)的安全溫度差范圍相對(duì)較大，而兩端鉸支邊界條件的安全溫度差范圍較小。研究表明固定邊界條件下的輸流管系統(tǒng)能夠承受的熱荷載最大，工程上對(duì)輸流管道施加固定邊界條件有利于提高熱荷載管道系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

表3 本文解析方法與DQM方法結(jié)果對(duì)比(兩端鉸支邊界條件)Table 3 Comparison between the analytical method proposed in this paper and the DQM method(hinged-hinged boundary condition)

表4 一端鉸支一端固支邊界條件臨界流速Table 4 Critical velocity of the clamped-hinged boundary condition

表5 兩端固支邊界條件臨界流速Table 5 Critical velocity of the clamped-clamped boundary condition

圖2 不同邊界條件下線性和非線性熱應(yīng)力對(duì)臨界流速的影響Fig. 2 Influence of linear and nonlinear thermal stress on critical velocity under different boundary conditions

4 結(jié)論

本文根據(jù)哈密頓原理推導(dǎo)得到了輸流管問(wèn)題的振動(dòng)方程，然后根據(jù)兩端支承管道的臨界流速條件將動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題求解，提出了在熱荷載作用下兩端支承輸流管道臨界流速的解析方法，并得到了臨界流速公式。結(jié)合算例分析，得出了以下結(jié)論：

(1)相對(duì)于微分求積法，本文提出的解析方法計(jì)算更加簡(jiǎn)單，準(zhǔn)確性更高，可以更方便的得到輸流管系統(tǒng)的臨界流速值，有利于指導(dǎo)工程實(shí)踐；

(2)線性熱應(yīng)力和非線性熱應(yīng)力作用下的輸流管系統(tǒng)的臨界流速均隨著熱荷載的增加而降低，且下降速度越來(lái)越快。同等情況下非線性熱應(yīng)力作用下臨界流速大于線性熱應(yīng)力作用下的臨界流速，且隨著熱荷載的增加，兩者間的差距逐漸增大；

(3)對(duì)比邊界條件發(fā)現(xiàn)，固定邊界條件能夠承受的熱荷載最大，因此對(duì)熱荷載作用下輸流管系統(tǒng)施加固定邊界條件有利于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。