基于核心素養(yǎng)的直線與圓的位置關系的教學與反思

蔡瓊輝

摘 ?要：直線與圓的位置關系是高中課程中的重要內(nèi)容。對于本節(jié)內(nèi)容的復習，本文從生活情境出發(fā)，回歸課本，讓學生發(fā)現(xiàn)本質(zhì);同時通過變式訓練，發(fā)展學生的思維，提高學生解決問題的能力。在教學過程中，滲透用數(shù)學的眼光看世界的觀念。

關鍵詞：直線與圓的位置關系、數(shù)學核心素養(yǎng)、教學反思

一、基本情況

1、授課對象

四星高中高三理科班學生，基礎較好，具備一定的推理論證、運算求解能力。

2、教材分析

直線與圓的位置關系是高一必修2中的內(nèi)容，根據(jù) 《普通高中數(shù)學課程標準》（2017版）[1]中指出，本節(jié)課的教學目標是：（1）能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系;（2）能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題和實際問題。

本節(jié)內(nèi)容是應用坐標去研究直線與圓的位置關系，初步讓學生體會用代數(shù)的方法去研究幾何問題，也為后面研究直線與圓錐曲線起著鋪墊作用。在高考中常常以選擇題的形式出現(xiàn)，是高中階段很重要的學習內(nèi)容。

結合新課標要求，本節(jié)高三復習課制定了以下教學目標：（1）熟練判斷直線與圓的位置關系，掌握圓的切線的求法;（2）熟練運用直線與圓的相關知識來求解相關數(shù)學問題和實際問題;（3）培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想方法，提高學生的分析問題、解決問題的能力。

教學重點 判斷直線與圓的位置關系

教學難點 直線與圓的位置關系相關的實際問題

二、教學過程

1、設計情境引入，回顧基本知識

情境 展示太陽從海平面升起來的三幅圖。

師：同學們可以想到哪些幾何知識？

師：前面學習過直線方程，掌握了通過直線方程研究直線與直線的位置關系，那如何通過直線與圓的方程來研究兩者的位置關系呢？

問題1 已知單位圓的方程為 ，直線 ，請問分別在以下三種情況下直線與圓的位置關系是？

生8：過圓心 作弦長AB的垂線CD，由垂徑定理以及勾股定理，可以得出點 到直線的距離。

師：是不是又回到了例2了？設出所求直線的斜率，根據(jù)距離解出參數(shù) ，不要忘記考慮斜率不存在的情況。

由于時間有限，后面就留給學生課后去解了。

2、結合實際問題，題高能力

例3 臺風中心從 地每小時10千米的速度向西北方向移動，離臺風中心30千米的地區(qū)為危險區(qū)。城市 在 的正西方向40千米處， 城市處于危險區(qū)的時間是多少？

思考幾分鐘后……

生9：需畫圖，畫出以 為圓心，半徑為30千米的圓，與西北方向所在直線所交的弦長即為 城市處于危險區(qū)時，臺風中心移動的一段路程。

后計算出弦長為20千米， 城市處于危險區(qū)的時間是2小時。

三、教學反思

1、設計思路與原理

本節(jié)課是從三幅海上日出圖引出本節(jié)課的課題，定性的分析了直線與圓的三種位置關系，結合剛復習過的直線與圓的方程，以及通過直線方程來判斷直線與直線的位置關系，自然過渡到定量分析直線與圓的位置關系。問題1 是設置的簡單問題，讓學生回憶起以前學習過的課本上的基本知識，加深對基本概念的理解，在開篇引入的整個過程中，培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的數(shù)學核心素養(yǎng)，體會了從數(shù)學研究上定性與定量的思想方法。

例1和變式1是對基本知識的簡單應用，學生通過幾何法、代數(shù)法的計算，得出參數(shù)的取值范圍。學生通過計算體會代數(shù)法與幾何法的使用，也會發(fā)現(xiàn)幾何法更加便捷。高三的課堂更要注重學生思維的培養(yǎng)，因此，兩種方法的優(yōu)劣不必直接告訴學生。學生通過自己的計算會發(fā)現(xiàn)幾何法更便捷。這樣也培養(yǎng)了學生的數(shù)學計算、歸納總結等數(shù)學核心素養(yǎng)。

例2和變式2也是基礎知識的簡單應用，讓學生通過例2和變

式2的學習，抓住本節(jié)內(nèi)容的本質(zhì)，在講到例2時，學生思維活躍，首先計算發(fā)現(xiàn)給出的 點是在圓的外部，自然想到可以做出圓的兩條不同切線。同時學生很快想到設出切線方程的斜率，通過相切的性質(zhì)來解題，結果計算結果出來后，發(fā)現(xiàn)少了一條切線。矛盾的出現(xiàn)，吸引了學生的注意力，促進了思維的發(fā)展。變式2是圓的性質(zhì)與本節(jié)知識的結合，提高學生的綜合應用能力。

例3的設計是圍繞課標的要求，將所學理論知識落實到實際問題的解決中，同時也滲透數(shù)形結合的思想方法。

2、課堂反饋與思考

由于本節(jié)內(nèi)容是高三的復習課，知識內(nèi)容都是在高一時候學過的。因此，整個教學過程是較為順暢的。學生很積極，思維也很活躍，教學效果較好。

祁建新教授曾指出，高三復習需要回歸課本?；貧w課本，就是回憶、喚醒以前學習的重點概念和基本問題，由此增強學生對數(shù)學概念的認識，進而增強學生發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)的能力[2]。因此，在上課之初，設置簡單的情境與問題引入了本節(jié)的復習內(nèi)容，就是引導學生回憶課本的基本知識。高三的課堂教學要注重對學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，例題的設置要合理。

新高中數(shù)學課程標準理念要求教師從片面注重數(shù)學知識的傳授轉變到注重提高學生的數(shù)學思維能力的培養(yǎng)上來[3]。本節(jié)就是通過變式教學發(fā)展學生的思維，讓學生既能深刻地體會到所學知識的本質(zhì)，又能融會貫通地應用所學知識去解決實際問題。同時貼近生活的例題設置，讓學生體會到數(shù)學來源于生活又服務于生活。在這個過程中，無形中滲透了用數(shù)學的眼光去看世界的觀念。

課堂是學生的，教師只是一個引導著，高三的課堂更是如此。本節(jié)課的實施過程中，以學生為主體，讓學生自己去發(fā)現(xiàn)問題往往更利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。本節(jié)直線與圓的位置關系中，幾何法的使用比代數(shù)法更方便以及求圓的切線方程時，切線斜率不存在的情況要考慮都是預留給學生思考的時間，讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，這樣是對學生數(shù)學能力、數(shù)學思維的培養(yǎng)。數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)往往不是一蹴而就的，它體現(xiàn)在每一堂數(shù)學課上，作為教師，要把握學生，要多思考設計好每一堂數(shù)學課。

參考文獻：

[1] 《普通高中數(shù)學課程標準》（2017版）.

[2] 祁建新.“基本不等式的應用研究”的教學設計與反思[J].中學數(shù)學月刊，2016（08）：1-4+9.

[3] 陳唐明.新課標理念下數(shù)學課堂教學的反思[J].《中學數(shù)學研究》.2007年第2期，第4-6頁.

（江蘇省蘇州市吳中區(qū)東山中學）