知識圖譜導(dǎo)向下的有理數(shù)單元整體教學(xué)

摘? ? 要：有理數(shù)的教學(xué)內(nèi)容包括有理數(shù)的概念、性質(zhì)和運(yùn)算.教師要厘清概念教學(xué)的脈絡(luò)，構(gòu)建“知識圖譜”，解構(gòu)教學(xué)目標(biāo)，解析教學(xué)重難點(diǎn)，重構(gòu)教學(xué)設(shè)計，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)教學(xué)，使核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中真正落地.

關(guān)鍵詞：有理數(shù)教學(xué);知識圖譜;教學(xué)目標(biāo)

有理數(shù)教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的起點(diǎn).在小學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)，但無論是理解運(yùn)算對象，還是掌握運(yùn)算法則和選擇運(yùn)算方法，初中的要求都大大提高.初中階段學(xué)生除了會算還要進(jìn)一步學(xué)習(xí)“優(yōu)算”，教師要設(shè)計運(yùn)算程序，使學(xué)生算有方法，算有規(guī)矩，要探究運(yùn)算思路，使學(xué)生算得合理，算得簡潔，進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)系擴(kuò)充的方法，掌握研究一類數(shù)的基本方法.因此有必要把有理數(shù)的教學(xué)設(shè)計置于數(shù)系擴(kuò)充的主題整體設(shè)計，使運(yùn)算核心素養(yǎng)真正地為進(jìn)一步學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ).

一、把握有理數(shù)的知識圖譜是教好有理數(shù)的開端

（一）有理數(shù)的“知識圖”（以下簡稱“圖”）

圖1清晰地表明有理數(shù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容：有理數(shù)的概念、性質(zhì)和運(yùn)算.學(xué)習(xí)的線索：概念→性質(zhì);概念（性質(zhì)）→運(yùn)算→應(yīng)用.教學(xué)的重點(diǎn)是有理數(shù)的概念（主要是負(fù)數(shù)的概念）、有理數(shù)的性質(zhì)和有理數(shù)的運(yùn)算（負(fù)數(shù)參與的運(yùn)算）.概念教學(xué)的難點(diǎn)是負(fù)數(shù)的引入;性質(zhì)教學(xué)的難點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合（數(shù)軸如何引入？）思想的第一次滲透;運(yùn)算教學(xué)的難點(diǎn)是負(fù)數(shù)參與的運(yùn)算規(guī)律的歸納獲得.

（二）有理數(shù)的“知識譜”

“圖”能讓教師整體把握章教學(xué)的關(guān)鍵內(nèi)容和結(jié)構(gòu)體系，有利于單元整體教學(xué)的實(shí)施.但每個知識點(diǎn)到底要把握到什么程度，“圖”中難以看出來，這就要求在“圖”的基礎(chǔ)上，對具體的知識點(diǎn)進(jìn)行更為精準(zhǔn)的描述.這便是如表1所示的“知識譜”（以下簡稱“譜”）的意義.從“譜”中可以看到，“知識點(diǎn)目標(biāo)”就是對課程標(biāo)準(zhǔn)單元目標(biāo)進(jìn)行更為具體、更為詳細(xì)的行動描述，使得知識點(diǎn)的教學(xué)目標(biāo)變得具體、“可操作”、“易檢測”.這樣的目標(biāo)分解可以使教師備課和制作質(zhì)量檢測工具具有高度的一致性，也使得教師的教學(xué)過程具有“可復(fù)制”性，為區(qū)域教學(xué)質(zhì)量獲得保障提供可能.有了“圖”和“譜”，才能真正在目標(biāo)體系層面上，系統(tǒng)地解決教、學(xué)和評的一致性.

（三）“圖”與“譜”的關(guān)系

從有理數(shù)的“知識圖”和“知識譜”可以看出它們之間具有如下關(guān)系：“圖”宏觀引領(lǐng)教學(xué)，可以使教學(xué)的整體結(jié)構(gòu)清晰明了;“譜”精準(zhǔn)分解教學(xué)目標(biāo)，可以使教學(xué)靶向?qū)嵤?“圖”育“譜”，“譜”釋“圖”，“圖”為綱，“譜”為目，綱舉目張，方能有效地實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)教學(xué).

二、教好有理數(shù)的關(guān)鍵是教好負(fù)數(shù)概念和性質(zhì)

有理數(shù)的概念教學(xué)就是圍繞負(fù)數(shù)的引入，利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)系生活實(shí)際，聚焦具有相反意義的量，從理性具體（相反意義的量）中抽象出理性一般（正數(shù)和負(fù)數(shù)）的過程.引進(jìn)一種新數(shù)（負(fù)數(shù)），還要研究新數(shù)的性質(zhì)、新數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律.

（一）概念教學(xué)

有理數(shù)概念教學(xué)的主要內(nèi)容是有理數(shù)的概念、表示（符號表示和數(shù)軸表示）和分類（按定義分類和按符號分類）.從具有相反意義的量到用數(shù)學(xué)符號表征，實(shí)質(zhì)上是負(fù)數(shù)的構(gòu)造過程.一般地，數(shù)（負(fù)數(shù)）的構(gòu)造的基本方法是：盡量利用已有的符號（如已有的“+”“-”號在描述運(yùn)算時，正好意義相反），通過意義建構(gòu)，賦予新數(shù)具體而生動的含義，即把一個數(shù)看成是由符號和絕對值兩部分構(gòu)成.這為后面利用數(shù)軸研究有理數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造了機(jī)會，也為歸納運(yùn)算法則（先定號，后算值）奠定了基礎(chǔ).通過學(xué)習(xí)有理數(shù)的分類（整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)），掌握有理數(shù)的表示.由于整數(shù)可以理解為分母是1的分?jǐn)?shù)[p1]（p ∈ Z），分?jǐn)?shù)可以表示為[pq][p，q∈Z，（p，q）=1，q≠0]的形式，因此可以這樣理解：一切分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)，有理數(shù)可以用[pq]統(tǒng)一表示.這為學(xué)生將來判定一個數(shù)是無理數(shù)還是有理數(shù)提供了一個可以操作的判別準(zhǔn)則[1].

（二）性質(zhì)研究

借助數(shù)軸，讓學(xué)生經(jīng)歷一次真正意義上的“數(shù)形結(jié)合”.把有理數(shù)和直線上的點(diǎn)對應(yīng)，把研究數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為研究點(diǎn)的位置特征.兩者能深度融合的基礎(chǔ)是有理數(shù)的構(gòu)成（正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零）和數(shù)軸的高度相似性（正方向、負(fù)方向和原點(diǎn)）.其中數(shù)字“0”和“1”起關(guān)鍵作用，“0”是區(qū)別正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)的“基準(zhǔn)”，“1”是有理數(shù)的單位.因此只要在直線上標(biāo)定一個基準(zhǔn)點(diǎn)O（原點(diǎn)），就把直線上的點(diǎn)劃分成為兩個部分，一部分的點(diǎn)和負(fù)有理數(shù)對應(yīng)，另一部分的點(diǎn)和正有理數(shù)對應(yīng)，區(qū)分正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)只需要規(guī)定一個正方向即可，這樣便實(shí)現(xiàn)所有有理數(shù)和直線上的點(diǎn)對應(yīng).因此可以通過“翻譯”數(shù)軸上點(diǎn)的位置特征得到有理數(shù)的性質(zhì)：①點(diǎn)的順序排列對應(yīng)有理數(shù)的大小;②點(diǎn)分布的稠密對應(yīng)有理數(shù)的稠密性（任意兩個有理數(shù)之間還存在有理數(shù)）.

數(shù)軸上一個點(diǎn)的位置由方向和距離決定，一個數(shù)由符號和絕對值決定.這為比較兩個有理數(shù)的大小提供了操作規(guī)程：比較兩個有理數(shù)的大小，可以先看符號，再比較絕對值的大小.首先確定0的基準(zhǔn)作用，規(guī)定正數(shù)>0>負(fù)數(shù);兩個正數(shù)的大小即為絕對值的大小;比較兩個有理數(shù)的大小，可以利用數(shù)軸的幾何直觀，確保有理數(shù)大小順序和數(shù)軸上點(diǎn)的排列順序一致，這樣規(guī)定兩個負(fù)數(shù)絕對值大的反而小就合情合理了.定義有理數(shù)的絕對值概念同時也解決直線上兩點(diǎn)間距離的度量問題，為了度量的方便，需要規(guī)定一個“單位”，這便是數(shù)1的“單位”意義.絕對值概念也為后面學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算奠定了基礎(chǔ).

最后研究數(shù)軸上一些具有特殊位置關(guān)系的點(diǎn)，如位置關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，顯然其絕對值相等，在數(shù)軸上具有明顯的幾何意義（圖2）.稱這兩個數(shù)（和為零）互為相反數(shù)，類比互為相反數(shù)，定義積為1的數(shù)互為倒數(shù)，這兩個數(shù)也有很好的幾何意義，便是反演對稱（圖3）.

在有理數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生體會什么是“數(shù)形結(jié)合”，經(jīng)歷研究一個陌生數(shù)學(xué)對象的基本方法.

三、教好有理數(shù)的運(yùn)算關(guān)鍵在于運(yùn)算的邏輯一致

代數(shù)的根本在于運(yùn)算，研究有理數(shù)的概念和性質(zhì)后，還需要研究有理數(shù)的運(yùn)算.有理數(shù)的運(yùn)算，歸根結(jié)底是有負(fù)數(shù)參與的運(yùn)算，但負(fù)數(shù)的運(yùn)算對初中生而言是超越經(jīng)驗(yàn)的，用任何具體例子來解釋都有很大的局限性[2].

（一）用歸納的方法教有理數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律是根本大法

在所有負(fù)數(shù)相關(guān)的運(yùn)算中，負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)的乘法法則最為難以理解，教學(xué)時要注意到運(yùn)算法則是人為規(guī)定的，但這種規(guī)定既要符合實(shí)際又要滿足理論的相容性，初中階段教學(xué)的主要任務(wù)是“使其相信”，要在運(yùn)算法則的“承襲性”和邏輯的“自洽性”上下功夫.教好歸納就要設(shè)計合理的教學(xué)過程，通過過程中規(guī)律性的歸納，自然獲得.

（二）教學(xué)流程再設(shè)計

先看看用數(shù)軸引入的設(shè)計方案：

例1? ?（環(huán)節(jié)A）小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)“乘法是加法的簡便運(yùn)算”，如3×2=3+3=6.可以用如圖5的數(shù)軸表示.

追問1：根據(jù)乘法和加法的關(guān)系，（-3）× 2=（-3）+（-3）=-6.用數(shù)軸如何表示這個關(guān)系？（如圖6）

引導(dǎo)學(xué)生：① 畫出圖7;② 得到（-3）×2是3×2的相反數(shù).

（環(huán)節(jié)B）教師小結(jié)并引導(dǎo)：改變相乘兩數(shù)中的一個數(shù)的符號時，其積就變?yōu)樵瓉矸e的相反數(shù).同樣，（-3）×（-2）是3×（-2）的相反數(shù)（如圖7）.獲得負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)的運(yùn)算律.

下面給出用歸納方法設(shè)計的教學(xué)流程：

（環(huán)節(jié)A）：請你完成表2（陰影格為學(xué)生填寫的數(shù)字），并說說理由.

師生活動后小結(jié)：①乘數(shù)逐次減小1，積逐次減小3. ②正數(shù)乘正數(shù)的積是正數(shù)，正數(shù)乘零等于零. ③正數(shù)乘負(fù)數(shù)的積是負(fù)數(shù). ④積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的積.

追問：如果上述規(guī)律成立，那么表3中的空格應(yīng)該如何填寫？

師生活動后小結(jié)：①乘數(shù)逐次減小1，積逐次減小3. ②正數(shù)乘負(fù)數(shù)的積是負(fù)數(shù). ③負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)的積是正數(shù)，負(fù)數(shù)乘零等于零. ④積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的積.

歸納運(yùn)算律要有意識地滲透運(yùn)算程序，即先確定運(yùn)算結(jié)果的“符號”，然后計算各因數(shù)絕對值的乘積.

（三）兩種引入的優(yōu)缺點(diǎn)

歸納獲得的結(jié)論來自數(shù)學(xué)內(nèi)部，設(shè)計好的問題使數(shù)學(xué)的內(nèi)部規(guī)律外化為直觀規(guī)律，符合學(xué)生的認(rèn)知，容易被學(xué)生接受.利用數(shù)軸解釋數(shù)字運(yùn)算規(guī)律直觀形象.歸納規(guī)律依賴問題設(shè)計和呈現(xiàn)方式，用表格形式呈現(xiàn)可能更有利于學(xué)生歸納得出運(yùn)算規(guī)律.

利用數(shù)軸直觀解釋有后遺癥.教學(xué)調(diào)研中發(fā)現(xiàn)一個看似“創(chuàng)新”的學(xué)生“研究”成果：（-3）×4=9.學(xué)生的解釋：按照教師標(biāo)在圖上的箭頭，（-3）×4就是把-3向右平移4個單位，此時箭頭指向的位置恰好是9，所以（-3）×4=9.

原因就是這種直觀缺乏數(shù)字運(yùn)算背后的內(nèi)在邏輯支持，學(xué)生純粹從形的直觀出發(fā)，用自己的方式理解，“生動形象”“自圓其說”地得到了一個“新”的規(guī)律.這是學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移的結(jié)果.

（四）教好運(yùn)算的關(guān)鍵是讓學(xué)生學(xué)會優(yōu)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算主要表現(xiàn)為理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果.使學(xué)生學(xué)會算得合理，算得準(zhǔn)確.[□][◢]

參考文獻(xiàn)：

[1]王紅權(quán).怎樣教好無理數(shù)[J].數(shù)學(xué)通報，2018（6）：18-22.

[2]章建躍.滲透數(shù)系擴(kuò)充思想，加強(qiáng)運(yùn)算能力培養(yǎng)（續(xù)）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（9）：6-8.